江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)

江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳 数学应试笔记 第 I 卷 160 分部分 一 填空题 答卷提醒 重视填空题的解法与得分 尽可能减少失误 这是取得好成绩的基石 A 1 4 题 基础送分题 做到不失一题 基础送分题 做到不失一题 A1 集合性质与运算 1 性质 任何一个集合是它本身的子集 记为AA 空集是任何集合的子集 记为A 空集是任何非空集合的真子集 如果BA 同时AB 那么 A B 如果CACBBA 那么 注意注意 Z 整数 Z 全体整数 已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集 则集合 A 也是有限集 空集的补集是全集 若集合 A 集合 B 则 CBA CAB CS CAB D 注 CAB 2 若 123 n a a aa 则 的子集有2n个 真子集有21 n 个 非空真子集有22 n 个 3 ABCABACABCABAC ABCABCABCABC 4 De Morgan 公式 UUU CABC AC B UUU CABC AC B 提醒 数轴和韦恩图是进行交 并 补运算的有力工具 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的 有关问题 A2 命题的否定与否命题 1 命题pq 的否定与它的否命题的区别 命题pq 的否定是pq 否命题是pq 命题 p或q 的否定是 p 且q p且q 的否定是 p 或q 2 常考模式 全称命题 p xM p x 全称命题 p 的否定 p xMp x 特称命题 p xM p x 特称命题 p 的否定 p xMp x A3 复数运算 1 运算律 mnm n zzz m nmn zz 1212 mmm zzz zm nN 提示 注意复数 向量 导数 三角等运算率的适用范围 2 模的性质 1 212 z zzz 11 22 zz zz n n zz 3 重要结论 2222 121212 2 zzzzzz 2 2 12 zzzz 2 12ii 1 1 i i i 1 1 i i i i性质 T 4 1 1 4342414 nnnn iiiiii 拓展 32 11101 或 13 i 22 A4 幂函数的的性质及图像变化规律 1 所有的幂函数在 0 都有定义 并且图像都过点 1 1 1 2 yx 3 yx 1 2 yx y x 1 x y 1 O CB A U 2 0a 时 幂函数的图像通过原点 并且在区间 0 上是增函数 特别地 当1a 时 幂函数的图 像下凸 当01a 时 幂函数的图像上凸 3 0a 时 幂函数的图像在区间 0 上是减函数 在第一象限内 当x从右边趋向原点时 图像在 y轴右方无限地逼近y轴正半轴 当x趋于 时 图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 说明 对于幂函数我们只要求掌握 1 1 1 2 3 2 3 a 的这 5 类 它们的图像都经过一个定点 0 0 和 0 1 并且1 x时图像都经过 1 1 把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了 A5 统计 1 抽样方法 1 简单随机抽样 抽签法 随机样数表法 常常用于总体个数较少时 它的主要特征是从总体中逐个抽取 2 分层抽样 主要特征分层按比例抽样 主要使用于总体中有明显差异 共同点 每个个体被抽到的概 率都相等 n N 2 总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率 总体估计掌握 一 表 频率分布表 两 图 频率分布直方图和茎叶图 频率分布直方图 用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图 频率分布直方图就是以图形面 积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小 频率 样本容量 频数 小长方形面积 组距 组距 频率 频率 所有小长方形面积的和 各组频率和 1 提醒 直方图的纵轴 小矩形的高 一般是频率除以组距的商 而不是频率 横轴一般是数据的大小 小矩形的面积表示频率 茎叶图 当数据是两位有效数字时 用中间的数字表示十位数 即第一个有效数字 两边的数字表示个位 数 即第二个有效数字 它的中间部分像植物的茎 两边像植物茎上长出来的叶子 这种表示数据的 图叫做茎叶图 3 用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计 样本平均数 12 1 11 n ni i xxxxx nn 4 用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差 方差大波动差 1 一组数据 123 n x xxx 样本方差 2222 12 1 n Sxxxxxx n 222 111 111 nnn iii iii xxxx nnn 样本标准差 2222 12 1 n Sxxxxxx n 2 1 1 n i i xx n 2 两组数据 123 n x xxx 与 123 n y yyy 其中 i yaxb 1 2 3 in 则yaxb 它们的 方差为 222 yx Sa S 标准差为 yx a 若 12 n x xx 的平均数为x 方差为 2 s 则 12 n axb axbaxb 的平均数为axb 