中考数学培优满分专题突破专题3实践操作与探究

1 专题专题 3 3 实践操作与探究实践操作与探究 常考类型分析常考类型分析 专题类型突破专题类型突破 类型类型 1 1 关于直线型物体的操作探究问题关于直线型物体的操作探究问题 例 1 一透明的敞口正方体容器 abcd a b c d 装有一些液体 棱 ab 始终在水平 桌面上 容器底部的倾斜角为 cbe 如图 1 所示 探究探究 如图 1 液面刚好过棱 cd 并与棱 bb 交于点 q 此时液体的形状为直三棱柱 其 三视图及尺寸如图 2 所示 解决问题 1 cq 与 be 的位置关系是 bq 的长是 dm 2 求液体的体积 参考算法 直棱柱体积 v液 底面积 sbcq 高 ab 3 求 的度数 拓展拓展 在图 1 的基础上 以棱 ab 为轴将容器向左或向右旋转 但不能使液体溢出 图 3 或 图 4 是其正面示意图 若液面与棱 c c 或 cb 交于点 p 设 pc x bq y 分别就图 3 和图 4 求 y 与 x 的函数关系式 并写出相应的 的范围 图 3 图 4 2 延伸延伸 在图 4 的基础上 于容器底部正中间位置 嵌入一平行于侧面的长方形隔板 厚度忽 略不计 得到图 5 隔板高 nm 1dm bm cm nm bc 继续向右缓慢旋转 当 60 时 通过计算 判断溢出容器的液体能否达到 4dm3 思路分析思路分析 探究 1 常用三角函数或者勾股定理求直角三角形的边长 根据三视图和 正方体特征可知 在 rt bcq 中 bc ab 4dm cq 5dm 利用勾股定理即可求得 bq 的长 2 题目中给出了直棱柱体积公式 直接利用所给公式求液体的体积 3 利用 bcq 中的 bcq 的三角函数值 求 的度数 拓展 根据液体体积不变列方程 变形求得关系 式 延伸 正面示意图中的液面被 mn 分割成两部分 这两部分分别是直角三角形和直角 梯形 据此求得剩余液体的体积 进一步推断溢出液体的体积 作出判断 解 探究 1 cq be 由左视图知 正方体容器 abcd a b c d 的棱长为 4dm 由主视图知 cq 5dm 解 证明 1 四边形 abcd 是正方形 ad ab bad 90 mn af ahm 90 baf mah mah amh 90 baf amh 在 amn 和 baf 中 3 满分技法满分技法 直线型物体的综合实践探究与操作题的解决策略 理解物体的操作规则 抽象 概括出几何模型 画出不同情形下的图形 并推导计算 得出几何量的通式或函数关系 满分变式必练满分变式必练 1 实验探究 1 如图 1 对折矩形纸片 abcd 使 ad 与 bc 重合 得到折痕 ef 把纸片展开 再一次折 图 1 图 2 4 叠纸片 使点 a 落在 ef 上 并使折痕经过点 b 得到折痕 bm 同时得到线段 bn mn 请你 观察图 1 猜想 mbn 的度数是多少 并证明你的结论 2 将图 1 中的三角形纸片 bmn 剪下 如图 2 折叠该纸片 探究 mn 与 bm 的数量关系 写 出折叠方案 并结合方案证明你的结论 解 1 猜想 mbn 30 证明 如图 1 连接 an 直线 ef 是 ab 的垂直平分线 na nb 由折叠的性质 可知 bn ab ab bn an abn 是等边三角形 abn 60 折纸方案 如图 2 中 折叠 bmn 使得点 n 落在 bm 上 o 处 折痕为 mp 连接 op 证明 由折叠的性质 可知 mop mnp 2 如图 1 将 abc 纸片沿中位线 eh 折叠 使点 a 对称点 d 落在 bc 边上 再将纸片分别沿 等腰 bed 和等腰 dhc 的底边上的高线 ef hg 折叠 折叠后的三个三角形拼合形成一个 矩形 类似地 对多边形进行折叠 若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙 无重叠的矩形 这样的矩形称为叠合矩形 1 将 abcd 纸片按图 2 的方式折叠成一个叠合矩形 aefg 则操作形成的折痕分别是线段 s矩形 aefg s abcd 2 abcd 纸片还可以按图 3 方式折叠成一个叠合矩形 efgh 若 ef 5 eh 12 求 ad 的 长 3 如图 4 四边形 abcd 纸片满足 ad bc ad bc ab bc ab 8 cd 10 小明把该纸 片折叠 得到叠合正方形 请你帮助画出叠合正方形的示意图 并求出 ad bc 的长 5 6 3 问题提出问题提出 我们在分析解决某些数学问题时 经常用到比较两个数或代数式的大小 而解决问题的策 略一般要进行一定的转化 其中 作差法 就是常用的方法之一 所谓 作差法 就是 通过作差 变形 并利用差的符号来确定它们的大小 即要比较代数式 m n 的大小 只要 作出它们的差 m n 若 m n 0 则 m n 若 m n 0 则 m n 若 m n 0 则 m n 问题解决问题解决 如图 1 把边长为 a b a b 的大正方形分割成两个边长分别是 a b 的小正方形及两个矩 形 试比较两个小正方形的面积之和 m 与两个矩形面积之和 n 的大小 解 由图可知 m a2 b2 n 2ab m n a2 b2 2ab a b 2 a b a b 2 0 m n 0 m n 类比应用类比应用 1 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为 a b 是正数 且 a b 试比较小丽和小颖购买商品的平均价格的高低 2 试比较图 2 图 3 两个矩形的周长 m1 n1的大小 b c 联系拓广联系拓广 小刚在超市里买了一些物品 用一个长方体的箱子 打包 箱子的尺寸如图 4 所示 b a c 0 售货员分别可按图 