【数学】2012新题分类汇编：三角函数(高考真题+模拟新题)

1 三角函数 高考真题 模拟新题 课标理数 10 C1 2011 江西卷 如图 1 一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的 逆时针方向滚动 M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点 那么 当小圆这样滚过大圆内 壁的一周 点 M N 在大圆内所绘出的图形大致是 图 1 图 2 课标理数 10 C1 2011 江西卷 A 解析 如图 建立直角坐标系 由题意可知 小圆 O1总与大圆 O 相内切 且小圆 O1总经过大圆的圆心 O 设某时刻两圆相切于点 A 此时动点 M 所处位置为点 M 则大圆圆弧与小圆圆弧 AM 相等 AM 以切点 A 在劣弧上运动为例 记直线 OM 与此时 小圆 O1的交点为 M1 记 MB AOM 则 OM1O1 M1OO1 故 M1O1A M1OO1 OM1O1 2 大圆圆弧的长为 l1 1 小圆圆弧的长为 l2 2 即 l1 l2 AMAM1 1 2 小圆的两段圆弧与的长相等 故点 M1与点 M 重合 AM AM1 即动点 M 在线段 MO 上运动 同理可知 此时点 N 在线段 OB 上运动 点 A 在其他象限类似可得 M N 的轨迹为相互垂直的线段 观察各选项 只有选项 A 符合 故选 A 课标文数 14 C1 2011 江西卷 已知角 的顶点为坐标原点 始边为 x 轴的正半轴 若 P 4 y 是角 终边上一点 且 sin 则 y 2 5 5 课标文数 14 C1 2011 江西卷 8 解析 r x2 y216 y2 sin sin 解得 y 8 2 5 5 y r y 16 y2 2 5 5 课标理数 5 C1 C6 2011 课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半 轴重合 终边在直线 y 2x 上 则 cos2 A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 课标理数 5 C1 C6 2011 课标全国卷 B 解析 解法 1 在角 终边上任取一点 P a 2a a 0 则 r2 2 a2 2a 2 5a2 OP cos2 cos2 2cos2 1 1 a2 5a2 1 5 2 5 3 5 2 解法 2 tan 2 cos2 2a a cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 课标文数 7 C1 C6 2011 课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半 轴重合 终边在直线 y 2x 上 则 cos2 A B 4 5 3 5 C D 3 5 4 5 课标文数 7 C1 C6 2011 课标全国卷 B 解析 解法 1 在角 终边上任取一点 P a 2a a 0 则 r2 2 a2 2a 2 5a2 OP cos2 cos2 2cos2 1 1 a2 5a2 1 5 2 5 3 5 解法 2 tan 2 cos2 2a a cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 大纲文数 14 C2 2011 全国卷 已知 tan 2 则 cos 3 2 大纲文数 14 C2 2011 全国卷 解析 tan 2 sin 2cos 代入 5 5 sin2 cos2 1 得 cos2 又 cos 1 5 3 2 5 5 课标文数 9 C2 C6 2011 福建卷 若 且 sin2 cos2 则 tan 的值等于 0 2 1 4 A B C D 2 2 3 323 课标文数 9 C2 C6 2011 福建卷 D 解析 因为 sin2 cos2 sin2 1 2sin2 1 sin2 cos2 cos2 sin2 1 cos2 1 4 3 4 0 2 cos sin tan 故选 D 1 2 3 2 sin cos 3 大纲文数 12 C2 2011 重庆卷 若 cos 且 则 tan 3 5 3 2 大纲文数 12 C2 2011 重庆卷 解析 cos 且 4 3 3 5 3 2 sin 1 cos2 4 5 tan sin cos 4 3 课标理数 15 C3 C5 2011 北京卷 已知函数 f x 4cosxsin 1 x 6 3 1 求 f x 的最小正周期 2 求 f x 在区间上的最大值和最小值 6 4 课标理数 15 C3 C5 2011 北京卷 解答 1 因为 f x 4cosxsin 1 x 6 4cosx 1 3 2 sinx 1 2cosx sin2x 2cos2x 1 3 sin2x cos2x 3 2sin 2x 6 所以 f x 的最小正周期为 2 因为 x 所以 2x 6 4 6 6 2 3 于是 当 2x 即 x 时 f x 取得最大值 2 6 2 6 当 2x 即 x 时 f x 取得最小值 1 6 6 6 课标文数 15 C3 C5 2011 北京卷 已知函数 f x 4cosxsin 1 x 6 1 求 f x 的最小正周期 2 求 f x 在区间上的最大值和最小值 6 4 课标文数 15 C3 C5 2011 北京卷 解答 1 因为 f x 4cosxsin 1 x 6 4cosx 1 3 2 sinx 1 2cosx sin2x 2cos2x 1 3 sin2x cos2x 