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初中阶段因式分解的几个主要方法 河南省濮阳市实验中学 王妍摘要：对初中阶段的因式分解中学生的类型进行了归纳总结，剖析了每一种因式分解方法的产生过程、难点之处，并通过典型例题介绍了多种方法、技巧，从而帮助学生彻底掌握因式分解，形成方法的系统化、知识的网络化，提高了学生的解题能力。关键词：因式分解、概念、方法 例题因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。1、因式分解的概念那么什么叫因式分解呢？因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，对象是多项式，结果是整式的乘积形式。而整式乘法的对象是整式的乘积形式，结果是多项式，必须清楚多项式与整式乘法之间的关系是互逆的，掌握因式分解的概念是因式分解方法的理论基础。维果茨基论的教学启示：基于学生的文化知识库进行教学，鲁教版八年级上教材是先与小学数学里因数分解的概念类比予以说明，又引入结合剪纸拼图来阐述这一概念的。皮亚杰理论的教学启示：基于学生思维进行教学。在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。学生正确理解因式分解的概念，是学好因式分解的前提，理解了因式分解的概念以后，我们也一定要掌握因式分解的方法和步骤。在掌握概念的基础上如何对一个多项式进行因式分解呢？ 2、因式分解的方法 我们所做的因式分解的基本方法，一般有四种，即提取公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。它们既是四种方法也是我们分解因式的顺序与步骤。但是，其实方法不止这几种。现将我所做的几种方法归纳如下： 21.提取公因式 我们把多项式中每一项都含有的相同因式，称之为公因式。公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。把公因式提取出来，叫做提取公因式。用提取公因式法分解因式的关键是正确求出公因式。公因式通常有这样两种情况：（1）公因式是单项式；（2）公因式是多项式。其中，单项式分次数为数字和字母两种情况；多项式又分为相同项和可化为相同项的公因项。例1、 把下列各式因式分解：（1） 3x+x （2）8ab-12abc+ab（3） a(x-3)+2b(x-3) ( 4 ) y(x-1)+y(1-x)解：(1)原式=x(3+x) (2)原式=ab(8ab-12bc+1) (3)原式=（x-3）(a+2b) (4)原式= y(x-1)+y(x-1)=y (x-1)(1+y)注：第(2)小题的因式分解学生易写成ab(8ab-12bc)，第（4）小题(x-1)= (1-x)的转化以及(x-1=-(1-x)进而引伸：和（n为正整数）是在讲解时需要给学生强调的地方。22.运用公式 因式分解中的公式法可谓是灵活多变，技巧性非常强。往往一道因式分解不止用一个公式。做此类题必须理清因式分解的多项式本身的特殊性。 常见的公式： （1）a-b=（a-b）（a+b） （2）a2ab+b=（ab）（3）ab=（ab）（aab+b） （初中已经不常用）利用公式法进行因式分解时，必须紧扣公式特点，结合给出的多项式，全面考虑，选择合适的公式。例2、 把下列各式平方差因式分解（1）25-16x (2) (3) 2x-8x解：(1)原式=5-（4x）=(5+4x)(5-4x)(2)原式=3(m+n)-(m-n)=3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n)=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n) （运用公式法是如果有公因式产生要提出公因式） （3）原式=2x(x-4) =2x(x-2) =2x(x+2)(x-2) (当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步分解)例3、 用完全平方公式因式分解（1） x+14x+49 （2） (m+n)-6(m+n)+9（3） -x-4y+4xy解：（1）原式=（x+7）(2) 原式=（m+n）-3=(m+n-3) (体现了整体思想)(3) 原式=-（x+4y-4xy）=-(x-4xy+4y)=-(x-2y)23、分组分解法分组后能直接提公因式或运用公式例4、 分组分解因式解下列各题（1）2ax-10ay+5by-bx (2) a-2ab+b-c解：（1）解法一：第一项、二项为一组 解法二：第一、四项为一组 第三项、四项为一组 第二、三项为一组原式=（2ax-10ay）+(5by-bx) 原式=（2ax-bx）+(-10ay+5by)=2a(x-5y)+b(5y-x) = x(2a-b)-5y(2a-b)=(x-5y)(2a-b) =(2a-b)(x-5y)(2)原式=（a-2ab+b）-c = (a-b)-c =(a-b+c)(a-b-c)24、十字相乘法、这种方法初中课本以及那个删除，但是此方法仍然非常重要。（1）二次项系数为1的x+(a+b)x+ab型的分解利用多项式的乘法法则，可以得到：（x+a）(x+b)=x+(a+b)x+ab反过来，则有：x+(a+b)x+ab=（x+a）(x+b)这就是说，对一个二次项系数为1的二次三项式x+mx+n=（x+a）(x+b),如果能够把常数项n分解成两个因数a,b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m,那么，这个二次三项式就可以分解成（x+a）(x+b)的积，即x+mx+n=（x+a）(x+b)，其中，ab=n,a+b=m.例5、 把下列二次三项式进行因式分解x-4x-12分析：常数项-12可以分解为： -12=1（-12）=（-1）12 =2（-6）=（-2）6 =3（-4）=（-3）4其中，恰好2+（-6）=-4解：x-4x-12=（x+2）x+(-6) =(x+2)(x-6)利用上诉方法的关键是将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和要等于一次项的系数，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来。（2） 二次项系数不为1的ax+bx+c型的分解条件：a=a a C= c c b=ac+ac分解结果：ax+bx+c=(ax+c)(ax+c)例6、 分解因式3x-11x+10分析：3=13 10=110=25 =-1（-10） =-2