高数笔记(全)

1 第一章函数 极限和连续 1 1 函数 一 主要内容 函数的概念 1 函数的定义 y f x x D 定义域 D f 值域 Z f 2 分段函数 2 1 Dxxg Dxxf y 3 隐函数 F x y 0 4 反函数 y f x x y f 1 y y f 1 x 定理 如果函数 y f x D f X Z f Y 是严格单调增加 或减少 的 则它必定存在反函数 y f 1 x D f 1 Y Z f 1 X 且也是严格单调增加 或减少 的 函数的几何特性 1 函数的单调性 y f x x D x1 x2 D 当 x1 x2时 若 f x1 f x2 则称 f x 在 D 内单调增加 若 f x1 f x2 则称 f x 在 D 内单调减少 若 f x1 f x2 则称 f x 在 D 内严格单调增加 若 f x1 f x2 则称 f x 在 D 内严格单调减少 2 函数的奇偶性 D f 关于原点对称 偶函数 f x f x 奇函数 f x f x 3 函数的周期性 周期函数 f x T f x x 周期 T 最小的正数 4 函数的有界性 f x M x a b 基本初等函数 1 常数函数 y c c 为常数 2 幂函数 y xn n 为实数 3 指数函数 y ax a 0 a 1 4 对数函数 y loga x a 0 a 1 5 三角函数 y sin x y con x y tan x y cot x y sec x y csc x 2 6 反三角函数 y arcsin x y arccon x y arctan x y arccot x 复合函数和初等函数 1 复合函数 y f u u x y f x x X 2 初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算 加 减 乘 除 和复合所构成的 并且能用一个数学式子表示的 函数 1 2 极 限 一 主要内容 极限的概念 1 数列的极限 Ayn n lim 称数列以常数 A 为极限 n y 或称数列收敛于 A n y 定理 若的极限存在必定有界 n y n y 2 函数的极限 当时 的极限 x xf Axf Axf Axf x x x lim lim lim 当时 的极限 0 xx xf Axf xx lim 0 左极限 Axf xx lim 0 3 右极限 Axf xx lim 0 函数极限存的充要条件 定理 AxfxfAxf xxxx xx lim lim lim 00 0 无穷大量和无穷小量 1 1 无穷大量 limxf 称在该变化过程中为无穷大量 xf X 再某个变化过程是指 xxx 000 xxxxxx 2 2 无穷小量 0 lim xf 称在该变化过程中为无穷小量 xf 3 3 无穷大量与无穷小量的关系 定理 0 1 lim0 lim xf xf xf 4 4 无穷小量的比较 0lim 0lim 若 则称 是比 较高阶的无穷小量 0lim 若 c 为常数 则称 与 同阶的无穷小量 c lim 若 则称 与 是等价的无穷小量 记作 1lim 4 若 则称 是比 较低阶的无穷小量 lim 定理 若 2211 则 2 1 2 1 limlim 两面夹定理 1 数列极限存在的判定准则 设 n 1 2 3 nnn zxy 且 azy n n n n limlim 则 axn n lim 2 函数极限存在的判定准则 设 对于点 x0的某个邻域内的一切点 点 x0除外 有 xhxfxg 且 Axhxg xxxx lim lim 00 则 Axf xx lim 0 极限的运算规则 若 BxvAxu lim lim 5 则 BAxvxuxvxu lim lim lim BAxvxuxvxu lim lim lim B A xv xu xv xu lim lim lim 0 lim xv 推论 lim 21 xuxuxu n lim lim lim 21 xuxuxu n lim lim xucxuc nn xuxu lim lim 两个重要极限 1 或 1 sin lim 0 x x x 1 sin lim 0 x x x 2 e x x x 1 1 limex x x 1 0 1 lim 1 3 连续 一 主要内容 函数的连续性 1 函数在处连续 在的邻域内有定义 0 x xf 0 x 1o 0 limlim 00 00 xfxxfy xx 2o lim 0 0 xfxf xx 6 左连续 lim 0 0 xfxf xx 右连续 lim 0 0 xfxf xx 2 函数在处连续的必要条件 0 x 定理 在处连续在处极限存在 xf 0 x xf 0 x 3 函数在处连续的充要条件 0 x 定理 lim lim lim 00 00 0 xfxfxfxfxf xxxxxx 4 函数在上连续 ba 在上每一点都连续 xf ba 在端点和连续是指 ab 左端点右连续 limafxf ax 右端点左连续 limbfxf bx a 0 b x 5 函数的间断点 若在处不连续 则为的间断点 xf 0 x 0 x xf 间断点有三种情况 1o在处无定义 xf 0 x 2o不存在 lim 0 xf xx 7 3o在处有定义 且存在 xf 0 x lim 0 xf xx 但 lim 0 0 