高中数学《利用导数判断函数的单调性》素材1 新人教B版必修2-2

用心 爱心 专心 利用导数判断函数的单调性利用导数判断函数的单调性 有些问题如果采用复合函数的求解方法 对学生逻辑思维能力要求比较高 并且通常 集化归和讨论等数学思想于一体 容易使思维陷入混乱 对准确 迅速解题提出了更高的 要求 而用导数法求解 双二次函数 的单调区间 方向明确 简单明了 是求 双二次函 数 的单调区间的首选方法 下面对两种解法作一比较 例 2 28 22 xfxgxxxf 则 xg在 A 0 1 上递减 B 1 0 上递减 C 0 2 上递增 D 0 2 上递增 解法一 直接采用求复合函数单调区间的一般方法 思路点拨 容易知道 xf在 1 上递增 在 1 上递减 为讨论 2 2x 在 1 及 1 上的单调性 必须先解不等式 12 2 x得12 11 2 xx 得 1 x或1 x 当11 x时 12 2 x xf递减 又 2 2x 在 0 1 上递增 在 1 0 上递减 故 xg在 0 1 上递减 在 1 0 上递增 当1 x或1 x时 12 2 x xf递增 又 2 2x 在 1 上递增 1 上递减 故 xg在 1 上递增 在 1 上递减 故选 A 把上面的叙述整理成下面的表格 x的范围 0 1 1 0 1 1 2 2xt 递增递减递增递减 t的范围 1 1 tf递 减递 增 xg递减递增递增递减 评注 讨论 双二次函数 的单调性的根据是 设 nmubaxxguufy 都是单调函数 则 xgfy 在 ba 上也是单 调函数 1 若 ufy 是 nm 上的增函数 则 xgfy 的增减性与 xgu 的增减性 相同 2 若 ufy 是 nm 上的减函数 则 xgfy 的增减性与 xgu 的增减性 相反 用心 爱心 专心 解法二 利用导数法求单调区间 解 2 28 22 xfxgxxxf 82 24 xxxg xxxg44 3 当1 x或10 x时 0 xg 当01 x或1 x时 0 xg 当1 x或10 x时 xg递增 当01 x或1 x时 xg递减 故选 A 评注 该题直接用导数法求函数的单调区间 简明快捷 运用导数解决有关单调性问题运用导数解决有关单调性问题 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为增函数 如 果f x 0 则f x 为减函数 单调性是导数应用的重点内容 主要有三类问题 运 用导数判断单调区间或证明单调性 已知单调性求参数 先证明其单调性 再运用单 调性证明不等式等问题 下面举例说明 一 求单调区间或证明单调性一 求单调区间或证明单调性 单调区间的求解过程 已知 xfy 1 分析 xfy 的定义域 2 求导数 xfy 3 解不等式0 x f 解集在定义域内的部分为增区间 4 解不等式0 x f 解集在定义域内的部分为减区间 例例 1 1 求下列函数单调区间 1 52 2 1 23 xxxxfy 2 x x y 1 2 用心 爱心 专心 3 x x k y 2 0 k 4 ln2 2 xy 解 解 1 23 2 xxy 1 23 xx 3 2 x 1 时0 y 1 3 2 x 0 y 3 2 1 为增区间 1 3 2 为减区间 2 2 2 1 x x y 0 0 为增区间 3 2 2 1 x k y kx k 0 y 0 0 kkx 0 y k k 为增区间 0 k 0 k减区间 4 x x x xy 141 4 2 定义域为 0 2 1 0 x 0 y 减区间 2 1 x 0 y 增区间 二 已知单调性求参数二 已知单调性求参数 例例 2 2 求满足条件的a 1 使axxy sin为R上增函数 2 使aaxxy 3 为R上增函数 解 解 1 axy cos 1 a 1 a时 xxy sin也成立 用心 爱心 专心 1 a 2 axy 2 3 0 a 0 a时 3 xy 也成立 0 a 三 证明不等式三 证明不等式 若 xfy bax 0 x f恒成立 xfy 为 ba上 对任意 bax 不等式 bfxfaf 恒成立 2 0 x f恒成立 xfy 在 ba上 对任意 bax 不等式 bfxfaf 恒成立 例例 3 3 求证下列不等式 1 x x 2 sin 2 0 x 2 xxxx tansin 2 0 x 证 证 1 原式 2sin x x 令 sin x f x x 又 2 0 x 0cos x 0tan xx 2 tan cos x xxx xf 2 0 x 0 x f 2 0 2 2 f x x 2 sin 2 令xxxxfsin2tan 0 0 f x xxx xxxf 2 2 2 cos sin coscos1 cos2sec 2 0 x 0 x f 2 0 xxxxsintan 