高数下册知识点

高等数学 下 知识点 第 1 页 共 20 页 高等数学下册知高等数学下册知识识点点 第八章第八章 空空间间解析几何与向量代数解析几何与向量代数 向量及其向量及其线线性运算性运算 1 向量 向量相等 向量 向量相等 单单位向量 零向量 向量平行 共位向量 零向量 向量平行 共线线 共面 共面 2 线线性运算 加减法 数乘 性运算 加减法 数乘 3 空空间间直角坐直角坐标标系 坐系 坐标轴标轴 坐 坐标标面 卦限 向量的坐面 卦限 向量的坐标标分解式 分解式 4 利用坐利用坐标标做向量的运算 做向量的运算 设设 zyx aaaa zyx bbbb 则则 zzyyxx babababa zyx aaaa 5 向量的模 方向角 投影 向量的模 方向角 投影 1 向量的模 向量的模 222 zyxr 2 两点两点间间的距离公式 的距离公式 2 12 2 12 2 12 zzyyxxBA 3 方向角 非零向量与三个坐方向角 非零向量与三个坐标轴标轴的正向的的正向的夹夹角角 4 方向余弦 方向余弦 r z r y r x cos cos cos 1coscoscos 222 5 投影 投影 其中其中为为向量向量与与 的的夹夹角 角 cosPraaju a u 数量数量积积 向量 向量积积 1 数量数量积积 cosbaba 1 2 aaa 2 ba 0 ba 高等数学 下 知识点 第 2 页 共 20 页 zzyyxx babababa 2 向量向量积积 bac 大小 大小 方向 方向 符合右手符合右手规则规则 sinba cba 1 0 aa 2 ba 0 ba zyx zyx bbb aaa kji ba 运算律 反交运算律 反交换换律律 baab 曲面及其方程曲面及其方程 1 曲面方程的概念 曲面方程的概念 0 zyxfS 2 旋旋转转曲面 曲面 面上曲面上曲线线 yoz0 zyfC 绕绕轴轴旋旋转转一周 一周 y0 22 zxyf 绕绕轴轴旋旋转转一周 一周 z 0 22 zyxf 3 柱面 柱面 表示母表示母线线平行于平行于轴轴 准 准线为线为的柱面的柱面 0 yxFz 0 0 z yxF 4 二次曲面二次曲面 高等数学 下 知识点 第 3 页 共 20 页 1 椭圆锥椭圆锥面 面 2 2 2 2 2 z b y a x 2 椭椭球面 球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 旋旋转椭转椭球面 球面 1 2 2 2 2 2 2 c z a y a x 3 单单叶双曲面 叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 4 双叶双曲面 双叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 5 椭圆椭圆抛物面 抛物面 z b y a x 2 2 2 2 6 双曲抛物面 双曲抛物面 马马鞍面 鞍面 z b y a x 2 2 2 2 7 椭圆椭圆柱面 柱面 1 2 2 2 2 b y a x 8 双曲柱面 双曲柱面 1 2 2 2 2 b y a x 9 抛物柱面 抛物柱面 ayx 2 空空间间曲曲线线及其方程及其方程 1 一般方程 一般方程 0 0 zyxG zyxF 高等数学 下 知识点 第 4 页 共 20 页 2 参数方程 参数方程 如螺旋 如螺旋线线 tzz tyy txx btz tay tax sin cos 3 空空间间曲曲线线在坐在坐标标面上的投影面上的投影 消去 消去 得到曲 得到曲线线在面在面上的投影上的投影 0 0 zyxG zyxF zxoy 0 0 z yxH 平面及其方程平面及其方程 1 点法式方程 点法式方程 0 000 zzCyyBxxA 法向量 法向量 过过点点 CBAn 000 zyx 2 一般式方程 一般式方程 0 DCzByAx 截距式方程 截距式方程 1 c z b y a x 3 两平面的两平面的夹夹角 角 1111 CBAn 2222 CBAn 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos CBACBA CCBBAA 21 0 212121 CCBBAA 21 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 4 