3 2sin 2x 6 所以 f x 的最小正周期为 2 因为 x 所以 2x 6 4 6 6 2 3 于是 当 2x 即 x 时 f x 取得最大值 2 当 2x 即 x 时 f x 取 6 2 6 6 6 6 得最小值 1 课标理数 3 C2 C6 2011 福建卷 若 tan 3 则的值等于 sin2 cos2 A 2 B 3 C 4 D 6 课标理数 3 C2 C6 2011 福建卷 D 解析 因为 2tan 6 故选 D sin2 cos2 2sin cos cos2 2sin cos 4 课标理数 11 C4 C5 2011 课标全国卷 设函数 f x sin x cos x 的最小正周期为 且 f x f x 则 0 2 A f x 在单调递减 0 2 B f x 在单调递减 4 3 4 C f x 在单调递增 0 2 D f x 在单调递增 4 3 4 课标理数 11 C4 C5 2011 课标全国卷 A 解析 原式可化简为 f x sin 2 因为 f x 的最小正周期 T x 4 2 所以 2 所以 f x sin 2 2x 4 又因为 f x f x 所以函数 f x 为偶函数 所以 f x sin cos2x 2 2x 4 2 所以 k k Z 4 2 所以 k k Z 4 又因为 所以 2 4 所以 f x sin cos2x 2 2x 2 2 所以 f x cos2x 在区间上单调递减 2 0 2 5 课标文数 12 C3 2011 辽宁卷 已知函数 f x Atan x y f x 的部分 0 2 图象如图 1 7 则 f 24 图 1 7 A 2 B 33 C D 2 3 33 课标文数 12 C3 2011 辽宁卷 B 解析 由图象知 2 2 又由于 3 8 8 2 2 k k Z k k Z 又 所以 这时 f x Atan 又图象 8 2 4 2 4 2x 4 过 0 1 代入得 A 1 故 f x tan 所以 f tan 故选 B 2x 4 24 2 24 4 3 课标文数 15 C4 2011 安徽卷 设 f x asin2x bcos2x 其中 a b R ab 0 若 f x 对一切 x R 恒成立 则 f 6 f 0 11 12 此时平方得 b2 a2 b2 这不可能 矛盾 故不存在过点 a b 的直线与函数 f x 的 a2 b2 图像不相交 故 错 课标理数 9 C4 2011 安徽卷 已知函数 f x sin 2x 其中 为实数 若 f x 对 f 6 x R 恒成立 且 f f 则 f x 的单调递增区间是 2 A k Z k 3 k 6 B k Z k k 2 C k Z k 6 k 2 3 D k Z k 2 k 7 课标理数 9 C4 2011 安徽卷 C 解析 对 x R 时 f x 恒成立 所以 f sin f 6 6 1 可得 2k 或 2k k Z 3 6 5 6 因为 f sin sin f sin 2 sin 故 sin 0 将 y f x 的图像向右平移 个单 3 位长度后 所得的图像与原图像重合 则 的最小值等于 A B 3 1 3 C 6 D 9 大纲理数 5 C4 2011 全国卷 C 解析 将 y f x 的图像向右平移 个单位长度后得 3 到的图像与原图像重合 则 k k Z 得 6k k Z 又 0 则 的最小值等于 3 2 6 故选 C 大纲文数 7 C4 2011 全国卷 设函数 f x cos x 0 将 y f x 的图像向右平移 个单 3 位长度后 所得的图像与原图像重合 则 的最小值等于 A B 3 C 6 D 9 1 3 大纲文数 7 C4 2011 全国卷 C 解析 将 y f x 的图像向右平移 个单位长度后 3 得到的图像与原图像重合 则 k k Z 得 6k k Z 又 0 则 的最小值等 3 2 于 6 故选 C 课标理数 16 D3 C4 2011 福建卷 已知等比数列 an 的公比 q 3 前 3 项和 S3 13 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若函数 f x Asin 2x A 0 0 在 x 处取得最大值 且最大值为 a3 求函数 6 f x 的解析式 课标数学 16 D3 C4 2011 福建卷 解答 1 由 q 3 S3 得 解得 13 3 a1 1 33 1 3 13 3 a1 1 3 8 所以 an 3n 1 3n 2 1 3 2 由 1 可知 an 3n 2 所以 a3 3 因为函数 f x 的最大值为 3 所以 A 3 因为当 x 时 f x 取得最大值 6 所以 sin 1 2 6 又 0 故 6 所以函数 f x 的解析式为 f x 3sin 2x 6 课标理数 3 C4 2011 湖北卷 已知函数 f x sinx cosx x R 若 f x 1 则 x 的取 3 值范围为 A Error B Error C Error D Error 课标理数 3 C4 2011 湖北卷 B 解析 因为 f x sinx cosx 2sinx 由 f x 3 6 1 得 2sinx 1 即 sinx 所以 2k x 2k k Z 解得 6 6 1 2 6 6 5 6 2k x 2k k Z 3 课标文数 6 C4 2011 湖北卷 已知函数 f x sinx cosx x R 若 f x 1 则 x 的取值 3 范围为 A Error B Error C Error D Error 课标文数 6 C4 2011 湖北卷 A 解析 因为 f x