方 差为 22 a s 样本数据做如此变换 ii xaxb 则 xaxb 222 Sa S B 5 9 中档题 易丢分 防漏 多解 B1 线性规划 数学应试笔记 第 2 页 1 二元一次不等式表示的平面区域 1 当0A 时 若0AxByC 表示直线l的右边 若0AxByC 则表示直线l的左边 2 当0B 时 若0AxByC 表示直线l的上方 若0AxByC 则表示直线l的下方 2 设曲线 111222 0CA xB yCA xB yC 1212 0A A B B 则 111222 0AxB yCA xB yC 或0 所表示的平面区域 两直线 111 0AxB yC 和 222 0A xB yC 所成的对顶角区域 上下或左右两部分 3 点 000 P xy与曲线 fx y的位置关系 若曲线 f x y为封闭曲线 圆 椭圆 曲线 xaybm 等 则 00 0fxy 称点 在曲线外部 若 f x y为开放曲线 抛物线 双曲线等 则 00 0fxy 称点亦在曲线 外部 4 已知直线 0lAxByC 目标函数zAxBy 当0B 时 将直线l向上平移 则z的值越来越大 直线l向下平移 则z的值越来越小 当0B 时 将直线l向上平移 则z的值越来越小 直线l向下平移 则z的值越来越大 5 明确线性规划中的几个目标函数 方程 的几何意义 1 zaxby 若0b 直线在 y 轴上的截距越大 z 越大 若0b 直线在 y 轴上的截距越 大 z 越小 2 ym xn 表示过两点 x yn m的直线的斜率 特别 y x 表示过原点和 n m的直线的斜率 3 22 txmyn 表示圆心固定 半径变化的动圆 也可以认为是二元方程的覆盖问题 4 22 yxmyn 表示 x y到点 0 0的距离 5 cos sin F 6 00 22 AxByC d AB 7 22 aabb 点拨 通过构造距离函数 斜率函数 截距函数 单位圆 x2 y2 1 上的点 sin cos 及余 弦定理进行转化达到解题目的 B 2 三角变换 三角变换 三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换 三角恒等变形是以同角三角公式 诱导公式 和 差 倍 半角公式 和差化积和积化和差公式 万能公式为基础 三角代换是以三角函数的值域为根据 进行恰如其分的代换 使代数式转化为三角式 然后再使用 上述诸公式进行恒等变形 使问题得以解决 三角变换是指角 配 与 凑 函数名 切割化弦 次数 降与升 系数 常值 1 和 运算结构 和 与积 的变换 其核心是 角的变换 角的变换主要有 已知角与特殊角的变换 已知角与目标角的变换 角与其倍角的变换 两角与其 和差角的变换 变换化简技巧 角的拆变 公式变用 切割化弦 倍角降次 1 的变幻 设元转化 引入辅角 平 方消元等 具体地 1 角的 配 与 凑 掌握角的 和 差 倍 和 半 公式后 还应注意一些配凑变形技巧 如下 2 2 2 2 2 222 2222 22 2 2 2 154530 754530 424 等 2 降幂 与 升幂 次的变化 利用二倍角公式 2222 cos2cossin2cos12sin1 和二倍角公式的等价变形 2cos2 sin 1 2 2sin2 cos 1 2 可以进行 升 与 降 的变换 即 二次 与 一次 的互化 3 切割化弦 名的变化 利用同角三角函数的基本关系 将不同名的三角函数化成同名的三角函数 以便于解题 经常用 的手段是 切化弦 和 弦化切 4 常值变换 常值 3321 1 3 2232 可作特殊角的三角函数值来代换 此外 对常值 1 可作如下代换 2222 1sincossectantancot2sin30tansincos0 42 xxxxxx 等 5 引入辅助角 一般的 22 2222 sincos sincos sin ab abab abab 期中 2222 cos sin tan abb a abab 特别的 sincos2sin 4 AAA sin3cos2sin 3 xxx 3sincos2sin 6 xxx 等 6 特殊结构的构造 构造对偶式 可以回避复杂三角代换 化繁为简 举例 22 sin 20cos 50sin20 cos50A 22 cos 20sin 50cos20 sin50B 可以通过 1 2sin70 sin70 2 ABAB 两式和 作进一步化简 7 整体代换 举例 sincosxxm 2 2sin cos1xxm sin m sin n 可求出sincos cossin 整体值 作为代换之用 B 3 三角形中的三角变换三角形中的三角变换 三角形中的三角变换 除了应用公式和变换方法外 还要注意三角形自身的特点 1 角的变换 因为在ABC 中 ABC 三内角和定理 所以 任意两角和 任意两角和 与第三个角总互补 任意两半角和任意两半角和与第三个角的半角总互余 锐角三角形 锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方 即 sinsin ABC coscos ABC tantan ABC 22 sincos ABC 22 cossin ABC 22 tancot ABC 2 三角形边 角关系定理及面积公式 正弦定理 余弦定理 面积公式 11 sin 22 a SshabCr pp papapa 其中r为三角形内切圆半径 p为周长之半 数学应试笔记 第 4 页 tantantantantantan1 222222 ABBCCA 3 对任意ABC 在非直角ABC 中 tantantantantantanABCABC 4 在ABC 中 熟记并会证明 1 ABC 