高二导数讲义

1 导数 知识归纳知识归纳 1 1 导数的概念 导数的概念 函数 y f x 如果自变量 x 在 x 处有增量 那么函数 y 相应地有增量 f x f x 比 0 x y 0 x 0 值叫做函数 y f x 在 x 到 x 之间的平均变化率 即 如果当 x y 00 x x y x xfxxf 00 时 有极限 我们就说函数 y f x 在点 x 处可导 并把这个极限叫做 f x 在点 x 处的0 x x y 00 导数 记作 f x 或 y 0 0 xx 即 f x 0 0 lim x x y 0 lim x x xfxxf 00 说明 说明 1 函数 f x 在点 x 处可导 是指时 有极限 如果不存在极限 就说函数 0 0 x x y x y 在点 x 处不可导 或说无导数 0 2 是自变量 x 在 x 处的改变量 时 而是函数值的改变量 可以是零 x 0 0 xy 由导数的定义可知 求函数 y f x 在点 x 处的导数的步骤 0 1 求函数的增量 f x f x y 0 x 0 2 求平均变化率 x y x xfxxf 00 3 取极限 得导数 f x 0 x y x 0 lim 2 2 导数的几何意义 导数的几何意义 函数 y f x 在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y f x 在点 p x f x 处的切线的斜率 也 000 就是说 曲线 y f x 在点 p x f x 处的切线的斜率是 f x 相应地 切线方程为 000 y y f x x x 000 3 3 几种常见函数的导数 几种常见函数的导数 0 C 1 nn xnx sin cosxx cos sinxx xx ee ln xx aaa 1 ln x x 1 l glog aa oxe x 4 4 两个函数的和 差 积的求导法则 两个函数的和 差 积的求导法则 法则法则 1 1 两个函数的和 两个函数的和 或差或差 的导数的导数 等于这两个函数的导数的和等于这两个函数的导数的和 或差或差 即 vuvu 法则法则 2 2 两个函数的积的导数 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘以第二个函数等于第一个函数的导数乘以第二个函数 加上第一个加上第一个 函数乘以第二个函数的导数 即 函数乘以第二个函数的导数 即 uvvuuv 若 C 为常数 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数 0 CuCuCuuCCu CuCu 法则法则 3 3 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积再除以分母的平 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积再除以分母的平 方 方 v0 v u 2 v uvvu 2 形如 y f的函数称为复合函数 复合函数求导步骤 分解 求导 回代 法则 y x X y u UX 5 5 单调区间 单调区间 一般地 设函数在某个区间可导 xfy 如果 则为增函数 f x0 xf 如果 则为减函数 f0 x xf 如果在某区间内恒有 则为常数 f0 x xf 6 6 极点与极值 极点与极值 曲线在极值点处切线的斜率为 0 极值点处的导数为 0 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧 为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 7 7 最值 最值 一般地 在区间 a b 上连续的函数 f在 a b 上必有最大值与最小值 x 求函数 在 a b 内的极值 x 求函数 在区间端点的值 a b x 将函数 的各极值与 a b 比较 其中最大的是最大值 其中最小的是最小值 x 常见综合题方法导航 1 关于函数的单调区间 若单调区间有多个用 和 字连接或用 逗号 隔开 极值 最值 不等式 恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决 第一步 令得到两个根 第二步 列表如下 第三步 由表可知 0 xf 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题 常见处理方法有四种 第一种 变更主元 即关于某字母的一次函数 题型特征 已知谁的范围就把谁作为主元 第二 种 分离变量求最值 第三种 关于二次函数的不等式恒成立 第四种 构造函数求最值 题型特征 恒成立 xgxf 恒成立 0 xgxfxh 2 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x 轴即方程根的个数问题 1 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种 第一种 转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立 然后转为不等式恒成立问题 0 0 xfxf或 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 看是否在 0 的同侧 如果是同侧则不必分类讨论 若在 0 的 两侧 则必须分类讨论 要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀 有时分离变量解不出来 则必须用另外的方法 第二种 利用子区间 即子集思想 首先求出函数的单调增或减区间 然后让所给区间是求的增或减区 间的子集 第三种 利用二次方程根的分布 着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的位置 特别说明 做题时一定要看清楚 在 a b 上是减函数 与 函数的单调减区间是 a b 要弄清楚两句话的区 别 2 函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步 画出两个图像即 穿线图 即解导数不等式 和 趋势图 即三次函数的大致趋势 是先增后 减再增 还是 先减后增再减 第二步 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 组 主要看极大值和极小值与 0 的关系 第三步 解不等式 组 即可 3 函数的切线问题 问题 1 在点处的切线 易求 问题 2 过点作曲线的切线需四个步骤 第一步 设切点 求斜率 第二步 写切线 一般用点斜式 第三步 根据切点既在曲线上又在切 线上得到一个三次方程 第四步 判断三次方程根的个数 