sinx cosx 2sinx 由 f x 3 6 1 得 2sinx 1 即 sinx 所以 2k x 2k k Z 解得 6 6 1 2 6 6 5 6 2k x 2k k Z 3 课标理数 17 C8 C4 2011 湖南卷 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 csinA acosC 1 求角 C 的大小 2 求sinA cos的最大值 并求取得最大值时角 A B 的大小 3 B 4 课标理数 17 C8 C4 2011 湖南卷 解答 1 由正弦定理得 sinCsinA sinAcosC 因为 0 A0 从而 sinC cosC 又 cosC 0 所以 tanC 1 则 C 4 9 2 由 1 知 B A 于是 3 4 sinA cos sinA cos A 3 B 4 3 sinA cosA 2sin 3 A 6 因为 0 A 所以 A 从而当 A 即 A 时 2sin取最大值 2 3 4 6 6 11 12 6 2 3 A 6 综上所述 sinA cos的最大值为 2 此时 A B 3 B 4 3 5 12 课标文数 17 C8 C4 2011 湖南卷 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 csinA acosC 1 求角 C 的大小 2 求sinA cos的最大值 并求取得最大值时角 A B 的大小 3 B 4 课标文数 17 C8 C4 2011 湖南卷 解答 1 由正弦定理得 sinCsinA sinAcosC 因为 0 A0 从而 sinC cosC 又 cosC 0 所以 tanC 1 则 C 4 2 由 1 知 B A 于是 3 4 sinA cos sinA cos A 3 B 4 3 sinA cosA 2sin 3 A 6 因为 0 A 所以 A 从而当 A 即 A 时 2sin取最大值 2 3 4 6 6 11 12 6 2 3 A 6 综上所述 sinA cos的最大值为 2 此时 A B 3 B 4 3 5 12 课标理数 11 C4 C5 2011 课标全国卷 设函数 f x sin x cos x 的最小正周期为 且 f x f x 则 0 2 A f x 在单调递减 0 2 B f x 在单调递减 4 3 4 C f x 在单调递增 0 2 D f x 在单调递增 4 3 4 课标理数 11 C4 C5 2011 课标全国卷 A 解析 原式可化简为 f x sin 2 因为 f x 的最小正周期 T x 4 2 10 所以 2 所以 f x sin 2 2x 4 又因为 f x f x 所以函数 f x 为偶函数 所以 f x sin cos2x 2 2x 4 2 所以 k k Z 4 2 所以 k k Z 4 又因为0 在区间上单调递增 在区间 0 3 上单调递减 则 3 2 A 3 B 2 C D 3 2 2 3 课标理数 6 C4 2011 山东卷 C 解析 本题考查三角函数的单调性 因为当 11 0 x 时 函数 f x 是增函数 当 x 时 函数 f x 为减函数 即当 0 x 时函数 2 2 2 f x 为增函数 当 x 时 函数 f x 为减函数 所以 所以 2 2 3 3 2 课标文数 6 C4 2011 山东卷 若函数 f x sin x 0 在区间上单调递增 在区间 0 3 上单调递减 则 3 2 A B C 2 D 3 2 3 3 2 课标文数 6 C4 2011 山东卷 B 解析 本题考查三角函数的单调性 因为当 0 x 时 函数 f x 为增函数 当 x 时 函数 f x 为减函数 即当 0 x 时 函 2 2 2 数 f x 为增函数 当 x 时 函数 f x 为减函数 所以 所以 2 2 3 3 2 课标数学 9 C4 2011 江苏卷 函数 f x Asin x A 为常数 A 0 0 的部 分图象如图 1 1 所示 则 f 0 的值是 图 1 1 课标数学 9 C4 2011 江苏卷 解析 由图象可得 A 周期为 4 6 22 7 12 3 所以 2 将代入得 2 2k 即 2k 所以 f 0 7 12 2 7 12 3 2 3 sin sin 22 3 6 2 课标文数 7 C4 2011 天津卷 已知函数 f x 2sin x x R 其中 0 若 f x 的最小正周期为 6 且当 x 时 f x 取得最大值 则 2 A f x 在区间 2 0 上是增函数 B f x 在区间 3 上是增函数 C f x 在区间 3 5 上是减函数 D f x 在区间 4 6 上是减函数 课标文数 7 C4 2011 天津卷 A 解析 6 又 2 1 3 2k k Z 且 1 3 2 2 当 k 0 时 f x 2sin 要使 f x 递增 须有 3 1 3x 3 2k x 2k k Z 解之得 6k x 6k k Z 当 k 0 时 2 1 3 3 2 5 2 2 12 x f x 在上递增 5 2 2 5 2 2 课标文数 18 C4 2011 浙江卷 解答 1 由题意得 T 6 2 3 因为 P 1 A 在 y Asin的图象上 3x 所以 sin 1 3 又因为 0 2 所以 6 2 设点 Q 的坐标为 x0 A 由题意可知 x0 得 x0 4 所以 Q 4 A 3 6 3 2 连接 PQ 在 PRQ 中 PRQ 由余弦定理得 2 3 cos PRQ RP2 RQ2 PQ2 2RP RQ A2 9 A2 9 4A2 2A 9 A2 1 