成等差数列的充分必要条件是60B 2 ABC 是正三角形的充分必要条件是 ABC 成等差数列且 a b c成等比数列 3 三边 a b c成等差数列 2bac 2sinsinsinABC 1 tantan 223 AC 3 B 4 三边 a b c成等比数列 2 bac 2 sinsinsinABC 3 B 5 锐角ABC 中 2 AB sincos sincos sincosABBCCA 222 abc sinsinsincoscoscosABCABC 思考 钝角ABC 中的类比结论 6 两内角与其正弦值 在ABC 中 sinsinabABAB cos2cos2BA 7 若 CBA 则 222 2cos2cos2cosxyzyzAxzBxyC B 4 三角恒等与不等式三角恒等与不等式 组一 33 sin33sin4sin cos34cos3cos 2222 sinsinsinsincoscos 3 2 3tantan tan3tantan tan 13tan33 组二 tantantantantantanABCABC sinsinsin4coscoscos 222 ABC ABC coscoscos14sinsinsin 222 ABC ABC 222 sinsinsin22coscoscosABCABC 组三 常见三角不等式 1 若 0 2 x 则sintanxxx 2 若 0 2 x 则1sincos2xx 3 sin cos 1xx 4 x x xf sin 在 0 上是减函数 B5 概率的计算公式 概率的计算公式 古典概型 A P A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 等可能事件的概率计算公式 mcard A p A ncard I 互斥事件的概率计算公式 P A B P A P B 对立事件的概率计算公式是 P A 1 P A 独立事件同时发生的概率计算公式是 P A B P A P B 独立事件重复试验的概率计算公式是 1 kkn k nn P kC PP 是二项展开式 1 P P n的第 k 1 项 几何概型 若记事件 A 任取一个样本点 它落在区域 g 则 A 的概率定义为 gA P A 的测度构成事件的区域长度 面积或体积等 的测度试验的全部结果构成的区域长度 面积或体积等 注意 注意 探求一个事件发生的概率 常应用等价转化思想和分解 分类或分步 转化思想处理 把所求的事 件转化为等可能事件的概率 常常采用排列组合的知识 转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率 利用 对立事件的概率 转化为相互独立事件同时发生的概率 看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率 但要注意公式的使用条件 事件互斥是事件独立的必要非充分条件 反之 事件对立是事件互斥的充分非必 要条件 说明说明 条件概率 条件概率 称 AP ABP ABP 为在事件A发生的条件下 事件B发生的概率 注意 0 1P B A P B C A P B A P C A B6 排列 组合排列 组合 1 解决有限制条件的 有序排列 无序组合 问题方法是 直接法 位置分析法 元素分析法 用加法原理 分类 插入法 不相邻问题 用乘法原理 分步 捆绑法 相邻问题 间接法 即排除不符合要求的情形 一般先从特殊元素和特殊位置入手 2 解排列组合问题的方法有 特殊元素 特殊位置优先法 元素优先法 先考虑有限制条件的元素的要求 再考虑其他元素 位置优先法 先考虑有限制条件的位置的要求 再考虑其他位置 间接法 对有限制条件的问题 先从总体考虑 再把不符合条件的所有情况去掉 相邻问题捆绑法 把相邻的若干个特殊元素 捆绑 为一个大元素 然后再与其余 普通元素 全排列 最后再 松绑 将特殊元素在这些位置上全排列 不相邻 相间 问题插空法 某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法 即先安排 好没有限制元条件的元素 然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间 多排问题单排法 多元问题分类法 有序问题组合法 选取问题先选后排法 至多至少问题间接法 相同元素分组可采用隔板法 涂色问题先分步考虑至某一步时再分类 3 分组问题 要注意区分是平均分组还是非平均分组 平均分成n组问题别忘除以 n B7 最值定理最值定理 0 2x yxyxy 由 若积 xyP 不不 则当xy 时和xy 有最小值2p 0 2x yxyxy 由 若和 xyS 不不 则当xy 是积xy有最大值 2 1 4 s 推广推广 已知Ryx 则有xyyxyx2 22 1 若积xy是定值 则当 yx 最大时 yx 最大 当 yx 最小时 yx 最小 2 若和 yx 是定值 则当 yx 最大时 xy最小 当 yx 最小时 xy最大 已知 Ra x b y 若1axby 则有 2 1111 2 byax axbyabababab xyxyxy 数学应试笔记 第 6 页 Ra x b y 若1 ab xy 则有 2 2 aybx xyxyababab xy B8 求函数值域的常用方法 配方法 转化为二次函数问题 利用二次函数的特征来求解 点拨 二次函数在给出区间上的最值有两类 一是求闭区间 m n上的最值 二是求区间定 动 对称轴动 定 的最值问题 求二次函数的最值问题 勿忘数形结合 注意开口方向和对称轴与所给区间的 相对位置关系 逆求法 通过反解 用y来表示x 再由x的取值范围 通过解不等式 得出y的取值范围 