广东省深圳市高级中学2020届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）

1 广东省深圳市高级中学广东省深圳市高级中学 20202020 届高三数学上学期届高三数学上学期 1010 月月考试题月月考试题 文文 含解析 含解析 一 选择题 一 选择题 1 集合 则 6 axn x 22bxrx ab a b c d 0 5 6 5 6 4 6 46 xx 答案 b 解析 试题分析 由及 则 故选项为 b 考点 1 绝对值不等式的解法 2 集合的运算 2 若复数 则的虚部为 12 i z i z a b c d 1 5 i 1 5 1 5 i 1 5 答案 d 解析 试题分析 22 1 2221 12121 255 12 iiii zi iii i 21 55 zi 所以的虚部为 故 d 正确 z 1 5 考点 复数的运算 3 已知向量 若 则的值为 4 4 4axb ab x a b c d 044 4 答案 c 2 解析 分析 根据两个向量平行的坐标表示列方程 解方程求得的值 x 详解 由于 故 解得 ab 4 440 x 4x 故选 c 点睛 本小题主要考查平面向量平行的坐标表示 考查方程的思想 属于基础题 4 已知角的顶点在坐标原点 始边与轴的非负半轴重合 终边经过点 则 x 3 2 的值为 tan 6 a b c d 3 3 3 5 5 3 3 3 3 5 答案 a 解析 分析 利用任意角的三角函数的定义求得 tan 的值 再利用两角差的正切公式求得 tan 的值 6 详解 角 的顶点在坐标原点 始边与 x 轴的非负半轴重合 终边经过点 2 3 tan 则 tan 22 3 33 6 3 2 33 tan tan 633 2 33 1tan tan 1 6 33 3 故选 a 点睛 本题主要考查任意角的三角函数的定义 两角差的正切公式 熟记定义与公式 准 确计算是关键 属于基础题 3 5 下列函数中 在其定义域上为增函数的是 a b c d 2 yx x ye sinyxx yx 答案 c 解析 分析 对四个选项逐一分析函数的定义域和单调性 由此得出正确结论 详解 对于 a 选项 函数的定义域为 在上递减 在上递增 不符合 r 0 0 题意 对于 b 选项 函数的定义域为 在上递减 不符合题意 rr 对于 c 选项 函数的定义域为 由于 故函数在上递增 符合题意 r 1 cos0yx r 对于 d 选项 函数的定义域为 且在定义域上递减 0 综上所述 本小题选 c 点睛 本小题主要考查函数的单调性的判断 考查利用导数判断函数的单调性 属于基础 题 6 各项均为正数的等比数列的前项和为 若 则 n a n s 3 2 14 nn ss 4n s a b c d 80162630 答案 d 解析 由等比数列的性质可得成等比 23243 nnnnnnn sssssss 2 23 nnnn ssss 故选 d 3 22434 642 21630 nnnnnn ssssss 7 设函数 是偶函数 是 的图象关于原点对称 yf x x r yf x yf x 4 a 充分不必要条件b 必要不充分条件 c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 分析 y f x 的图象关于原点对称 x r r 可得y f x 是偶函数 反之不成立 例如 f x x2 详解 y f x 的图象关于原点对称 x r r 可得y f x 是偶函数 反之不成立 例如f x x2 满足y f x 是偶函数 x r r 因此 y f x 是偶函数 是 y f x 的图象关于原点对称 的必要不充分条件 故选 b 点睛 本题考查了函数的奇偶性 简易逻辑的判定方法 考查了推理能力与计算能力 属 于基础题 8 某公司为激励创新 计划逐年加大研发奖金投入 若该公司年全年投入研发奖金 2015 万元 在此基础上 每年投入的研发奖金比上一年增长 则该公司全年投入的研发 13012 奖金开始超过万元的年份是 参考数据 200 lg1 120 05 lg1 30 11 lg20 30 a 年b 年c 年d 年 2018201920202021 答案 b 解析 试题分析 设从 2015 年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元 由已知得 n 1 1 200 1301 12 200 1 12 130 n n 两边取常用对数得 200 1 lg1 12lg 130 n lg2lg1 30 30 11 13 8 5 lg1 120 05 nn 故从 2019 年开始 该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元 故选 b 考点 增长率问题 常用对数的应用 名师点睛 本题考查等比数列的实际应用 在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数 