2 解得 A2 3 又 A 0 所以 A 3 课标理数 15 C3 C5 2011 北京卷 已知函数 f x 4cosxsin 1 x 6 1 求 f x 的最小正周期 2 求 f x 在区间上的最大值和最小值 6 4 课标理数 15 C3 C5 2011 北京卷 解答 1 因为 f x 4cosxsin 1 x 6 4cosx 1 3 2 sinx 1 2cosx sin2x 2cos2x 1 3 sin2x cos2x 3 2sin 2x 6 所以 f x 的最小正周期为 13 2 因为 x 所以 2x 6 4 6 6 2 3 于是 当 2x 即 x 时 f x 取得最大值 2 6 2 6 当 2x 即 x 时 f x 取得最小值 1 6 6 6 课标文数 15 C3 C5 2011 北京卷 已知函数 f x 4cosxsin 1 x 6 1 求 f x 的最小正周期 2 求 f x 在区间上的最大值和最小值 6 4 课标文数 15 C3 C5 2011 北京卷 解答 1 因为 f x 4cosxsin 1 x 6 4cosx 1 3 2 sinx 1 2cosx sin2x 2cos2x 1 3 sin2x cos2x 3 2sin 2x 6 所以 f x 的最小正周期为 2 因为 x 所以 2x 6 4 6 6 2 3 于是 当 2x 即 x 时 f x 取得最大值 2 当 2x 即 x 时 f x 取 6 2 6 6 6 6 得最小值 1 大纲理数 17 C5 C8 2011 全国卷 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 A C 90 a c b 求 C 2 大纲理数 17 C5 C8 2011 全国卷 解答 由 a c b 及正弦定理可得 2 sinA sinC sinB 2 又由于 A C 90 B 180 A C 故 cosC sinC sin A C 2 sin 90 2C 2 cos2C 2 故cosC sinC cos2C 2 2 2 2 cos 45 C cos2C 因为 0 C 90 所以 2C 45 C C 15 课标理数 16 C5 C8 2011 课标全国卷 在 ABC 中 B 60 AC 则 AB 2BC 的 3 最大值为 课标理数 16 C5 C8 2011 课标全国卷 2 解析 因为 B 60 A B C 180 7 所以 A C 120 由正弦定理 有 14 2 AB sinC BC sinA AC sinB 3 sin60 所以 AB 2sinC BC 2sinA 所以 AB 2BC 2sinC 4sinA 2sin 120 A 4sinA 2 sin120 cosA cos120 sinA 4sinA cosA 5sinA 3 2sin A 其中 sin cos 7 3 2 7 5 2 7 所以 AB 2BC 的最大值为 2 7 课标文数 11 C4 C5 2011 课标全国卷 设函数 f x sin cos 则 2x 4 2x 4 A y f x 在单调递增 其图像关于直线 x 对称 0 2 4 B y f x 在单调递增 其图像关于直线 x 对称 0 2 2 C y f x 在单调递减 其图像关于直线 x 对称 0 2 4 D y f x 在单调递减 其图像关于直线 x 对称 0 2 2 课标文数 11 C4 C5 2011 课标全国卷 D 解析 f x sin sin 2 2x 4 4 2 cos2x 2x 2 2 所以 y f x 在内单调递减 0 2 又 f cos 是最小值 2 22 所以函数 y f x 的图像关于直线 x 对称 2 课标数学 15 C5 C7 2011 江苏卷 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 1 若 sin 2cosA 求 A 的值 A 6 2 若 cosA b 3c 求 sinC 的值 1 3 课标数学 15 C5 C7 2011 江苏卷 本题主要考查三角函数的基本关系式 两角和的正弦 公式 解三角形 考查运算求解能力 解答 1 由题设知 sinAcos cosAsin 2cosA 从而 sinA cosA 所以 6 63 cosA 0 tanA 因为 0 A 所以 A 3 3 2 由 cosA b 3c 及 a2 b2 c2 2bccosA 1 3 得 a2 b2 c2 故 ABC 是直角三角形 且 B 2 15 所以 sinC cosA 1 3 课标理数 6 C5 2011 浙江卷 若 0 0 cos cos 则 2 2 4 1 3 4 2 3 3 cos 2 A B C D 3 3 3 3 5 3 9 6 9 课标理数 6 C5 2011 浙江卷 C 解析 cos 0 sin 又 cos 0 4 1 3 2 4 2 3 3 4 2 3 3 2 sin cos 4 2 6 3 2 cos coscos sinsin 4 4 2 4 4 2 4 4 2 1 3 3 3 2 2 3 6 3 5 3 9 大纲理数 14 C6 2011 全国卷 已知 sin 则 tan2 2 5 5 大纲理数 14 C6 2011 全国卷 解析 sin cos 4 3 5 5 2 2 5 5 则 tan tan2 1 2 2tan 1 tan2 2 1 2 1 1 2 2 4 3 课标理数 3 C2 C6 2011 福建卷 若 tan 3 则的值等于 sin2 cos2 A 2 B 3 C 4 D 6 课标理数 3 C2 C6 2011 福建卷 