型如 axb yxm n cxd 的函数值域 换元法 化繁为间 构造中间函数 把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 其函数特征是函 数解析式含有根式或三角函数公式模型 通过代换构造容易求值域的简单函数 再求其值域 三角有界法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有界性 如转化为只含正弦 余弦的 函数 再运用其有界性来求值域 不等式法 利用基本不等式2 abab a bR 求函数的最值 其题型特征解析式是和式时要求 积为定值 型如 0 k x k xy 解析式是积时要求和为定值 不过有时须要用到拆项 添项和两边平方 等技巧 单调性法 根据函数的单调性求值域 常结合导数法综合求解 数形结合法 函数解析式具有明显的某种几何意义 可根据函数的几何意义 如斜率 距离 绝对值 等 利用数与形相互配合的方法来求值域 分离常数法 对于分子 分母同次的分式形式的函数求值域问题 把函数分离成一个常数和一个分式 和的形式 进而可利用函数单调性确定其值域 判别式法 对于形如 2 111 2 222 a xb xc y a xb xc 1 a 2 a不同时为0 的函数常采用此法 说明 对分式函数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但这类题型有时也可以用其它方法进 行求解 不必拘泥在判别式法上 也可先通过部分分式后 再利用均值不等式 1 2 b y kx 型 可直接用不等式性质 2 2 bx y xmxn 型 先化简 再用均值不等式 3 2 2 xm xn y xmxn 型 通常用判别式法 4 2 xm xn y mxn 型 可用判别式法或均值不等式法 导数法 一般适用于高次多项式函数求值域 B9 函数值域的题型函数值域的题型 一 常规函数求值域 画图像 定区间 截段 常规函数有 一次函数 二次函数 反比例函数 指数对数函数 三角函数 对号函数 二 非常规函数求值域 想法设法变形成常规函数求值域 解题步骤 1 换元变形 2 求变形完的常规函数的自变量取值范围 3 画图像 定区间 截段 三 分式函数求值域 四种题型 1 cxd y axb 0 a 则 c y a 且yR 2 2 cxd yx axb 利用反表示法求值域 先反表示 再利用 x 的范围解不等式求 y 的范围 3 2 2 232 61 xx y xx 21 2 21 21 31 312 xxx yx xxx 则 1 y1 3 y 且且yR 4 求 2 21 1 x y xx 的值域 当xR 时 用判别式法求值域 2 21 1 x y xx 2 2 10yxyxy 2 2 4 1 0yy y 值域 四 不可变形的杂函数求值域 利用函数的单调性画出函数趋势图像 定区间 截段 判断单调性的方法 选择填空题首选复合函数法 其次求导数 大题首选求导数 其次用定义 详情见 单调性部分知识讲解 五 原函数反函数对应求值域 原函数的定义域等于反函数值域 原函数值域等于反函数定义域 六 已知值域求系数 利用求值域的前五种方法写求值域的过程 将求出的以字母形式表示的值域与已 知值域对照求字母取值或范围 B10 应用基本不等式求最值的 八种变形技巧 凑系数 乘 除变量系数 例 1 当 04x 时 求函的数 82 yxx 最大值 凑项 加 减常数项 例 2 已知 5 4 x 求函数 1 42 45 f xx x 的最大值 调整分子 例 3 求函数 2 710 1 1 xx f xx x 的值域 变用公式 基本不等式 2 ab ab 有几个常用变形 22 2 ab ab 2 2 ab ab 22 22 abab 22 2 22 abab 前两个变形很直接 后两个变形则不易想到 应重视 例 4 求函数 15 2152 22 yxxx 的最大值 连用公式 例 5 已知0ab 求 2 16 ya b ab 的最小值 对数变换 例 6 已知 1 1 2 xy 且xye 求 ln 2 y tx 的最大值 三角变换 例 7 已知 2 0yx 且tan3tanxy 求txy 的最大值 常数代换 逆用条件 例 8 已知0 0ab 且21ab 求 11 t ab 的最小值 B11 单调性 补了 基本不等式 的漏洞 平方和为定值 若 22 xya a为定值 0a 可设cos sin xaya 其中02 sincos2 sin 4 f x yxyaaa 在 15 0 2 44 上是增函数 在 15 44 上是减函数 1 sin2 2 g x yxya 在 1357 0 2 4444 上是增函数 在 1357 4444 上是 减函数 11sincos sincos xy m x y xyxya 令sincos2 sin 4 ta 其中 数学应试笔记 第 8 页 2 1 1 1 1 2 t 由 2 12sincost 得 2 2sincos1t 从而 2 22 1 1 t m x y a t a t t 在 2 1 1 1 1 2 上是减函数 和为定值 若xyb b为定值 0b 则 ybx 2 g x yxyxbx 在 2 b 上是增函数 在 2 b 上是减函数 2 11 xyb m x y xyxyxbx 当0b 时 在 0 0 2 b 上是减函数 在 2 b bb 上 是增函数 当0b 时 在 2 b bb 上是减函数 在 0 0 2 b 上是增函数 2222 22n x yxyxbxb 在 2 b 上是减函数 在 2 b 上是增函数 积为定值 若xyc c为定值 0c 则 c y x c f x yxyx x 当0c 时 在 0 0 