xfxf xx 两类间断点的判断 1o第一类间断点 特点 和都存在 lim 0 xf xx lim 0 xf xx 可去间断点 存在 但 lim 0 xf xx 或在处无定义 lim 0 0 xfxf xx xf 0 x 2o第二类间断点 特点 和至少有一个为 lim 0 xf xx lim 0 xf xx 或振荡不存在 lim 0 xf xx 无穷间断点 和至少有一个为 lim 0 xf xx lim 0 xf xx 函数在处连续的性质0 x 1 连续函数的四则运算 设 lim 0 0 xfxf xx lim 0 0 xgxg xx 1o lim 00 0 xgxfxgxf xx 8 2o lim 00 0 xgxfxgxf xx 3o lim 0 0 0 xg xf xg xf xx 0 lim 0 xg xx 2 复合函数的连续性 xfyxuufy lim lim 0 0 00 xfufxx xuxx 则 lim lim 0 00 xfxfxf xxxx 3 反函数的连续性 00 1 xfyxfxxfy lim lim 0 11 0 00 yfyfxfxf yyxx 函数在上连续的性质 ba 1 最大值与最小值定理 在上连续在上一定存在最大值与最小值 xf ba xf ba y y M M f x f x 0 a b x m M 0 a b 9 x 2 有界定理 在上连续在上一定有界 xf ba xf ba 3 介值定理 在上连续在内至少存在一点 xf ba ba 使得 cf 其中 Mcm y y M f x C f x 0 a b x m 0 a 1 2 b x 推论 在上连续 且与异号 xf ba af bf 在内至少存在一点 使得 ba 0 f 4 初等函数的连续性 初等函数在其定域区间内都是连续的 第二章 一元函数微分学 2 1 导数与微分 一 主要内容 导数的概念 10 1 导数 在的某个邻域内有定义 xfy 0 x x xfxxf x y xx limlim 00 00 0 0 lim 0 xx xfxf xx 00 0 xxxx dx dy xfy 2 左导数 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 右导数 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 定理 在的左 或右 邻域上连续在 xf 0 x 其内可导 且极限存在 则 lim 0 0 xfxf xx 或 lim 0 0 xfxf xx 3 函数可导的必要条件 定理 在处可导在处连续 xf 0 x xf 0 x 4 函数可导的充要条件 11 定理 存在 0 0 xfy xx 00 xfxf 且存在 5 导函数 xfy bax 在内处处可导 y xf ba 0 x f xf 6 导数的几何性质 y 是曲线上点 0 x f xfy x 处切线的斜率 o x0 x 00 y xM 求导法则 1 基本求导公式 2 导数的四则运算 1o vuvu 2o vuvuvu 3o 2 v vuvu v u 0 v 3 复合函数的导数 xfyxuufy 或 dx du du dy dx dy xxfxf 注意与的区别 xf xf 表示复合函数对自变量求导 xf x 12 表示复合函数对中间变量求导 xf x 4 高阶导数 3 xfxfxf或或 4 3 2 1 nxfxf nn 函数的 n 阶导数等于其 n 1 导数的导数 微分的概念 1 微分 在的某个邻域内有定义 xfx xoxxAy 其中 与无关 是比较高 xAx xo x 阶的无穷小量 即 0 lim 0 x xo x 则称在处可微 记作 xfy x xxAdy dxxAdy 0 x 2 导数与微分的等价关系 定理 在处可微在处可导 xf x xf x 且 xAxf 3 微分形式不变性 duufdy 不论 u 是自变量 还是中间变量 函数的 微分都具有相同的形式 dy 13 2 2 中值定理及导数的应用 一 主要内容 中值定理 1 罗尔定理 满足条件 xf 0 3 2 1 0 0 0 f ba bfaf ba ba 使使得得 存存在在一一点点 内内至至少少在在 内内可可导导在在 上上连连续续 在在 y f f xf xf a o b x a o b x 2 拉格朗日定理 满足条件 xf ab afbf f ba ba ba 2 1 0 0 使使得得 在在一一点点 内内至至少少存存在在 内内可可导导 在在 上上连连续续 在在 罗必塔法则 型未定式 0 0 定理 和满足条件 xf xg 14 1o 或 或 0 lim 0 lim xg xf ax ax 2o在点 a 的某个邻域内可导 且 0 x g 3o 或 lim A xg xf ax 则 或 lim lim A xg xf xg xf axax 注意 1o法则的意义 把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限 2o若不满足法则的条件 不能使用法则 即不是型或型时 不可求导 0 0 3o应用法则时 要分别对分子 分母 求导 而不是对整个分式求导 4o若和还满足法则的条件 x f x g 可以继续使用法则 即 或或 A xg xf xg xf xg xf