D 解析 因为 2tan 6 故选 D sin2 cos2 2sin cos cos2 2sin cos 课标文数 9 C2 C6 2011 福建卷 若 且 sin2 cos2 则 tan 的值等于 0 2 1 4 A B C D 2 2 3 323 课标文数 9 C2 C6 2011 福建卷 D 解析 因为 sin2 cos2 sin2 1 2sin2 1 sin2 cos2 cos2 sin2 1 cos2 1 4 3 4 0 2 cos sin tan 故选 D 1 2 3 2 sin cos 3 16 课标理数 5 C1 C6 2011 课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半 轴重合 终边在直线 y 2x 上 则 cos2 A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 课标理数 5 C1 C6 2011 课标全国卷 B 解析 解法 1 在角 终边上任取一点 P a 2a a 0 则 r2 2 a2 2a 2 5a2 OP cos2 cos2 2cos2 1 1 a2 5a2 1 5 2 5 3 5 解法 2 tan 2 cos2 2a a cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 课标理数 7 C6 2011 辽宁卷 设 sin 则 sin2 4 1 3 A B C D 7 9 1 9 1 9 7 9 课标理数 7 C6 2011 辽宁卷 A 解析 sin2 cos 由于 2 2 1 2sin2 4 sin 代入得 sin2 故选 A 4 1 3 7 9 课标文数 7 C1 C6 2011 课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半 轴重合 终边在直线 y 2x 上 则 cos2 A B 4 5 3 5 C D 3 5 4 5 课标文数 7 C1 C6 2011 课标全国卷 B 解析 解法 1 在角 终边上任取一点 P a 2a a 0 则 r2 2 a2 2a 2 5a2 OP cos2 cos2 2cos2 1 1 a2 5a2 1 5 2 5 3 5 解法 2 tan 2 cos2 2a a cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 课标数学 7 C6 2011 江苏卷 已知 tan 2 则的值为 x 4 tanx tan2x 课标数学 7 C6 2011 江苏卷 解析 因为 tan 2 所以 tanx tan2x 4 9 x 4 1 3 即 2 1 3 1 1 9 2 3 8 9 3 4 tanx tan2x 4 9 课标理数 16 C7 2011 广东卷 已知函数 f x 2sin x R 1 3x 6 1 求 f的值 5 4 17 2 设 f f 3 2 求 cos 的值 0 2 3 2 10 13 6 5 课标理数 16 C7 2011 广东卷 解答 1 f 2sin 5 4 1 3 5 4 6 2sin 42 2 f3 2sin 3 2sin 10 13 2 1 3 2 6 f 3 2 2sin 2sin 2cos 6 5 1 3 3 2 6 2 sin cos 又 5 13 3 5 0 2 cos 1 sin2 1 5 13 2 12 13 sin 1 cos2 1 3 5 2 4 5 故 cos cos cos sin sin 3 5 12 13 5 13 4 5 16 65 课标文数 16 C7 2011 广东卷 已知函数 f x 2sin x R 1 3x 6 1 求 f 0 的值 2 设 f f 3 2 求 sin 的值 0 2 3 2 10 13 6 5 课标文数 16 C7 2011 广东卷 解答 1 f 0 2sin 6 2sin 1 6 2 f3 2sin 3 2sin 10 13 2 1 3 2 6 f 3 2 2sin 3 2 6 5 1 3 6 2sin 2cos 2 sin cos 又 5 13 3 5 0 2 cos 1 sin2 1 5 13 2 12 13 sin 1 cos2 1 3 5 2 4 5 故 sin sin cos cos sin 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65 18 课标数学 15 C5 C7 2011 江苏卷 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 1 若 sin 2cosA 求 A 的值 A 6 2 若 cosA b 3c 求 sinC 的值 1 3 课标数学 15 C5 C7 2011 江苏卷 本题主要考查三角函数的基本关系式 两角和的正弦 公式 解三角形 考查运算求解能力 解答 1 由题设知 sinAcos cosAsin 2cosA 从而 sinA cosA 所以 6 63 cosA 0 tanA 因为 0 A 所以 A 3 3 2 由 cosA b 3c 及 a2 b2 c2 2bccosA 1 3 得 a2 b2 c2 故 ABC 是直角三角形 且 B 2 所以 sinC cosA 1 3 课标理数 15 C7 2011 天津卷 已知函数 f x tan 2x 4 1 求 f x 的定义域与最小正周期 2 设 若 f 2cos2 求 的大小 0 4 2 课标理数 15 C7 2011 