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奇异值引理证明矩阵和的关系摘 要矩阵理论中关于矩阵AB和BA的特征值的关系非常丰富，本文针对两个结论：和进行了证明。关键字：矩阵 迹 BA和AB 特征值引言在学习矩阵奇异值分解前，我们引入了一个引理，本文参考矩阵理论中关于矩阵AB和BA的特征值的关系，用矩阵分块的方法证明了此引理，即对，以及迹相等的结论。引理证明对于，证明 特别地，当时，则有（提示：借助分块矩阵乘法证明）证明：已知 (1) (2)先来计算，令按行分块，按列分块 (3) (4)则矩阵可简化为 (5)， (6) (7)由矩阵的迹的定义可知，的迹为 (8)将带入(8)展开，得 (9)同理再来计算，令按列分块，按行分块 (10) (11)矩阵简化为 (12)， (13) (14)的迹为 (15)将带入(15)展开(16)显而易见，（9）和（16）式互换结果相等，由此可以证明。证明：不妨设，用分块矩阵证明(17)两边取行列式得 (18)再在两边分别乘上值为1的行列式，得(19)即有 (20)故 (21)两边同乘得(22)所以 (23)即 (24)得证。特别地，当时，则有 (25)这就是引入矩阵奇异值分解的引理。结论以上过程用分块矩阵乘法证明了，对于，迹相等，即；有相同的非零特征值，且阶数高的有阶零特征值，即。特别地，当时。另外，由有相同的非零特征值也可推出有相同的迹，即可证明的结论成立。参考文献1 肖艾平. 矩阵 AB 和 BA 的特征值的关系J. 科技信息, 2011, 17: 477.2 王莲花. 矩阵 AB 与 BA 的特征值问题及其应用J. 大学数学, 2007, 23(3): 135-139.3戴立辉. 矩阵乘积 AB 与 BA 的关系及性质J. 闽江学院学报, 2007, 28(5): 10
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