cc 上是减函数 在 cc 上是增 函数 当0c 时 在 0 0 上是增函数 111 xyc m x yx xyxycx 当0c 时 在 0 0 cc 上是减函数 在 cc 上是增函数 当0c 时 在 0 0 上是减函数 2 2222 2 2 cc n x yxyxxc xx 在 0 cc 上是减函数 在 0 cc 上是 增函数 倒数和为定值 若 112 xyd d为定值 1 1 1 x dy 则 c y x 成等差数列且均不为零 可设公差为z 其中 1 z d 则 1111 zz xdyd 得 11 dd xy dzdz 22 2 1 d f xxy d z 当0d 时 在 11 0 dd 上是减函数 在 11 0 dd 上是增函 数 当0d 时 在 11 0 dd 上是增函数 在 11 0 dd 上减函数 2 22 1 d g x yxy d z 当0d 时 在 11 0 dd 上是减函数 在 11 0 dd 上是增函 数 当0d 时 在 11 0 dd 上是减函数 在 11 0 dd 上是增函数 222 22 222 2 1 1 dd z n x yxy d z 令 22 1td z 其中1t 且2t 从而 22 2 22 4 2 4 d td n x y t t t 在 1 2 上是增函数 在 2 上是减函数 B12 理解几组概念理解几组概念 1 广义判别式广义判别式 设 f x是关于实数x的一个解析式 ca b都是与x有关或无关的实数且0a 则 2 40bac 是方程 2 0a f xbf xc 有实根的必要条件 称 为广义判别式 2 解决数学问题的两类方法 解决数学问题的两类方法 一是从具体条件入手 运用有关性质 数据 进行计算推导 从而使数学问题得以解决 二是从整体上考查命 题结构 找出某些本质属性 进行恰当的核算 从而使问题容易解决 这一方法称为定性核算法 3 二元函数二元函数 设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中 任取一组数值时 第三个变量Z就以某一确定 的法则有唯一确定的值与其对应 那末变量Z称为变量x与y的二元函数 记作 Zf x y 其中x与 y称为自变量 函数Z也叫做因变量 自变量x与y的变域D称为函数的定义域 把自变量x y及因变量Z当作空间点的直角坐标 先在xoy平面内作出函数 Zf x y 的定义域 D 再过D域中得任一点 M x y作垂直于xoy平面的有向线段MP 使其值为与 x y对应的函数值Z 当M点在D中变动时 对应的P点的轨迹就是函数 Zf x y 的几何图形 它通常是一张曲面 其 定义域D就是此曲面在xoy平面上的投影 4 格点格点 在直角坐标系中 各个坐标都是整数的点叫做格点 又称整数点 在数论中 有所谓格点估计问题 在直 角坐标系中 如果一个多边形的所有顶点都在格点上 这样的多边形叫做格点多边形 特别是凸的格点多边形 它是运筹学中的一个基本概念 5 间断点间断点 我们通常把间断点分成两类 如果 0 x是函数 f x的间断点 且其左 右极限都存在 我们把 0 x称 为函数 f x的第一类间断点 不是第一类间断点的任何间断点 称为第二类间断点 6 拐点拐点 连续函数上 上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点 如果 yf x 在区间 a b内具有二阶导数 我们可按下列步骤来判定 yf x 的拐点 1 求 fx 2 令 0fx 解出此方程在区间 a b内实根 3 对于 2 中解出的每一个实根 0 x 检查 fx 在 0 x左 右两侧邻近的符号 若符号相反 则此 点是拐点 若相同 则不是拐点 7 驻点驻点 曲线 f x在它的极值点 0 x处的切线都平行于x轴 即 0 0f x 这说明 可导函数的极值点一定是它 的驻点 又称稳定点 临界点 但是 反之 可导函数的驻点 却不一定是它的极值点 8 凹凸性凹凸性 定义在D上的函数 fx 如果满足 对任意 2 x xD 1 的都有 2 2 1 22 xx ff xf x 1 1 则称是 fx上的凸函数 定义在D上的函数如果满足 对任意的 2 x xD 1 都有 2 2 1 22 xx ff xf x 1 1 则称 f xD是上的凹函数 注 一次函数的图像 直线 既是凸的又是凹的 上面不等式中的等号成立 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方 则称这段弧是凹的 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线 的上方 则称这段弧是凸的 连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点 B13 了解几个定理了解几个定理 1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数 yf x 在闭区间 a b上连续 在开区间 a b内可导 那末在 a b内至少有一点c 使 f bf aba fc 成立 这个定理的特殊情形 即 f bf a 的情形 描述如下 若 x 在闭区间 a b上连续 在开区间 a b内可导 且 ab 那么在 a b内至少有一 点c 使 0c 成立 2 零点定理零点定理 设函数 xf在闭区间 ba上连续 且 0f af b 那么在开区间 ba内至少有函数 xf的一个 数学应试笔记 第 10 页 零点 即至少有一点 a b 使0 f 3 介值定理介值定理 设函数 xf在闭区间 ba上连续 且在这区间的端点取不同函数值 BbfAaf 那么对于 BA 之间任意的一个数C 