点点到平面到平面的距离 的距离 0000 zyxP0 DCzByAx 222 000 CBA DCzByAx d 空空间间直直线线及其方程及其方程 高等数学 下 知识点 第 5 页 共 20 页 1 一般式方程 一般式方程 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 2 对对称式 点向式 方程 称式 点向式 方程 p zz n yy m xx 000 方向向量 方向向量 过过点点 pnms 000 zyx 3 参数式方程 参数式方程 ptzz ntyy mtxx 0 0 0 4 两直两直线线的的夹夹角 角 1111 pnms 2222 pnms 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos pnmpnm ppnnmm 21 LL0 212121 ppnnmm 21 L L 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 5 直直线线与平面的与平面的夹夹角 直角 直线线与它在平面上的投影的与它在平面上的投影的夹夹角 角 222222 sin pnmCBA CpBnAm L0 CpBnAm L p C n B m A 第九章第九章 多元函数微分法及其多元函数微分法及其应应用用 基本概念基本概念 高等数学 下 知识点 第 6 页 共 20 页 1 距离 距离 邻邻域 内点 外点 域 内点 外点 边边界点 聚点 开集 界点 聚点 开集 闭闭集 集 连连通集 区域 通集 区域 闭闭区域 有界区域 有界 集 无界集 集 无界集 2 多元函数 多元函数 图图形 形 yxfz 3 极限 极限 Ayxf yxyx lim 00 4 连续连续 lim 00 00 yxfyxf yxyx 5 偏偏导导数 数 x yxfyxxf yxf x x lim 0000 0 00 y yxfyyxf yxf y y lim 0000 0 00 6 方向方向导导数 数 其中其中为为的方向角 的方向角 coscos y f x f l f l 7 梯度 梯度 则则 yxfz jyxfiyxfyxgradf yx 000000 8 全微分 全微分 设设 则则 yxfz ddd zz zxy xy 性性质质 1 函数可微 偏函数可微 偏导连续导连续 偏 偏导导存在 函数存在 函数连续连续等概念之等概念之间间的关系 的关系 偏偏导导数存在数存在 函数可微函数可微 函数函数连续连续 偏偏导导数数连续连续 充分条件充分条件 必要条件必要条件 定定义义 1 2 2 3 4 高等数学 下 知识点 第 7 页 共 20 页 2 闭闭区域上区域上连续连续函数的性函数的性质质 有界性定理 最大最小 有界性定理 最大最小值值定理 介定理 介值值定理 定理 3 微分法微分法 1 定定义义 ux 2 复合函数求复合函数求导导 链链式法式法则则 z 若若 则则 zf u v uu x y vv x y vy zzuzv xuxvx zzuzv yuyvy 3 隐隐函数求函数求导导 两 两边边求偏求偏导导 然后解方程 然后解方程 组组 应应用用 1 极极值值 1 无条件极无条件极值值 求函数 求函数的极的极值值 yxfz 解方程解方程组组 求出所有求出所有驻驻点 点 对对于每一个于每一个驻驻点点 令 令 0 0 y x f f 00 yx 00 yxfA xx 00 yxfB xy 00 yxfC yy 若若 函数有极小 函数有极小值值 0 2 BAC0 A 若若 函数有极大 函数有极大值值 0 2 BAC0 A 若若 函数没有极 函数没有极值值 0 2 BAC 若若 不定 不定 0 2 BAC 2 条件极条件极值值 求函数 求函数在条件在条件下的极下的极值值 yxfz 0 yx 令 令 Lagrange 函数函数 yxyxfyxL 解方程解方程组组 0 0 0 yx L L y x 高等数学 下 知识点 第 8 页 共 20 页 2 几何几何应应用用 1 曲曲线线的切的切线线与法平面与法平面 曲曲线线 则则上一点上一点 对应对应参数参数为为 处处的的 tzz tyy txx 000 zyxM 0 t 切切线线方程方程为为 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy tx xx 法平面方程法平面方程为为 