因式分解的多种方法

因式分解的多种方法因式分解的多种方法 编者按 很多同学在做因式分解的题目时 会觉得无从入手 而面临竞赛题目时 更加编者按 很多同学在做因式分解的题目时 会觉得无从入手 而面临竞赛题目时 更加 摸不着头脑 在此介绍几种因式分解的方法 其实 因式分解没有想象中的那么难 摸不着头脑 在此介绍几种因式分解的方法 其实 因式分解没有想象中的那么难 1 提取公因式 这种方法比较常规 简单 必须掌握 常用的公式有 完全平方公式 平方差公式等 例一 2x 2 3x 0 解 x 2x 3 0 x1 0 x2 3 2 这是一类利用因式分解的方程 总结 要发现一个规律就是 当一个方程有一个解 x a 时 该式分解后必有一个 x a 因式 这对我们后面的学习有帮助 2 公式法 将式子利用公式来分解 也是比较简单的方法 常用的公式有 完全平方公式 平方差公式等 注意 使用公式法前 建议先提取公因式 例二 x 2 4 分解因式 分析 此题较为简单 可以看出 4 2 2 适用平方差公式 a 2 b 2 a b a b 2 解 原式 x 2 x 2 3 十字相乘法 是做竞赛题的基本方法 做平时的题目掌握了这个也会很轻松 注意 它不难 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数 a1 a2 的积 a1 a2 把常数项 c 分解成两个因数 c1 c2 的积 c1 c2 并使 a1c2 a2c1 正好是一次项 b 那么可以直接 写成结果 例三 把 2x 2 7x 3 分解因式 分析 先分解二次项系数 分别写在十字交叉线的左上角和左下角 再分解常数项 分别写在十字交叉线的右上角和右下角 然后交叉相乘 求代数和 使其等于一次 项系数 分解二次项系数 只取正因数 2 1 2 2 1 分解常数项 3 1 3 3 1 3 1 1 3 用画十字交叉线方法表示下列四种情况 1 1 2 3 1 3 2 1 5 1 3 2 1 1 1 2 3 7 1 1 2 3 1 3 2 1 5 1 3 2 1 1 1 2 3 7 经过观察 第四种情况是正确的 这是因为交叉相乘后 两项代数和恰等于一次项 系数 7 解 原式 x 3 2x 1 总结 对于二次三项式 ax 2 bx c a 0 如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之 积 即 a a1a2 常数项 c 可以分解成两个因数之积 即c c1c2 把 a1 a2 c1 c2 排列如下 a1 c1 a2 c2 a1c2 a2c1 按斜线交叉相乘 再相加 得到a1c2 a2c1 若它正好等于二次三项式 ax2 bx c 的一次项系数 b 即 a1c2 a2c1 b 那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x c1 与 a2x c2 之积 即 ax2 bx c a1x c1 a2x c2 这种方法要多实验 多做 多练 它可以包括前两者方法 4 分组分解法 也是比较常规的方法 一般是把式子里的各个部分分开分解 再合起来 需要可持续性 例四 x 2 4x 4x 2 y 2 可以看出 前面三项可以组成平方 结合后面的负平方 可以用平方差公式 解 原式 x 2 2 y 2 x 2 y x 2 y 总结 分组分解法需要前面的方法作基础 可见前面方法的重要性 5 换元法 整体代入 免去繁琐的麻烦 亦是建立的之前的基础上 例五 x y 2 2 x y 1 分解因式 考虑到 x y 是以整体出现 展开是十分繁琐的 用 a 代替 x y 那么原式 a 2 2a 1 a 1 2 回代 原式 x y 1 2 6 主元法 这种方法要难一些 多练即可 即把一个字母作为主要的未知数 另一个作为常数 例六 因式分解 16y 2x 2 y 1 2 y 1 2x 4 分析 本题尚且属于简单例用 只是稍加难度 以y 为主元会使原式极其烦琐 而以 x 为主元的话 原式的难度就大大降低了 原式 y 1 2x 4 2 y 1 2x 2 16y 主元法 x 2y 2 2x 2y x 2 8y x 2 2 十字相乘法 可见 十字相乘十分重要 7 双十字相乘法 难度较之前的方法要提升许多 是用来 分解形如 ax 2 bxy cy 2 dx ey f 的 二次六项式 在草稿纸上 将 a 分解成 mn 乘积作为一列 c 分解成 pq 乘积作为第二列 f 分解成 jk 乘积作为第三列 如果 mq np b pk qj e mk nj d 即第 1 2 列和第 2 3 列都满足十字相乘规则 则原式 mx py j nx qy k 要诀 把缺少的一项当作系数为0 0 乘任何数得 0 例七 ab b 2 a b 2 分解因式 解 原式 0 1 a 2 ab b 2 a b 2 0 a b 1 a b 2 b 1 a b 2 8 待定系数法 将式子看成方程 将方程的解代入 这时就要用到 1 中提到的知识点了 当一个方程有一个解 x a 时 该式分解后必有一个 x a 因式 例八 x 2 x 2 该题可以用十字相乘来做 这里介绍一种待定系数法 我们可以把它当方程做 x 2 x 2 0 一眼看出 该方程有一根为 x 1 那么必有一 因式为 x 1 结合多项式展开原理 另一因式的常数必为 2 因为乘 1 要为 2 一次项系数必为 1 因为与 1 相乘要为 1 所以另一因式为 x 2 分解为 x 1 x 2 9 列竖式 让人拍案叫绝的方法 原理和小学的除法差不多 要建立在待定系数法的方程法上 不足的项要用 0 补 除的时候 一定要让第一项抵消 例九 3x 3 5x 2 2 分解因式 提示 x 1 可以使该式 0 有因式 x 1 那么该式分解为 x 1 3x 2 2x 2 因式分解有 9 种方法 这么多 其实是不止的 还有很多很多 不过了解这些 初中的因式分解是不会有问题了 考虑到每种方法只有一个例题 下面提供一些题目 供大家练习 ab b 2 a b 2 a 2 x 2 2 4ax x a 2 3a 3b 2c 6a 2b 2c 2 9ab 2c 3 xy 6 2x 3y 3a b 2 4 3a b a 3b 4 a 3b 2 x 2 x 3 x 2 x 4 12x 2 29x 15 x y 2 x y 1 4x 2 4xy y 2 4x 2y 3 2x 4 13x 3 20 x 2 11x 2 2x 2 7xy 22y 2 5x 35y 3 4m 2 8mn 3