在开区间 ba内至少有一点 使得Cf a b 4 夹逼定理夹逼定理 设当 0 0 xx 时 有 g x f x xh 且Axhxg xxxx lim lim 00 则必有 lim 0 Axf xx 注注 0 xx 表示以 0 x为的极限 则 0 xx 就无限趋近于零 为最小整数 C 10 12 思维拓展题 稍有难度 要在方法切入上着力 思维拓展题 稍有难度 要在方法切入上着力 C1 线段的定比分点公式线段的定比分点公式 设 111 P x y 222 P xy P x y是线段 12 PP的分点 是实数 且 12 PPPP 或P2P 1 P 1 P 则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 推广 1 当1 时 得线段 21P P的中点公式 12 12 2 2 yy y xx x 推广 2 MB AM 则 1 PBPA PM 对应终点向量 三角形重心坐标公式 ABC 的顶点 332211 yxCyxByxA 重心坐标 yxG 123 123 3 3 xxx x yyy y 注意 在 ABC 中 若 0 为重心 则0 OCOBOA 这是充要条件 公式理解 1 是关键 1 内分 0 外分 0 1 外分 0 1 0 若 P 与 P1重合 0 P 与 P2重合 不存在 P 离 P2 P1无穷远 1 2 中点公式是定比分点公式1 的特例 3 始点终点很重要 如若 P 分 21P P的定比 2 1 则 P 分 12P P的定比 2 4 12 x x x 知三求一 5 利用 有界性可求一些分式函数取值范围 6 OP 12 OAOB 则 12 1 是三点 PAB共线的充要条件 C 2 抽象函数抽象函数 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式 只给出了其它一些条件 如函数的定义域 单调性 奇偶性 解析递推式等 的函数问题 求解抽象函数问题的常用方法是 1 借助模型函数探究抽象函数 正比例函数型 f xcx 1 f xyf xf yfc O B A P 1 PP 2 P 1 P 2 PP 2 P 1 PP 指数函数型 x f xa 1 0 f x f xy f y f xyf x f yfa 对数函数型 logaf xx 1 0 1 x ff xf y y f xyf xf yf aaa 幂函数型 f xx 1 f xyf x f yf xf x f yf y 三角函数型 cosf xx sing xx f xyf x f yg x g y 0 sin 0 1 lim1 x x f x f xtanx 1 f xf y f xy f x f y 2 利用函数的性质 如奇偶性 单调性 周期性 对称性等 进行演绎探究 3 利用一些方法 如赋值法 令x 0 或 1 求出 0 f或 1 f 令yx 或yx 等 递推法 反 证法等 进行逻辑探究 C 3 函数图像的对称性函数图像的对称性 1 一个函数图像自身的对称性 性质 1 对于函数 yf x 若存在常数 a b使得函数定义域内的任意x 都有的图像关于直线 2 ab x 对称 注 0 f amxf bmx m 亦然 特例 当ab 时 f axf axf x 的图像关于直线xa 对称 注 2 f xfax 亦然 性质 2 对于函数 yf x 若存在常数 a b使得函数定义域内的任意x 都有 f axf bx f x 的图像关于点 0 2 ab 对称 特例 当ab 时 f axf axf x 的图像关于点 0 a对称 注 2 f xfax 亦然 事实上 上述结论是广义奇 偶 函数的性质 性质 3 设函数 yf x 如果对于定义域内任意的x 都有 f amxf bmx 0 a b mRm 且 则 yf x 的图像关于直线 2 ab x 对称 这实际上是偶函数的一般情形 广义偶函数 性质 4 设函数 yf x 如果对于定义域内任意的x 都有 f amxf bmx 0 a b mRm 且 则 yf x 的图像关于点 2 ab 0 对称 实际上是奇函数的一般情形 广义奇函数 小结 函数对称性的充要条件 函数关系式 x R 对称性 ffxx 函数 f x图像是奇函数 ffxx 函数 f x图像是偶函数 2 f xfax 或 f axf ax 函数 f x图像关于直线xa 对称 2 2 f xbfax 或 2 f axbf ax 函数 f x图像关于点 P a b对称 注 这里代数关系式中两个 f 对应法则 内的 x 变量 前的正负号相异 如果把两个 f 放 在 的两边 则 f 前的正负号也相异 因为对称性关乎翻转 2 两个函数图像之间的对称性 1 函数 yf x 与 yf x 的图像关于直线0y 对称 数学应试笔记 第 12 页 2 函数 yf x 与 yfx 的图像关于直线0 x 对称 3 函数 yf x 与 yfx 的图像关于原点 0 0 对称 4 函数 yf x 与它的反函数 1 yfx 的图像关于直线yx 对称 5 函数 yf amx 与 yf bmx 的图像 0a b mR m 关于直线 2 ba x m 对称 特别地 函数 yf ax 与 yf bx 的图像关于直线 2 ba x 对称 C4 几个函数方程的周期几个函数方程的周期 约定约定0a 1 若 f xf xa 或 22 a f xf x a 则 f x的周期Ta 2 若 0f xf xa 或 1 1 f x f xa f x 或 22 ff aa xx 或 fxafxa 或 1 fxa fx 0 f x 或 faxfax fx 为偶函数 或 faxfax fx 为奇函数 或 faxfax fx 为偶函数 或 