天津卷 解答 1 由 2x k k Z 得 x k Z 4 2 8 k 2 所以 f x 的定义域为Error f x 的最小正周期为 2 2 由 f 2cos2 得 tan 2cos2 2 cos2 sin2 2 4 sin a 4 cos 4 整理得 2 cos sin cos sin sin cos cos sin 因为 所以 sin cos 0 0 4 因此 cos sin 2 即 sin2 1 2 1 2 由 得 2 所以 2 即 0 4 0 2 6 12 课标文数 16 C8 2011 安徽卷 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 所对的边长 a b 1 2cos B C 0 求边 BC 上的高 32 课标文数 16 C8 2011 安徽卷 本题考查两角和的正弦公式 同角三角函数的基本关系 利用正弦定理或余弦定理解三角形 以及三角形的边与角之间的对应大小关系 考查综合运 算求解能力 19 解答 由 1 2cos B C 0 和 B C A 得 1 2cosA 0 cosA sinA 1 2 3 2 再由正弦定理 得 sinB bsinA a 2 2 由 b a 知 B A 所以 B 不是最大角 B 从而 2 cosB 1 sin2B 2 2 由上述结果知 sinC sin A B 2 2 3 2 1 2 设边 BC 上的高为 h 则有 h bsinC 3 1 2 课标理数 14 C8 2011 安徽卷 已知 ABC 的一个内角为 120 并且三边长构成公差为 4 的等差数列 则 ABC 的面积为 课标理数 14 C8 2011 安徽卷 15 解析 不妨设 A 120 c b 则 3 a b 4 c b 4 于是 cos120 解得 b 10 所以 c 6 所以 S bcsin120 15 b2 b 4 2 b 4 2 2b b 4 1 2 1 23 课标理数 9 C8 2011 北京卷 在 ABC 中 若 b 5 B tanA 2 则 4 sinA a 课标理数 9 C8 2011 北京卷 2 2 5 510 解析 因为 tanA 2 所以 sinA 再由正弦定理有 即 2 5 5 a sinA b sinB a 2 5 5 5 2 2 可得 a 2 10 课标文数 9 C8 2011 北京卷 在 ABC 中 若 b 5 B sinA 则 a 4 1 3 课标文数 9 C8 2011 北京卷 解析 由正弦定理有 即 得 5 2 3 a sinA b sinB a 1 3 5 2 2 a 5 2 3 大纲理数 17 C5 C8 2011 全国卷 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 A C 90 a c b 求 C 2 大纲理数 17 C5 C8 2011 全国卷 解答 由 a c b 及正弦定理可得 2 sinA sinC sinB 2 20 又由于 A C 90 B 180 A C 故 cosC sinC sin A C 2 sin 90 2C 2 cos2C 2 故cosC sinC cos2C 2 2 2 2 cos 45 C cos2C 因为 0 C 90 所以 2C 45 C C 15 大纲文数 18 C8 2011 全国卷 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c asinA csinC asinC bsinB 2 1 求 B 2 若 A 75 b 2 求 a c 大纲文数 18 C8 2011 全国卷 解答 由正弦定理得 a2 c2 ac b2 2 由余弦定理得 b2 a2 c2 2accosB 故 cosB 因此 B 45 2 2 2 sinA sin 30 45 sin30 cos45 cos30 sin45 2 6 4 故 a b 1 sinA sinB 2 6 23 c b 2 sinC sinB sin60 sin45 6 课标理数 14 C8 图 1 5 2011 福建卷 如图 1 5 ABC 中 AB AC 2 BC 2 点 D 在 BC 边上 3 ADC 45 则 AD 的长度等于 课标理数 14 C8 2011 福建卷 答案 2 解析 在 ABC 中 由余弦定理 有 cosC 则 ACB 30 AC2 BC2 AB2 2AC BC 2 3 2 2 2 2 3 3 2 在 ACD 中 由正弦定理 有 AD sinC AC sin ADC AD 即 AD 的长度等于 AC sin30 sin45 2 1 2 2 222 课标文数 14 C8 2011 福建卷 若 ABC 的面积为 BC 2 C 60 则边 AB 的长度 3 等于 21 课标文数 14 C8 2011 福建卷 2 解析 方法一 由 S ABC AC BCsinC 得 1 2 AC 2sin60 解得 AC 2 1 23 由余弦定理 得 AB2 AC2 BC2 2AC BCcos60 22 22 2 2 2 4 1 2 AB 2 即边 AB 的长度等于 2 方法二 由 S AB C AC BCsinC 得 1 2 AC 2sin60 解得 AC 2 1 23 AC BC 2 又 ACB 60 ABC 是等边三角形 AB 2 即边 AB 的长度等于 2 课标理数 16 C8 2011 湖北卷 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 a 1 b 2 cosC 1 4 1 求 