5 列的应用 解题时要注意把哪个数作为数列的首项 然后根据等比数列的通项公式写出通项 列出不等式或方程就可求解 9 将函数的图象向右平移 再把所有点的横坐标伸长到原来的 3sin2cos2f xxx 6 2 倍 纵坐标不变 得到函数的图象 则下列说法正确的是 g x a 函数的最大值是b 函数的最小正周期为 g x 31 g x c 函数在区间上单调递增d 函数的图像关于直线对 g x 2 63 g x 3 x 称 答案 c 解析 分析 利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式 然后利用三角函数的变换求解再根据 g x 正弦函数的性质进行判断即可 详解 化简得 向右平移后可得 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx 6 再把所有点的横坐标伸长到原来的倍 纵坐标长 2sin 22sin 2 666 xx 2 度不变 得到函数 g x 所以 2sin 6 g xx 由三角函数性质知 的最大值为 故 a 错 g x 2 最小正周期为 故 b 错 2 对称轴为 给 k 赋值 x 取不到 故 d 错 2 623 xkxk kz 3 6 又 则 2 2 62 kx 2k 3 2 2 3 kx 2k kz 单调增区间为 2 2 2 33 kk kz 当 k 0 时 单调增区间为故 c 正确 222 336333 故选 c 点睛 本题考查三角函数的图象变换 两角和与差的三角函数 三角函数的性质的应用 属于基础题 10 如图 平面四边形abcd中 e f是ad bd中点 ab ad cd 2 bd 2 2 bdc 90 将 abd沿对角线bd折起至 使平面 平面bcd 则四面体 a bd a bd 中 下列结论不正确是 a bcd a ef 平面a bc b 异面直线cd与所成的角为 90 a b c 异面直线ef与所成的角为 60 a c d 直线与平面bcd所成的角为 30 a c 答案 c 解析 分析 根据线线平行判定定理 异面直线所成角 直线与平面所成角等知识对选项 a b c d 进 行逐一判断其正确与否 详解 解 选项 a 因为e f是ad bd中点 所以 efa b 因为平面 ef a bc 7 平面 a b a bc 所以ef 平面 a bc 所以选项 a 正确 选项 b 因为平面 平面bcd a bd 平面平面bcd a bd bd 且 bdc 90 即 cdbd 又因为平面bcd cd 故平面 cd a bd 故 cd a b 所以异面直线cd与所成的角为 90 a b 选项 b 正确 选项 c 由选项 b 可知平面 cd a bd 所以 cd a d 因为ad cd 2 即 cd 2 a d 所以由勾股定理得 a c2 2 在 中 rt bdc bc 22 2 2 22 3 在中 ba c cos 4812 ba c0 222 2 故 即 ba c90 a ba c 因为 efa b 所以 efa c 故选项 c 错误 选项 d 连接 a f fc 因为ad ab 8 所以a d a b 因为是中点 f 所以 a fbd 因为平面 平面bcd a bd 平面平面bcd a bd bd 又因为平面 a f a bd 故平面 a f cbd 所以即为直线与平面bcd所成的角 a cf a c 在中 rt a cf a f2 a c2 2 所以 si n a f21 a cf a c2 2 2 所以 a cf30 故直线与平面bcd所成的角为 30 a c 故选项 d 正确 本题不正确的选项为 c 故选 c 点睛 本题考查了直线与平面的位置关系 解题的关键是要能准确运用线面平行的判定定 理给与证明 能准确分析出线线 线面所成角等 11 已知 则下列不等式一定成立的是 0 2 sinsin0 a b c d 2 2 答案 c 解析 分析 构造函数 原不等式等价于两次求导可证明 sin 0 2 x f xx x ff 在上递减 从而可得结论 sin x f x x 0 2 9 详解 由题意 sinsin sinsin 设 sin 0 2 x f xx x 2 cossin 0 2 xxx fxx x 设 cossin 0 2 g xxxx x cossincossin0gxxxxxxx 在单调递减 且 g x 0 2 00g xg 0fx 所以在递减 sin x f x x 0 2 sinsin ff 故选 c 点睛 本题主要考查利用导数研究函数的单调性 属于难题 利用导数判断函数单调性的 步骤 1 求出 2 令 求出的范围 可得增区间 3 令 fx 0fx x 求出的范围 可得减区间 0fx x 12 已知函数 若方程恰有两个不同实根 则正 1 2 1 x ex f x f xx 10f xmx 实数的取值范围为 m a b 1 1 1 1 2 e e 1 1 c d 1 1 1 1 3 e e 1 1 1 1 3 e e 答案 d 10 解析 分析 根据函数解析式 