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x 则 f x的周期2Ta 3 若 1 1 0 f xf x f xa 则 f x的周期3Ta 4 若 faxfax fx 为偶函数 或 faxfax fx 为奇函数 或 fxafxa 或 1 1 f x f xa f x 或 1 1 f x f xa f x 或 12 12 12 1 f xf x f xx f xf x 且 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 则 f x的周期4Ta 5 若 2 3 4 f xf xaf xaf xaf xa 2 3 4 f xf xaf xaf xaf xa 则 f x的周期 5Ta 6 若 f xaf xf xa 则 f x的周期6Ta 说明 函数 yf x 满足对定义域内任一实数x 其中a为常数 都有等式成立 上述结论可以通过反 复运用已知条件来证明 C5 对称性与周期性的关系对称性与周期性的关系 定理 1 若定义在R上的函数 f x的图像关于直线xa 和xb ab 对称 则 f x是周期函数 且 2 ab 是它的一个周期 推论 1 若函数 f x满足 f axf ax 及 f bxf bx ab 则 f x是以2 ab 为周 期的周期函数 定理 2 若定义在R上的函数 f x的图像关于点 0 a和直线xb ab 对称 则 f x是周期函数 且 4 ab 是它的一个周期 推论 2 若函数 f x满足 f axf ax 及 f bxf bx ab 则 f x是以4 ab 为 周期的周期函数 定理 3 若定义在R上的函数 f x的图像关于点 0 a y和 0 b y ab 对称 则 f x是周期函数 且 2 ab 是它的一个周期 推论 3 若函数 f x满足 0 2f axf axy 及 0 2f bxf bxy ab 则 f x是以 2 ab 为周期的周期函数 C6 函数图象的对称轴和对称中心举例函数图象的对称轴和对称中心举例 函函 数数 满满 足足 的的 条条 件件对称轴对称轴 中心中心 满足 xafxaf 的函数 xfy 的图像 或 xafxfxafxf 2 2 ax 满足 f axf ax 的函数 xfy 的图像 或 2 2f xfaxfxfax 0a 满足 xbfxaf 的函数 xfy 的图像 2 ba x 满足 f axf bx 的函数 xfy 的图像 0 2 ab 满足 xfxf 的函数 xfy 的图像 偶函数 0 x 满足 f xfx 的函数 xfy 的图像 奇函数 0 0 满足 xafy 与 xbfy 的两个函数的图像 2 ab x 满足 xfy 与 xfy 的两个函数的图像0 x 满足 xfy 与 xfy 的两个函数的图像0 y C7 函数周期性 对称性与奇偶性的关系函数周期性 对称性与奇偶性的关系 1 定义在R上的函数 f x 若同时关于直线xa 和2xa 对称 即对于任意的实数x 函数 f x同时满 足 f axf ax 2 2 faxfax 则函数 f x是以2Ta 为周期的周期函数 且是偶函数 2 定义在R上的函数 f x 若同时关于直线xa 和点 2 0 a对称 即对于任意的实数x 函数 f x同时 满足 f axf ax 2 2 faxfax 则函数 f x是以4Ta 为周期的周期函数 且是奇 函数 3 定义在R上的函数 f x 若同时关于点 0 a和直线2xa 对称 即对于任意的实数x 函数 f x同时 满足 f axf ax 2 2 faxfax 则函数 f x是以4Ta 为周期的周期函数 且是偶 函数 4 定义在R上的函数 f x 若同时关于点 0 a和点 2 0 a对称 即对于任意的实数x 函数 f x同时满 足 f axf ax 2 2 faxfax 则函数 f x是以2Ta 为周期的周期函数 且是奇函 数 5 若偶函数 f x关于直线xa 对称 即对于任意的实数x 函数 f x满足 f axf ax 则 f x是以2Ta 为周期的周期函数 6 若偶函数 f x关于点 0 a对称 即对于任意的实数x 函数 f x满足 f axf ax 则 f x是以4Ta 为周期的周期函数 7 若奇函数 f x关于直线xa 对称 即对于任意的实数x 函数 f x满足 f axf ax 则 f x是以4Ta 为周期的周期函数 8 若奇函数 f x关于点 0 a对称 即对于任意的实数x 函数 f x满足 f axf ax 则 f x是以2Ta 为周期的周期函数 拓展 1 若函数 yf xa 为偶函数 则函数 xfy 的图像关于直线xa 对称 2 若函数 yf xa 为奇函数 则函数 xfy 的图像关于点 0 a对称 3 定义在R上的函数 f x满足 f axf ax 且方程 0f x 恰有2n个实根 则这2n个实 根的和为2na 4 定义在R上的函数 xfy 满足 f axf bxc a b c 为常数 则函数 xfy 的图像关于 点 22 a b c 对称 C8 关于奇偶性与单调性的关系关于奇偶性与单调性的关系 如果奇函数 xfy 在区间 0 上是递增的 那么函数 xfy 在区间 0 上也是递增的 数学应试笔记 第 14 页 a3 3 a 3 6 a 32 12 Va 6 3 a 1 arccos 3 3 arccos 3 C B A P A 如果偶函数 xfy 在区间 0 上是递增的 那么函数 xfy 在区间 0 上是递减的 思考 结论推导 C 9 几何体中数量运算导出结论几何体中数量运算导出结论 数量运算结论涉及到几何体的棱 侧面 对角面 截面等数量关系及几何性质 1 在长方体 a b c中 体对角线长为 