解析几何多元方程组问题的计算策略

例谈解析几何多元方程组问题的计算策略例谈解析几何多元方程组问题的计算策略 解析几何涉及到复杂的计算问题 这些计算问题主要是多元方程组的解法问题 下面我们以一道高考题为例探讨解析几何中方程组的解法 原题原题 双曲线与椭圆有相同的焦点 直线为的一条渐近线 C 22 1 84 xy 3yx C 1 求双曲线的方程 C 2 过点的直线 交双曲线于 两点 交轴于点 点与的顶点不重合 0 4 PlCABxQQC 当 且时 求点的坐标 12 PQQAQB 12 8 3 Q 解解 1 设双曲线方程为 22 22 1 xy ab 0 0ab 由题意 22 844ab 3 b a 1a 3b 双曲线的方程为 C 2 2 1 3 y x 2 2 解法一 解法一 由题意知直线 的斜率存在且不为零 lk 设直线 的方程为 则可求 l4ykx 4 0 Q k 设 1 1 A x y 2 2 B x y 1 PQQA 4 4 PQ k 11 4 QAxy k 11 11 44 4 x kk y 1 1 1 1 4 1 1 4 x k y 在双曲线上 1 1 A x y 2 2 1 3 y C x 2 22 11 16 116 1 1 3k 222 11 16 16 32160 3 kk 同理有 222 22 16 16 32160 3 kk 若 则 过顶点 不合题意 2 160k 4k l 2 160k 是一元二次方程的两个根 1 2 222 16 16 32160 3 kxxk 验知 12 2 328 163k 2 4k 0 2k 所求点的坐标是 Q 2 0 仔细分析上面的解法 我们发现本题中涉及 7 个未知数 它们是 112212 x y xyk 上面的解法先把作为一组 构建关于的一元二次方程 再把作为一组 构建关于的一元 111 x yk 1 222 xyk 2 二次方程 由于这两个运算过程完全相同 两个一元二次方程也完全相同 因此 是同一个一元二次方程的两个根 然 1 2 后就可以利用一元二次方程的根与系数的关系了 本题第 2 问我们一般采用下面的解法 但是比上面的解法计算量还要大 具体过程如下 解法二 解法二 把代入双曲线的方程为并整理得 4ykx C 2 2 1 3 y x 22 3 8190kxkx 当时 直线与双曲线只有一个交点 不合题意 故 2 30k C 2 30k 12 2 8 3 k xx k 12 2 19 3 x x k 由已知 1 12 12 1212 4 1414 1 1 2 xx kkk 2 12 12 22 121212 16 11161 1 1 1 x x kk 又 12 8 3 故由 1 得 12 2 9 4 3 k 由 2 得 2 12 2 9 16 80 3 k k 2 22 99 16 4 3 80 3 k kk 解得 验知 所求 Q 点的坐标是 2 0 2 4k 0 2k 如果考虑结论中涉及到的 怎样用表示 刚才提供的解法二可以演变为下面的解法 1 2 k 解法三 解法三 12 1212 4411 4 4444kxkxkxkx 1212 2 121212 8 8 44 4 4 4 16 k xxk xx kxkxk x xk xx 然后把 12 2 8 3 k xx k 12 2 19 3 x x k 代入上式化简得 解得 验知 12 2 968 3483k 2 4k 0 2k 所求 Q 点的坐标是 2 0 三种解法的内在联系三种解法的内在联系 前面已经谈到本题共涉及到 7 个未知数 事实上 由已知 112212 x y xyk 我们有以下 9 个方程组成的方程组 它们是 1 11 44 x kk 5 22 44 x kk 2 2 11 4y 6 6 22 4y 9 9 12 8 3 3 3 11 4ykx 7 7 22 4ykx 4 2 2 1 1 1 3 y x 8 2 2 2 2 1 3 y x 仔细分析题意 不难发现用 1 2 2 可以导 出 3 3 用 5 6 6 可以导 出 7 7 因此上面的 9 个方程实际上等价于 7 个独立的方程 为了求出 需要通过合理的消元 解法一利用 1 2 2 4 5 6 6 8 9 9 这 7 个方程组k 成的方程组 解法二 三利用 1 3 3 4 5 7 7 8 9 9 这 7 个方程组成的方程组 以上这些方程中 下标 为 1 的未知数为一类 下标为 2 的未知数为另一类 这两类未知数涉及到的方程具有共同的形式 已知的第 9 9 个方 程不但起着联系这两类未知数的作用 而且是两个未知数的和的形式 解法一之所以比解法二 三简单一些 就是因为 利用了这个特点 当涉及到的方程不具备这个特点时 我们就很难使用解法一这种构造一元二次方程的消元策略了 这 时候我们一般利用解法二的消元策略 巩固练习 巩固练习 已知椭圆的短轴长为 右焦点与抛物线的焦点重合 为坐标原点 22 22 1 0 xy Cab ab 2 3F 2 4yx O 求椭圆的方程 C 设 是椭圆上的不同两点 点 且满足 若 求直线的斜率的取ABC 4 0 D DADB 3 1 8 2 ABk 值范围 参考答案 参考答案 解法 解法 三点共线 而 DADB DAB 4 0 D 且直线的斜率一定存在 所以设的方程为 ABAB 4 yk x 与椭圆的方程联立得 22 1 43 xy 222 34 24360kykyk 由 得 2 144 14 0k 2 1 4 k 设 1 1 A x y 2 2 B x y 12 2 2 12 2 24 34 36 34 k yy k k y y k 又由得 DADB 12 yy 把 代入 得 消去得 2 2 2 2 2 2 24 1 34 36 34 k y k k y k 2 y 2 161 2 34k 当时 是减函数 3 1 8 2 1 2h 9121 224 h 2 916121 23424k 解得 又 所以 2 215 48436 k 2 1 4 k 2 215 48436 k 的取值范围是 k 521215 622226 解法 解法 设 则 1 1 A x y 2 2 B x y 22 11 22 22 3412 3412 xy xy 又 则DADB 4 0 D 12 12 4 4 xx yy 由得得 12 12 44 xx yy 代入得 22 22 3 44 4 12xy 由得 联立 消去得 22222 22 3412xy 2 y 2222 22 3 44 31212xx 这实际上是关于的一元一次方程 解得 2 x 2 53 2 x 而 2 2 4 y k x 22 22 222 22 222 4123 44 4 4 4 yyx k xxx 把代入上并化简得 2 53 2 x 2 2 2 1 3 10 3103 1