画出函数的图像 根据 可知与 f x f x 1f xmx f x 图像有两个不同的交点 结合图像求得正确选项 1ymx 详解 由于为正实数 故排除 b 选项 当时 所以 m13x 21x 由此画出函数图像如下图所示 由于与 2 2 x f xf xe 1 3 ae be x ye 相切时 不满足题意 所以 1ymx 1m 111 1 1 1 1 1 1 1 301 03 bcac eee mkke 故选 d 点睛 本小题主要考查分段函数解析式的求法 考查函数零点问题的求解策略 考查数形 结合的数学思想方法 属于中档题 二 填空题 二 填空题 13 函数的值域为 1 ln 1 x f x x 答案 0 0 11 解析 分析 本题考查对数型的复合函数值域问题 关键是能够求解出真数所处的范围 再结合对数函数 求得值域 详解 11 22 lnlnln 1 111 xx xxx 且 2 10 1x 2 11 1x 2 ln 10 1x 值域为 f x 00 本题正确结果 00 点睛 本题考查对数型的复合函数的值域问题 属于基础题 14 若 则 1 sinsin 3 a 22 coscosa 答案 1 3 解析 分析 用两角和与差的正弦公式 同角三角函数的基本关系式将已知条件左边展开 化简后求得 的值 22 coscosa 详解 由得 1 sinsin 3 sincoscossinsincoscossin 1 3 2222 1 sincoscossin 3 2222 1 1 coscoscos1 cos 3 所以 22 1 coscos 3 a 22 1 coscos 3 12 故填 1 3 点睛 本小题主要考查两角和与差的正弦公式 考查同角三角函数的基本关系式 考查运 算求解能力 属于基础题 15 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数 那 么这个数列叫做等和数列 这个常数叫做该数列的公和 已知数列是等和数列 且 n a 公和为 这个数列的前项和 1 2a 521n 21n s 答案 21 53 n sn 解析 分析 首先根据 等和数列 的定义找到数列的规律 找到的规律 由此求得的表 n a 21n s 21n s 达式 详解 根据 等和数列 的定义可知 数列的规律为 n a 即奇数项为 偶数项为 1234 2 3 2 3 aaaa 23 211232221 25153 nnn saaaaann 故填 21 53 n sn 点睛 本小题主要考查新定义数列 考查数列求和的方法 考查分析与求解问题的能力 属于基础题 16 已知三棱锥的所有棱长都相等 现沿三条侧棱剪开 将其表面 pabc papbpc 展开成一个平面图形 若这个平面图形外接圆的半径为 则三棱锥的内切球 2 6pabc 的体积为 答案 3 2 解析 13 试题分析 三棱锥展开后为一等边三角形 设此此三角形的边长为 则 pabc a 得 所以三棱锥的棱长为 可得棱长的高设内切球的 4 6 sin a a 6 2a 3 22 3h 半径为 得 所以 r 11 4 33 abcabc r sh s 3 2 r 3 43 32 vr 内切球 考点 1 空间几何的性质 2 球的体积公式 三 解答题 解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 等差数列中 且成等比数列 求数列前 20 项的和 n a 4 10a 3610 aaa n a 答案 330 解析 试题分析 先设数列的公差为 首项为 根据成等比数列可知 n a d1 a 3610 a a a 可求得与的值 进而求得 利用等 2 2 3 106444 42a aaadadad 4 a d1 a 差数列求和公式可得结果 试题解析 设数列的公差为 则 n a d34 10aadd 64 2102aadd 由成等比数列得 即 104 6106aadd 3610 aaa 2 3 106 a aa 整理得 解得或 当 2 10106102ddd 2 10100dd 0d 1d 时 当时 于是 0d 204 20200sa 1d 14 3103 17aad 201 20 19 20 2 sad 20 7 190330 18 在中 角 所对的边分别为 且满足 abc a bcabc sin3 cosabba 1 求角的大小 a 2 若 求周长的最大值 4a abc 答案 1 2 12 3 a 14 解析 试题分析 1 本题考察的是解三角形的相关问题 根据题意利用正弦定理 进行化简 即可求得角的大小 a 2 已知 要求三角形的周长最大值 只要求出的最大值即可 根据余弦定理 4a bc 和基本不等式建立相应的不等式 即可求出所求的最大值 试题解析 1 依正弦定理可将 ab sinasinb 3asinbbcosa 化为 sinsin3sincosabba 又因为在中 所以有 abcasin0b sin3cosaa 即 tan3a 0a 3 a 2 因为的周长 abca4abcbc 所以当最大时 的周长最大 