重视导数应用的热点题型重视导数应用的热点题型 用心 爱心 专心 导数的应用在新高考中已成为新的热点 特别是对实际问题的解答 更应予以重视 下 面就具体例题谈谈导数的应用题型及应对策略 1 求切线斜率 根据导数的几何意义 函数 xf在点 0 x处的导数是曲线 xf在点 00 xfxP处 的切线斜率 因此求函数在某点处的切线斜率 只要求函数在该点处的导数 例 1 求曲线05322 22 yxyxyx在点 1 1 处的切线方程 分析 利用隐函数求导法则 得出在点 1 1 处的切线斜率 从而可求出切线方程 解 对方程05322 22 yxyxyx两边关于x求导 得 0 32 22 22 yyyyxyx 解之得 322 222 yx yx y 易知 1 1 点在曲线上 7 2 1 1 y 曲线在点 1 1 处的切线方程为 1 7 2 1 xy 即0972 yx 评注 1 两边对x求导 特别要注意y是x的函数 2 隐函数的导数表达式中常包含 x y两个变量 2 求单调性 利用可导函数判断函数单调性的基本方法 设函数 xfy 在某个区间内可导 如果 导数0 xf 则函数在这个区间上为增函数 如果导数0 xf 则函数 xf在这 个区间上为减函数 例 2 2004 全国卷 理 已知 Ra 求函数 ax exxf 2 的单调区间 解 函数f x 的导数 2 2 22axaxax eaxxeaxxexf I 当0 a时 若0 x 则 x f 0 所以当0 a时 函数f x 在区间 0 内为减函数 在区间 0 内为增 函数 II 当 0 2 02 0 2 x a xaxxa或解得由时 由 0 2 02 2 x a axx解得 所以 当0 a时 函数f x 在区间 a 2 内为增函数 在区间 用心 爱心 专心 a 2 0 内为减函数 在区间 0 内为增函数 III 当0 a时 由02 2 axx 解得 a x 2 0 由02 2 axx 解得0 x或 a x 2 所以当0 a时 函数 xf在区间 0 内为减函数 在区间 0 a 2 内为 增函数 在区间 a 2 内为减函数 3 求极值 利用可导函数求函数极值的基本方法 设函数 xfy 在点 0 x处连续且0 xf 若在点 0 x附近左侧0 xf 右侧0 xf 则 0 xf为函数的极大值 若在点 0 x附 近左侧0 xf 右侧0 xf 则 0 xf为函数的极小值 例 3 已知函数1 3 bxaxxxf 当1 x 1 x时 取得极值 且极大值 比极小值大 4 1 求a b的值 2 求 xf的极大值和极小值 解 1 baxxxf 24 35 1 x时有极值 则035 1 baf 53 ab代入 xf得 53 5 1 1 2 axxxxf 且0 53 5 2 ax 对任意实数x成立 053 a 3 5 a x 1 1 1 1 1 1 xf 0 0 xf极大 极 小 当1 x时取得极大值 1 x时取极小值 即4 1 1 ff 用心 爱心 专心 3 ba 再由53 ab 解出1 a 2 b 2 3 1 f为极大值 1 1 f为极小值 4 求最值 在闭区间 ba 上连续的函数 xf 在 ba 上必有最大值与最小值 设函数 xf在 ba 上连续 在 ba内可导 先求出 xf在 ba内的极值 然后将 xf的各极值与 af bf值比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 例 4 2004 湖南理 已知函数eaexxf ax 0 2 其中为自然对数的底数 讨论函数 xf的单调性 求函数 xf在区间 0 1 上的最大值 解 2 ax eaxxxf i 当0 a时 令 0 0 xxf得 若 0 0 0 在从而则xfxfx上单调递增 若 0 0 0 在从而则xfxfx上单调递减 ii 当a 0 时 令 2 0 0 2 0 a xxaxxxf 或故得 若 0 0 0 在从而则xfxfx上单调递减 若 2 0 0 2 0 a xfxf a x 在从而则上单调递增 若 2 a x 2 0 a xfxf在从而则上单调递减 i 当0 a时 xf在区间 0 1 上的最大值是 1 1 f ii 当02 a时 xf在区间 0 1 上的最大值是 a ef 1 iii 当a 2 时 xf在区间 0 1 上的最大值是 4 2 22e aa f 5 求实际应用问题中的最值 在实际问题中 有时会遇到函数在某区间内只有一个点使0 xf 如果函数在这 一点有极值 那么可不与区间端点处的函数值比较 即可断定该极值就是最值 例 5 2000 高考 用总长 8 14m 的钢条制做一个长方体容器的框架 如果所制做容器的 底面的一边比另一边长5 0m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 解 设