ABC 的周长 2 求 cos A C 的值 课标理数 16 C8 2011 湖北卷 解答 1 c2 a2 b2 2abcosC 1 4 4 4 1 4 c 2 ABC 的周长为 a b c 1 2 2 5 2 cosC sinC 1 41 cos2C 1 1 4 2 15 4 sinA asinC c 15 4 2 15 8 a c A C 故 A 为锐角 cosA 1 sin2A 1 15 8 2 7 8 cos A C cosAcosC sinAsinC 7 8 1 4 15 8 15 4 11 16 课标文数 16 C8 2011 湖北卷 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 a 1 b 2 cosC 1 4 1 求 ABC 的周长 2 求 cos A C 的值 课标文数 16 C8 2011 湖北卷 解答 1 c2 a2 b2 2abcosC 1 4 4 4 1 4 c 2 ABC 的周长为 a b c 1 2 2 5 2 cosC sinC 1 41 cos2C 1 1 4 2 15 4 22 sinA asinC c 15 4 2 15 8 a c A C 故 A 为锐角 cosA 1 sin2A 1 15 8 2 7 8 cos A C cosAcosC sinAsinC 7 8 1 4 15 8 15 4 11 16 课标理数 17 C8 C4 2011 湖南卷 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 csinA acosC 1 求角 C 的大小 2 求sinA cos的最大值 并求取得最大值时角 A B 的大小 3 B 4 课标理数 17 C8 C4 2011 湖南卷 解答 1 由正弦定理得 sinCsinA sinAcosC 因为 0 A0 从而 sinC cosC 又 cosC 0 所以 tanC 1 则 C 4 2 由 1 知 B A 于是 3 4 sinA cos sinA cos A 3 B 4 3 sinA cosA 2sin 3 A 6 因为 0 A 所以 A 从而当 A 即 A 时 2sin取最大值 2 3 4 6 6 11 12 6 2 3 A 6 综上所述 sinA cos的最大值为 2 此时 A B 3 B 4 3 5 12 课标文数 17 C8 C4 2011 湖南卷 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 csinA acosC 1 求角 C 的大小 2 求sinA cos的最大值 并求取得最大值时角 A B 的大小 3 B 4 课标文数 17 C8 C4 2011 湖南卷 解答 1 由正弦定理得 sinCsinA sinAcosC 因为 0 A0 从而 sinC cosC 又 cosC 0 所以 tanC 1 则 C 4 2 由 1 知 B A 于是 3 4 sinA cos sinA cos A 3 B 4 3 sinA cosA 2sin 3 A 6 23 因为 0 A 所以 A 0 由余弦定理 有 cos120 整理得 x2 5x 24 0 52 x2 72 10 x 解得 x 3 或 x 8 舍去 即 BC 3 所以 S ABC AB BCsinB 5 3 sin120 5 3 1 2 1 2 1 2 3 2 15 3 4 课标文数 17 C8 2011 山东卷 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cosA 2cosC cosB 2c a b 1 求的值 sinC sinA 2 若 cosB ABC 的周长为 5 求 b 的长 1 4 课标文数 17 C8 2011 山东卷 解答 1 由正弦定理 设 k a sinA b sinB c sinC 25 则 2c a b 2ksinC ksinA ksinB 2sinC sinA sinB 所以原等式可化为 cosA 2cosC cosB 2sinC sinA sinB 即 cosA 2cosC sinB 2sinC sinA cosB 化简可得 sin A B 2sin B C 又因为 A B C 所以原等式可化为 sinC 2sinA 因此 2 sinC sinA 2 由正弦定理及 2 得 c 2a sinC sinA 由余弦定理及 cosB 得 1 4 b2 a2 c2 2accosB a2 4a2 4a2 1 4 4a2 所以 b 2a 又 a b c 5 从而 a 1 因此 b 2 课标理数 18 F3 C8 2011 陕西卷 叙述并证明余弦定理 课标理数 18 F3 C8 2011 陕西卷 解答 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其 他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍 或 在 ABC 中 a b c 为 A B C 的对边 有 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 证法一 如图 1 9 图 1 9 a2 BC BC AC AB AC AB 2 2 2 AC AC AB AB 2 2 cosA 2 AC AC AB AB b2 2bccosA c2 即 a2 b2 c2 2bccosA 同理可证 