bc abca 因为 即 2 222 23acbbccosabcbc 2 4 bc bc 2 16 4 bc 即 当且仅当时等号成立 8bc 4bc 所以周长的最大值为 12 abca 考点 解三角形相关问题 19 已知数列的前项和为 n a nn s 1 1 2 a 2 nn 02 nn sa san 1 求证 数列是等差数列 1 n s 2 求 123 111 23 n ssss n 答案 1 证明见解析 2 1 n n 解析 15 分析 1 利用化简已知条件 得到 由此证得数列是 1 1 1 2 n nn s n a ssn 1 11 1 nn ss 1 n s 等差数列 2 由 1 求得的表达式 然后利用裂项求和法求得表达式的值 n s 详解 1 证明 因为当时 2n 1nnn ass 所以 所以 2 11 0 nnnnnn ssssss 11 0 nnnn ssss 因为所以 所以 1 1 2 a 2 1 6 a 1 0 nn ss 所以 1 11 1 nn ss 所以是以为首项 以 1 为公差的等差数列 1 n s 1 1 2 s 2 由 1 可得 所以 1 211 n nn s 1 1 n s n 所以 1111 1 1 n s nn nnn 所以1 123 11111111 1 232231 n ssss nnn 1 1 11 n nn 点睛 本小题主要考查已知递推关系式证等差数列 考查裂项求和法 属于基础题 20 在 abc中 点d在线段ac上 且 3 sin 2 23 abc ab 4 3 2 3 addc bd 1 求 cosabc 2 求bc和ac的长 答案 1 2 bc 3 ac 3 1 3 解析 分析 16 1 利用二倍角公式 求得的值 2 设出的长 在三角形 cosabc bc dc abc 中 分别用余弦定理列方程 解方程求得 进而求得的长 bdcbda bc dc ac 详解 1 2 2 31 cos1 2sin1 2 233 abc abc 2 设则 bca dcb 2 3adb acb 在中 abc 222 2cosacabbcab bcabc 即 22 1 942 2 3 baa 22 4 94 3 baa 在中 abc 2 16 44 3 cos 4 3 22 3 b bda b 22 16 3 4 3 2 c 3 os b bd a b c 由得 coscos0bdcbda 22 36ba 由 解得 所以 3 1ab 3 3bcac 点睛 本小题主要考查余弦定理解三角形 考查二倍角公式 考查方程的思想 属于基础 题 21 如图 ab 是圆 o 的直径 点 c 是圆 o 上异于 a b 的点 po 垂直于圆 o 所在的平面 且 po ob 1 17 1 若 d 为线段 ac 的中点 求证 ac 平面 pdo 2 求三棱锥 p abc 体积的最大值 3 若 点 e 在线段 pb 上 求 ce oe 的最小值 2bc 答案 1 见解析 2 3 1 3 26 2 解析 分析 1 证明 ac do po ac 再证明 ac 平面 pdo 2 当 co ab 时 c 到 ab 的距离最大 且最大值为 1 再求三棱锥 p abc 体积的最大值 3 先证明 pb pc bc 在三棱锥 p abc 中 将侧面 bcp 绕 pb 旋转至平面 bc p 使之与平面 abp 共面 当 o e c 共线时 ce oe 取得最小值 再求其最小值 详解 1 证明 在 aoc 中 因为 oa oc d 为 ac 的中点 所以 ac do 又 po 垂直于圆 o 所在的平面 所以 po ac 因为 do po o 所以 ac 平面 pdo 2 解 因为点 c 在圆 o 上 所以当 co ab 时 c 到 ab 的距离最大 且最大值为 1 又 ab 2 所以 abc 面积的最大值为 1 2 1 1 2 又因为三棱锥 p abc 的高 po 1 故三棱锥 p abc 体积的最大值为 11 1 1 33 3 解 18 在 pob 中 po ob 1 pob 90 所以 22 112pb 同理 所以 pb pc bc 2pc 在三棱锥 p abc 中 将侧面 bcp 绕 pb 旋转至平面 bc p 使之与平面 abp 共面 如图所 示 当 o e c 共线时 ce oe 取得最小值 又因为 op ob 所以垂直平分 pb 即 e 为 pb 的中点 c pc b oc 从而 2626 222 ocoeec 即 ce oe 的最小值为 26 2 点睛 本题主要考查了直线与直线 直线与平面的位置关系 锥体的体积的求法等基础知 识 考查了空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查了数形结合思想 化归与转 化思想 属于中档题 22 函数 2 1 1ln0 2 f xaxa xx a 1 讨论函数的单调性 f x 2 当时 方程在区间内有唯一实数解 求实数的取值范围 0a f xmx 2 1 e m 答案 1 见解析 2 或 2 2 11m e 1