0 000000 zztzyytyxxtx 2 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线线 曲面曲面 则则上一点上一点处处的切平面方程的切平面方程为为 0 zyxF 000 zyxM 0 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx 法法线线方程方程为为 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 第十章第十章 重重积积分分 二重二重积积分分 1 定定义义 n k kkk D fyxf 1 0 limd 2 性性质质 6 条 条 3 几何意几何意义义 曲 曲顶顶柱体的体柱体的体积积 4 计计算 算 1 直角坐直角坐标标 高等数学 下 知识点 第 9 页 共 20 页 bxa xyx yxD 21 2 1 d dd d bx ax D f x yx yxf x yy dyc yxy yxD 21 2 1 d dd d dy cy D f x yx yyf x yx 2 极坐极坐标标 21 D 2 1 d d cos sin d D f x yx ydf 三重三重积积分分 1 定定义义 n k kkkk vfvzyxf 1 0 limd 2 性性质质 3 计计算 算 1 直角坐直角坐标标 先一后二先一后二 D yxz yxz zzyxfyxvzyxf 2 1 d ddd 先二后一先二后一 Z D b a yxzyxfzvzyxfdd dd 2 柱面坐柱面坐标标 高等数学 下 知识点 第 10 页 共 20 页 zz y x sin cos d cos sin d d df x y zvfzz 3 球面坐球面坐标标 cos sinsin cossin rz ry rx 2 d sin cos sin sin cos sin d d df x y zvf rrrrr 应应用用 曲面曲面的面的面积积 DyxyxfzS yx y z x z A D dd 1 22 第十一章第十一章 曲曲线积线积分与曲面分与曲面积积分分 对对弧弧长长的曲的曲线积线积分分 1 定定义义 0 1 dlim n iii L i f x ysfs 2 性性质质 1 d d d LLL f x yx ysf x ysg x ys 2 12 d d d LLL f x ysf x ysf x ys 21 LLL 3 在上 若 则L yxgyxf d d LL f x ysg x ys 高等数学 下 知识点 第 11 页 共 20 页 4 l 为为曲曲线线弧弧 L 的的长长度度 ls L d 3 计计算 算 设设在曲在曲线线弧弧上有定上有定义义且且连续连续 的参数方程的参数方程为为 yxfLL t ty tx 其中其中在在上具有一上具有一阶连续导阶连续导数 且数 且 则则 tt 0 22 tt 22 d d L f x ysfttttt 对对坐坐标标的曲的曲线积线积分分 1 定定义义 设设 L 为为面内从面内从 A 到到 B 的一条有向光滑弧 函数的一条有向光滑弧 函数 xoy yxP 在在 L 上有界 定上有界 定义义 yxQ n k kkk L xPxyxP 1 0 limd n k kkk L yQyyxQ 1 0 limd 向量形式 向量形式 LL yyxQxyxPrFd d d 2 性性质质 用用表示表示的反向弧的反向弧 则则 LL LL ryxFryxFd d 3 计计算 算 设设在有向光滑弧在有向光滑弧上有定上有定义义且且连续连续 的参数方程的参数方程为为 yxQyxPLL 其中 其中在在上具有一上具有一阶连续导阶连续导数 且数 且 t ty tx tt 则则0 22 tt d d d L P x yxQ x yyPtttQtttt 4 两两类类曲曲线积线积分之分之间间的关系 的关系 高等数学 下 知识点 第 12 页 共 20 页 设设平面有向曲平面有向曲线线弧弧为为 上点上点处处的切向量的方向角的切向量的方向角为为 ty tx L 为 为 L yx cos 22 tt t cos 22 tt t 则则 dd coscos d LL P xQ yPQs 格林公式格林公式 1 格林公式 格林公式 设设区域区域 D 是由分段光滑是由分段光滑正向正向曲曲线线 L 围围成 函数成 函数在在 yxQyxP D 