3 经典题型分类解析经典题型分类解析 导数定义的应用导数定义的应用 例 1 求抛物线 2 xy 上的点到直线02 yx的最短距离 1 福建 已知对任意实数 有 且时 x fxf xgxg x 0 x 则时 0 0fxg x 0 x A B 0 0fxg x 0 0fxg x C D 0 0fxg x 0 0fxg x 2 已知 P 1 1 Q 2 4 是曲线 2 xy 上的两点 则与直线PQ平行的曲线 2 xy 的切 线方程是 3 3 已知函数处取得极值 并且它的图象与直线在点2 23 xcbxaxxxf在33 xy 1 0 处相切 则函数的表达式为 m2 xf 利用导数研究函数的图像利用导数研究函数的图像 例 1 安徽高考 设a b 函数 2 yxaxb 的图像可能是 1 设 fx 是函数 f x的导函数 将 yf x 和 yfx 的图象画在同一个直角坐标系中 不可能正 确的是 y xO y xO y xO y xO 图 1 图 2 图 3 图 4 4 利用导数解决函数的单调性及极值问题利用导数解决函数的单调性及极值问题 例 1 当 0 x 证明不等式xx x x 1ln 1 例 2 全国高考 已知函数 32 1f xxaxx a R 讨论函数的单调区间 f x 设函数在区间内是减函数 求的取值范围 f x 21 33 a 变式变式 1 1 全国高考 若函数在区间上是减函数 在区 11 2 1 3 1 23 xaaxxxf 4 1 间上是增函数 求实数的取值范围 6a 变式 2 浙江高考 已知函数 32 1 2 f xxa xa axb a b R 若函数 f x在区间 1 1 上不单调 求a的取值范围 练习练习 1 1 利用函数的单调性 证明 ln 0 x xxex 变式变式 1 1 证明 xx x 1ln 1 1 11x 变式变式 2 2 理科 理科 设函数 f x 1 x 2 ln 1 x 2 若关于 x 的方程 f x x2 x a 在 0 2 上 恰好有两个相异的实根 求实数 a 的取值范围 2 已知函数 是的一个极值点 32 1 2 3 f xxbxxa 2x xf 求的单调递增区间 若当时 恒成立 求的取值 f x 1 3 x 2 2 3 f xa a 范围 3 设函数 2 ln f xxax 若当1x 时 f x取得极值 求a的值 并讨论 f x的单 调性 4 4 设 0a 2 1ln2 ln 0 f xxxax x 5 令 讨论在内的单调性并求极值 F xxfx F x 0 求证 当时 恒有 1x 2 ln2 ln1xxax 5 设 2 2 1 x f x x 52 0 g xaxa a 1 求在上的值域 f x 0 1 x 2 若对于任意 总存在 使得成立 求的取值范围 1 0 1 x 0 0 1 x 01 g xf x a 利用导数的几何意义研究曲线的切线问题利用导数的几何意义研究曲线的切线问题 例 1 江西高考 若存在过点 1 0 的直线与曲线 3 yx 和 2 15 9 4 yaxx 都相切 则a等于 A 1 或 25 64 B 1 或 21 4 C 7 4 或 25 64 D 7 4 或7 变式 辽宁高考 设为曲线 上的点 且曲线在点处切线倾斜角PC 2 23yxx CP 的取值范围为 则点横坐标的取值范围为 0 4 P A B C D 1 1 2 10 01 1 1 2 6 综合实战训练综合实战训练 1 1 设函数f x 在定义域内可导 y f x 的图象如右图所示 则导函数y f x 的图象可能为 2 2 已知曲线S y 3x x3及点 则过点P可向S引切线的条数为 2 2 P A 0 B 1 C 2 D 3 3 3 C 设 S 上的切点求导数得斜率 过点 P 可求得 00 xy 2 00 1 2 0 xx 4 4 函数在下面哪个区间内是增函数 cossinyxxx 3 22 A 2 B 35 22 C 2 3 D 5 5 y 2x3 3x2 a的极大值为 6 那么a等于 A 6 B 0 C 5 D 1 6 6 函数f x x3 3x 1 在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 A 1 1 B 3 17 C 1 17 D 9 19 7 7 设l1为曲线y1 sinx在点 0 0 处的切线 l2为曲线y2 cosx在点 0 处的切线 则l1与l2的夹角 2 为 8 8 设函数f x x3 ax2 bx 1 若当x 1 时 有极值为 1 则函数 g x x3 ax2 bx的单调递减区间为 9 湖北 已知函数的图象在点处的切线方程是 则 yf x 1 1 Mf 1 2 2 yx 1 1 f f 10 湖南 函数在区间上的最小值是 3 12f xxx 33 11 浙江 曲线在点处的切线方程是 9 9 已知函数 32 242yxxx 13 32 f xxaxb a bR 若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于 1 求证 xf33a 若 函数图像上任意一点处的切线的斜率为 试讨论的充要条件 0 1x yf x k1k 12 安徽 设函数f x cos2x 4tsincos 4t2 t2 3t 4 x R 其中 1 将f x 的最小值记为 2 x 2 x t g t 求g t 的表达式 诗论g t 在区间 1 1 内的单调性并求极值 7 实战训练实战训练 B B 1 海南 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 1 2 e x y 2 4e 2 9 e 2 2 4e 2 2e 2 e 2 海南 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 x ye 2 2 e 2 9 4 e 2 2e 2 e 2 2 e 3 江苏 已知二次函数的导数为 对于任意实数都有 2 f xaxbxc fx 0 0f x 则的最小值为 0f x 1 0 f f A B C D 3 5 2 2 3 2 4 江西 5 若 则下列命题中正确的是 0 2 x A B C D 3 sin xx 3 sin xx 2 2 4 sin xx 2 2 4 sin xx 5 江西 若 则下列命题正确的是 0 2 x A B C D 2 sin xx 2 sin xx 3 sin xx 3 sin xx 6 辽宁 已知与是定义在上的连续函数 如果与仅当时的函数值为 0 f x g xR f x g x0 x 且 那么下列情形不可能出现的是 f xg x A 0 是的极大值 也是的极大值 f x g x B 0 是的极小值 也是的极小值 f x g x C 0 是的极大值 但不是的极值 f x g x D 0 是的极小值 但不是的极值 f