222 cba 外接球直径 222 2Rabc 棱长总和为4 abc 全 表 面积为2 abbcca 体积Vabc 体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则有 cos2 cos2 cos2 1 sin2 sin2 sin2 2 体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有 cos2 cos2 cos2 2 sin2 sin2 sin2 1 2 在正三棱锥中 侧棱长相等 侧棱与底面所成角相等 顶点在底上射影为底面外心 侧棱两两垂 直 两对对棱垂直 顶点在底上射影为底面垂心 斜高长相等 侧面与底面所成角相等 且顶点在底上在底 面内 顶点在底上射影为底面内心 3 在正四面体中 设棱长为a 则正四面体中的一些数量关系 全面积 2 3Sa 体积 3 2 12 Va 对棱间的距离 2 2 da 相邻面所成二面角 1 3 arccos 外接球半径 6 4 Ra 内切球半径 6 12 ra 正四面体内任一点到各面距离之和为定值 6 3 ha 4 在立方体中 设正方体的棱长为a 则 体对角线长为a3 全面积为 2 6a 体积 3 Va 内切球 半径为 1 r 外 接球半径为 2 r 与十二条棱均相切的球半径为 3 r 则 1 2ra 2 23ra 2 22ra 且 123 123rrr 点拨 立方体承载着诸多几何体的位置关系特征 只要作适当变形 如切 割 组合 扭转等处理 便可产生新几何体 貌似新面孔 但其本原没变 所以 在求 解三棱椎 三棱柱 球体等问题时 如果一般识图角度受阻 不妨尝试根据几何体 的结构特征 构造相应的 正方体 将问题化归到基本几何体中 会有意想不到的 效果 5 在球体中 球是一种常见的简单几何体 球的位置由球心确定 球的大小仅取决于半径的大 小 球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点 球面是到球心的距离等于定长 半径 的点的集合 球的截面是圆面 其中过球心的截面叫做大圆面 球面上两点间的距离 是过这两点的大圆在这两点间 的劣弧长 计算球面距离的关键是 根据已知经纬度等条件 先寻求球面上两点间的弦长 因为此弦长既是 球面上两点间的弦长 又是大圆上两点间的弦长 球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是 22 rRd 掌握球面上两点A B间的距离求法 计算线段AB的长 计算球心角AOB 的弧度数 用弧长公式计算劣弧AB的长 注 经度是 小小半径所成角 纬度是 大小半径的夹角 补充补充 一 四面体 一 四面体 1 对照平面几何中的三角形 我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质 四面体的六条棱的垂直平分面交于一点 这一点叫做此四面体的外接球的球心 四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点 这一点叫做此四面体的内接球的球心 四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点 这一点叫做此四面体的重心 且重心将每条连线 分为 3 1 12 个面角之和为 720 每个三面角中任两个之和大于另一个面角 且三个面角之和为 180 2 直角四面体 有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体 相当于平面几何的直角三角 形 在直角四面体中 记 V l S R r h 分别表示其体积 六条棱长之和 表面积 外接球半径 内切球半径及侧面上的高 则有空间勾股定理 S2 ABC S2 BCD S2 ABD S2 ACD 3 等腰四面体 对棱都相等的四面体称为等腰四面体 好象平面几何中的等腰三角形 根据定义不难证明 以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体 反之也可以将一个等腰四面 体拼补成一个长方体 在等腰四面体 ABCD 中 记 BC AD a AC BD b AB CD c 体积为 V 外接球半径为 R 内接球半径为 r 高为 h 则有 等腰四面体的体积可表示为 2223 1 222222222 cbabacacb V 等腰四面体的外接球半径可表示为 222 4 2 cbaR 等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等 且可表示为 222 3 2 cbam h 4r 二 空间正余弦定理 二 空间正余弦定理 空间正弦定理 sin ABD sin A BC D sin ABC sin A BD C sin CBD sin C BA D 空间余弦定理 cos ABD cos ABCcos CBD sin ABCsin CBDcos A BC D 6 直角四面体的性质 直角四面体的性质 在直角四面体OABC 中 OA OB OC两两垂直 令 OAa OBb OCc 则 底面三角形ABC为锐角三角形 直角顶点O在底面的射影H为三角形ABC的垂心 2 BOCBHCABC SSS 2222 AOBBOCCOAABC SSSS 2222 1111 OHabc 外接球半径 R 222 1 2 abcR 7 球的组合体 1 球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 2 球与正方体的组合体 正方体的内切球的直径是正方体的棱长 正方体的棱切球