上具有上具有连续连续一一阶阶偏偏导导数数 则则有有 LD yQxPyx y P x Q dddd 2 为为一个一个单连单连通区域 函数通区域 函数在在上具有上具有连续连续一一阶阶偏偏导导数 数 则则G yxQyxPG 曲曲线积线积分分 在在内与路径无关内与路径无关 y P x Q dd L P xQ y G 曲曲线积线积分分 dd0 L P xQ y A 在在内内为为某一个函数某一个函数的全微分的全微分 yyxQxyxPd d G yxu 对对面面积积的曲面的曲面积积分分 1 定定义义 设设为为光滑曲面 函数光滑曲面 函数是定是定义义在在上的一个有界函数 上的一个有界函数 zyxf 定定义义 iiii n i SfSzyxf limd 1 0 2 计计算 算 一一单单二投三代入二投三代入 则则 yxzz xy Dyx yxyxzyxzyxzyxfSzyxf yx D yx dd 1 d 22 高等数学 下 知识点 第 13 页 共 20 页 对对坐坐标标的曲面的曲面积积分分 1 预备预备知知识识 曲面的 曲面的侧侧 曲面在平面上的投影 流量 曲面在平面上的投影 流量 2 定定义义 设设为为有向光滑曲面 函数有向光滑曲面 函数是定是定义义在在上的有界函数 上的有界函数 zyxRzyxQzyxP 定定义义 0 1 d dlim n iiiixy i R x y zx yRS 同理 同理 0 1 d dlim n iiiiyz i P x y zy zPS 0 1 d dlim n iiiizx i Q x y zz xRS 3 性性质质 1 则则 21 12 d dd dd d d dd dd dd dd dd d P y zQ z xR x y P y zQ z xR x yP y zQ z xR x y 2 表示与表示与取相反取相反侧侧的有向曲面的有向曲面 则则 d dd dR x yR x y 4 计计算 算 一投二代三定号一投二代三定号 在在上具有一上具有一阶连续阶连续偏偏导导数 数 在在 yxzz xy Dyx yxzz xy D zyxR 上上连续连续 则则 为为上上侧侧取取 d d d d x y D R x y zx yR x y z x yx y 为为下下侧侧取取 5 两两类类曲面曲面积积分之分之间间的关系 的关系 SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd 其中其中为为有向曲面有向曲面在点在点处处的法向量的方向角 的法向量的方向角 zyx 高等数学 下 知识点 第 14 页 共 20 页 高斯公式高斯公式 1 高斯公式 高斯公式 设设空空间闭间闭区域区域由分片光滑的由分片光滑的闭闭曲面曲面所所围围成成 的方向取外的方向取外侧侧 函函 数数在在上有上有连续连续的一的一阶阶偏偏导导数数 则则有有 P Q R yxRxzQzyPzyx z R y Q x P dddddd ddd 或或 SRQPzyx z R y Q x P dcoscoscos ddd 2 通量与散度通量与散度 通量 向量通量 向量场场通通过过曲面曲面指定指定侧侧的通量的通量为为 RQPA yxRxzQzyPdddddd 散度 散度 z R y Q x P Adiv 斯托克斯公式斯托克斯公式 1 斯托克斯公式 斯托克斯公式 设设光滑曲面光滑曲面 的的边边界界 是分段光滑曲是分段光滑曲线线 的的侧侧与与 的正向的正向 符合右手法符合右手法则则 在包含在包含 在内的一个空在内的一个空间间域内具有域内具有连续连续 zyxRzyxQzyxP 一一阶阶偏偏导导数数 则则有有 zRyQxPyx y P x Q xz x R z P zy z Q y R ddd dddddd 为为便于便于记忆记忆 斯托克斯公式斯托克斯公式还还可写作可写作 zRyQxP RQP zyx yxxzzy ddd dddddd 2 环环流量与旋度流量与旋度 高等数学 下 知识点 第 15 页 共 20 页 环环流量 向量流量 向量场场沿着有向沿着有向闭闭曲曲线线 的的环环流量流量为为 RQPA zRyQxPddd 旋度 旋度 y P x Q x R z P z Q y R Arot 第十二章第十二章 无无穷级穷级数数 常数常数项级项级数数 1 定定义义 1 无 无穷级穷级数 数 n n n uuuuu 321 1 部分和 部分和 n n k kn uuuuuS 321 