b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 26 课标文数 18 F3 C8 2011 陕西卷 叙述并证明余弦定理 课标文数 18 F3 C8 2011 陕西卷 解答 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其 他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍 或 在 ABC 中 a b c 为 A B C 的对边 有 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 证法一 如图 1 10 图 1 10 a2 BC BC AC AB AC AB 2 2 2 AC AC AB AB 2 2 cosA 2 AC AC AB AB b2 2bccosA c2 即 a2 b2 c2 2bccosA 同理可证 b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 图 1 11 证法二 已知 ABC 中 角 A B C 所对边分别为 a b c 以 A 为原点 AB 所在 直线为 x 轴建立直角坐标系 则 C bcosA bsinA B c 0 a2 BC 2 bcosA c 2 bsinA 2 b2cos2A 2bccosA c2 b2sin2A b2 c2 2bccosA 同理可证 b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 大纲文数 8 C8 2011 四川卷 在 ABC 中 sin2A sin2B sin2C sinBsinC 则 A 的取值 范围是 27 A B 0 6 6 C D 0 3 3 大纲文数 8 C8 2011 四川卷 C 解析 根据正弦定理有 a2 b2 c2 bc 由余弦定理 可知 a2 b2 c2 2bccosA 所以 b2 c2 2bccosA b2 c2 bc 即有 cosA 所以角 A 的 1 2 取值范围为 选择 C 0 3 大纲理数 6 C8 2011 四川卷 在 ABC 中 sin2A sin2B sin2C sinBsinC 则 A 的取值 范围是 A B C D 0 6 6 0 3 3 大纲理数 6 C8 2011 四川卷 C 解析 根据正弦定理有 a2 b2 c2 bc 由余弦定理 可知 a2 b2 c2 2bccosA 所以 b2 c2 2bccosA b2 c2 bc 即有 cosA 所以角 A 的 1 2 取值范围为 选择 C 0 3 课标理数 6 C8 2011 天津卷 如图 1 2 在 ABC 中 D 是边 AC 上的点 且 AB AD 2AB BD BC 2BD 则 sinC 的值为 3 图 1 2 A B C D 3 3 3 6 6 3 6 6 课标理数 6 C8 2011 天津卷 D 解析 设 BD 2 则 AB AD BC 4 在 3 ABD 中 由余弦定理得 cos ADB AD2 BD2 AB2 2 AD BD 3 4 3 2 3 2 3 3 sin BDC 1 cos2 BDC 1 1 3 6 3 在 BDC 中 由正弦定理得 4 sin BDC 2 sinC 即 sinC sin BDC 1 2 1 2 6 3 6 6 课标理数 18 C8 2011 浙江卷 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 sinA sinC psinB p R 且 ac b2 1 4 1 当 p b 1 时 求 a c 的值 5 4 2 若角 B 为锐角 求 p 的取值范围 课标理数 18 C8 2011 浙江卷 解答 1 由题设并利用正弦定理 得Error 解得Error 或Error 28 2 由余弦定理 b2 a2 c2 2accosB a c 2 2ac 2accosB p2b2 b2 b2cosB 即 p2 cosB 1 2 1 2 3 2 1 2 因为 0 cosB 1 得 p2 由题设知 p 0 所以 p 3 2 2 6 22 课标文数 5 C8 2011 浙江卷 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 acosA bsinB 则 sinAcosA cos2B A B C 1 D 1 1 2 1 2 课标文数 5 C8 2011 浙江卷 D 解析 acosA bsinB sinAcosA sin2B sinAcosA cos2B sin2B cos2B 1 大纲理数 6 C8 2011 重庆卷 若 ABC 的内角 A B C 所对的边 a b c 满足 a b 2 c2 4 且 C 60 则 ab 的值为 A B 8 4 C 1 D 4 33 2 3 大纲理数 6 C8 2011 重庆卷 A 解析 由 a b 2 c2 4 得 a2 b2 c2 2ab 4 由余弦定理得 a2 b2 c2 2abcosC 2abcos60 ab 将 代入 得 ab 2ab 4 即 ab 故选 A 4 3 大纲文数 8 C8 2011 重庆卷 若 ABC 的内角 A B C 满足 6sinA 4sinB 3sinC 则 cosB A B C D 15 4 3 4 3 15 16 11 16 大纲文数 8 C8 2011 重庆卷 D 解析 由正弦定理得 sinA sinB sinC a 2R b 2R c 2R 代入 6sinA 4sinB 3sinC 得 6a 4b