5 图 6 图 7 三种方法进行捆绑 问哪种方法用绳最短 哪种方法用绳最长 请说明理由 图 1 7 类型类型 2 2 关于圆形物体的操作探究问题关于圆形物体的操作探究问题 例 2 观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图 1 图 2 是它的示意图 其工作原理是 滑块 q 在平直滑道 l 上可以左右滑动 在 q 滑动的过程中 连杆 pq 也随之运动 并且 pq 带动连 杆 op 绕固定点 o 摆动 在摆动过程中 两连杆的接点 p 在以 op 为半径的 o 上运动 数 学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识 过点 o 作 oh l 于点 h 并测得 oh 4 分米 pq 3 分米 op 2 分米 8 解决问题 1 点 q 与点 o 间的最小距离是 分米 点 q 与点 o 间的最大距离是 分米 点 q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米 2 如图 3 小明同学说 当点 q 滑动到点 h 的位置时 pq 与 o 是相切的 你认为他 的判断对吗 为什么 3 小丽同学发现 当点 p 运动到 oh 上时 点 p 到 l 的距离最小 事实上 还存在着 点 p 到 l 距离最大的位置 此时 点 p 到 l 的距离是 分米 当 op 绕点 o 左右 摆动时 所扫过的区域为扇形 求这个扇形面积最大时圆心角的度数 解 1 4 5 6 2 不对 理由如下 op 2 pq 3 oq 4 且 42 32 22 即 oq2 pq2 op2 op 与 pq 不垂直 pq 与 o 不相切 3 3 由 知 在 o 上存在点 p p 到 l 的距离为 3 此时 op 将不能再向下转动 如 图 op 在绕点 o 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是扇形 p op 连接 p p 交 oh 于点 d pq p q 均与 l 垂直 且 pq p q 3 四边形 pqq p 是矩形 oh pp pd p d 由 op 2 od oh hd 1 得 dop 60 pop 120 扇形面积最大时圆心角的度数为 120 满分技法满分技法 题目的图形往往取材于一种机械装置 但不是从物理的角度 而是从数学的角 度进行研究 启迪考生在生产生活实践中发现一件发明 一种创造设计往往是数学知识与 其他学科知识相融合的结晶 解题时要注意数学直观与生活经验的结合 避免单纯考虑数 学图形而容易产生的一些错误 比如误以为当 op 与 pq 夹角为平角 在一条直线上 时 机 械运动到达极端情况 点 p 到 l 距离最大 实际上此时并非点 p 到 l 距离最大的情况 在 点 q 向点 h 运动过程中 点 p 的位置可以更靠下 直至 pq l 时 点 p 到 l 距离最大 满分变式必练满分变式必练 1 阅读理解阅读理解 问题 如图 1 一圆柱的底面半径为 5dm bc 是底面直径 圆柱高 ab 为 5dm 求一只蚂蚁 从点 a 出发沿圆柱表面爬行到点 c 的最短路线 9 小明设计了两条路线 路线 1 侧面展开图中的线段 ac 如图 2 所示 设路线 1 的长度为 l1 则 路线 2 高线 ab 底面直径 bc 如图 1 所示 设路线 2 的长度为 l2 则 所以选择路线 2 较短 解决问题解决问题 小明对上述结论有些疑惑 于是他把条件改成 圆柱的底面半径为 1dm 高 ab 为 5dm 继续按前面的路线进行计算 请你帮小明 完成下面的计算 拓展联想拓展联想 请你帮小明继续研究 在一般情况下 当圆柱的底面半径为 r 高为 h 时 应如何选择上 面的两条路线才能使蚂蚁从点 a 出发沿圆柱表面爬行到点 c 的路线最短 2 某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究 所要制作的纸杯如图 1 所示 规格要 求是 杯口直径 ab 6cm 杯底直径 cd 4cm 杯壁母线 ac bd 6cm 请你和他们一起解 决下列问题 1 小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图 如图 2 忽略拼接部分 得到的图形是圆环 的一部分 10 图 2 中 的长为 cm 的长为 cm me nf cm 要想准确画出纸杯侧面的设计图 需要确定 所在圆的圆心 o 如图 3 所示 小顾同 学发现若将 近似地看做线段 类比相似三角形的性质可得 请你帮 她证明这一结论 根据 中的结论 求 所在圆的半径 r 及它所对的圆心角的度数 n 2 小顾同学计划利用矩形 正方形纸各一张 分别按如图 4 和图 5 所示的方式剪出这个纸 杯的侧面 求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长 11 3 在 abc 中 acb 90 cd ab 于点 d 1 如图 1 ac bc 点 e f 分别在 ac bc 上 edf 90 则 de 与 df 的数量关 系为 2 如图 2 ac bc 延长 bc 到点 f 沿 ca 方向平移线段 cf 到 eg 且点 g 在边 ba 的 延长线上 求证 de df de df 3 如图 3 b 30 延长 bc 到点 f 沿 ca 方向平移线段 cf 到 eg 且点 g 在边 ba 的延长线上 直接写出线段 de 与 df 的位置关系和数量关系 解 1 ac bc acb 90 cd ab a b acd bcd 45 ad dc db adc edf 90 ade cdf 在