1 正正项级项级数 数 1n n u 0 n u 交交错级错级数 数 1 1 n n nu 0 n u 2 级级数收数收敛敛 若 若存在 存在 则则称称级级数数收收敛敛 否 否则则称称级级数数发发散散 SSn n lim 1n n u 1n n u 3 条件收 条件收敛敛 收收敛敛 而 而发发散 散 1n n u 1n n u 绝对绝对收收敛敛 收收敛敛 1n n u 2 性性质质 1 改改变变有限有限项项不影响不影响级级数的收数的收敛敛性 性 2 级级数数 收收敛敛 则则收收敛敛 1n n a 1n n b 1 n nn ba 高等数学 下 知识点 第 16 页 共 20 页 3 级级数数收收敛敛 则则任意加括号后仍然收任意加括号后仍然收敛敛 1n n a 4 必要条件 必要条件 级级数数收收敛敛 注意 不是充分条件 注意 不是充分条件 1n n u 0lim n n u 3 审敛审敛法法 正正项级项级数 数 1n n u 0 n u 1 定定义义 存在 存在 SSn n lim 2 收收敛敛有界 有界 1n n u n S 3 比比较审敛较审敛法 法 为为正正项级项级数 且数 且 1n n u 1n n v 3 2 1 nvu nn 若若收收敛敛 则则收收敛敛 若 若发发散 散 则则发发散散 1n n v 1n n u 1n n u 1n n v 4 比比较较法的推法的推论论 为为正正项级项级数 若存在正整数数 若存在正整数 当 当时时 1n n u 1n n vmmn 而 而收收敛敛 则则收收敛敛 若存在正整数 若存在正整数 当 当时时 而 而 nn kvu 1n n v 1n n ummn nn kvu 发发散 散 则则发发散散 1n n v 1n n u 5 比比较较法的极限形式 法的极限形式 为为正正项级项级数 若数 若 而 而 1n n u 1n n v 0 lim ll v u n n n 收收敛敛 则则收收敛敛 若 若或或 而 而发发散 散 则则发发散散 1n n v 1n n u 0lim n n n v u n n n v u lim 1n n v 1n n u 6 比比值值法 法 为为正正项级项级数 数 设设 则则当当时时 级级数数收收敛敛 则则当当 1n n u l u u n n n 1 lim 1 l 1n n u 时时 级级数数发发散 当散 当时时 级级数数可能收可能收敛敛也可能也可能发发散散 1 l 1n n u 1 l 1n n u 7 根根值值法 法 为为正正项级项级数 数 设设 则则当当时时 级级数数收收敛敛 则则当当 1n n ulu n n n lim 1 l 1n n u 高等数学 下 知识点 第 17 页 共 20 页 时时 级级数数发发散 当散 当时时 级级数数可能收可能收敛敛也可能也可能发发散散 1 l 1n n u 1 l 1n n u 8 极限极限审敛审敛法 法 为为正正项级项级数 若数 若或或 则级则级数数 1n n u0lim n n un n n unlim 发发散 若存在散 若存在 使得 使得 则级则级数数收收敛敛 1n n u1 p 0 lim llun n p n 1n n u 交交错级错级数 数 莱布尼茨莱布尼茨审敛审敛法 交法 交错级错级数 数 满满足 足 且 且 1 1 n n nu 0 n u 3 2 1 1 nuu nn 则级则级数数收收敛敛 0lim n n u 1 1 n n nu 任意任意项级项级数 数 绝对绝对收收敛敛 则则收收敛敛 1n n u 1n n u 常常见见典型典型级级数 几何数 几何级级数 数 1 1 0 q q aq n n 为 为为 为为 为 为 为为 为为 为 p 级级数 数 1p 1 1 1为 为为 为为 为 为 为为 为为 为p n n p 函数函数项级项级数数 1 定定义义 函数 函数项级项级数数 收 收敛敛域 收域 收敛敛半径 和函数 半径 和函数 1 n n xu 2 幂级幂级数 数 0n n nx a 高等数学 下 知识点 第 18 页 共 20 页 收收敛敛半径的求法 半径的求法 则则收收敛敛半径半径 n n n a a 1 lim 0 0 0 1 R 3 泰勒泰勒级级数数 n n n xx n xf xf 0 0 0 0 1 lim lim 1 0 1 n n n n n xx n f xR 展开步展开步骤骤 直接展开法 直接展开法 1 求出求出 3 2 1