axaxax lim lim lim 5o若函数是型可采用代数变 0 形 化成或型 若是型可 0 0 00 0 1 采用对数或指数变形 化成或型 0 0 导数的应用 15 1 切线方程和法线方程 设 00 yxMxfy 切线方程 000 xxxfyy 法线方程 0 1 00 0 0 xfxx xf yy 2 曲线的单调性 0 baxxf 内内单单调调增增加加 在在 baxf 0 baxxf 内内单单调调减减少少 在在 baxf 0 baxxf 内内严严格格单单调调增增加加 在在 ba 0 baxxf 内内严严格格单单调调减减少少 在在 ba 3 函数的极值 极值的定义 设在内有定义 是内的一点 xf ba 0 x ba 若对于的某个邻域内的任意点 都有 0 x 0 xx 00 xfxfxfxf 或 则称是的一个极大值 或极小值 0 xf xf 16 称为的极大值点 或极小值点 0 x xf 极值存在的必要条件 定理 0 2 1 0 0 0 0 0 xf xf xfxf 存在 存在极值 称为的驻点 0 x xf 极值存在的充分条件 定理一 是极值点 是极值 时变号 过 不存在 或 处连续 在 0 0 0 0 00 0 0 0 3 0 2 1 x xf xxf xfxf xxf 当渐增通过时 由 变 x0 x xf 则为极大值 0 xf 当渐增通过时 由 变 则为极小值 x 0 x xf 0 xf 定理二 是极值点 是极值 存在 0 0 0 0 0 0 2 0 1 x xf xf xf 若 则为极大值 0 0 x f 0 xf 若 则为极小值 0 0 x f 0 xf 注意 驻点不一定是极值点 极值点也不一定是驻点 17 4 曲线的凹向及拐点 若 则在内是上凹的 或凹的 baxxf 0 xf ba 若 则在内是下凹的 或凸的 baxxf 0 xf ba 的拐点 为 称 时变号 过 2 0 1 00 0 0 0 0 xf xfx xxf xf 5 曲线的渐近线 水平渐近线 的水平渐近线 是 或 若 lim lim xfAy Axf Axf x x 铅直渐近线 的铅直渐近线 是 或 若 lim lim xfCx xf xf Cx Cx 第三章 一元函数积分学 3 1 不定积分 一 主要内容 重要的概念及性质 1 原函数 设 DxxFxf 若 xfxF 则称是的一个原函数 xF xf 并称是的所有原函数 CxF xf 其中 C 是任意常数 18 2 不定积分 函数的所有原函数的全体 xf 称为函数的不定积分 记作 xf CxFdxxf 其中 称为被积函数 xf 称为被积表达式 dxxf 称为积分变量 x 3 不定积分的性质 xfdxxf 或 dxxfdxxfd Cxfdxxf 或 Cxfxdf dxxfxfxf n 21 dxxfdxxfdxxf n 21 分项积分法 k 为非零常数 dxxfkdxxkf 4 基本积分公式 换元积分法 第一换元法 又称 凑微元 法 19 dxxxf xdxf 凑凑微微元元 CtFdttf xt 令令 CxF xt 回回代代 常用的凑微元函数有 1o 1 1 baxd a axd a dx 0 aba为为常常数数 2o 1 1 1 1 11 baxd ma dx m dxx mmm 为为常常数数 m 3o 1 baed a eddxe xxx 1 0 ln 1 aaad a dxa xx 4o ln 1 xddx x 5o sincos cossinxdxdxxddx cotcsc tansec 22 xdxdxxdxdx 20 6o arccos arcsin 1 1 2 xdxddx x cot arctan 1 1 2 xarcdxddx x 2 第二换元法 tdtfdxxf tx 令令 CtFdxtft CxF xt 1 1 反反代代 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数 其作用是将根式有理化 一般有以下几种代换 1o 0 tntx n 为为偶偶数数时时 当被积函数中有时 n x 2o 2 0 cos sin txaxtax或或 当被积函数中有时 22 xa 3o 0 0 cot tan 22 tttaxtax或或 当被积函数中有时 22 xa 4o 0 0 csc sec 22 tttaxtax或或 21 当被积函数中有时 22 ax 分部积分法 1 分部积分公式 vdxuvudxvu vduvuudv 2 分部积分法主要针对的类型 xdxxPxdxxPcos sin dxexP x xdxxPln xdxxPxdxxParccos arcsin xdxarcxPxdxxPcot arctan bxdxebxdxe axax cos sin 其中 多项式 n nn axaxaxP 1 10 3 选 u 规律 在三角函数乘多项式中 令 uxP 其余记作 dv 简称 三多选多 在指数函数乘多项式中 令 uxP 其余记作 dv 简称 指多选多 在多项式乘对数函数中 令 ux ln 22 其余记作 dv 简称 多对选对 在多项式乘反三角函数中 选反三角函数 为 u 其余记作 dv 简称 多反选反 在指数函数乘三角函数中 可任选一函数 为 u 其余记作 dv 简称 指三任选 简单有理函数积分 1 有理函数 xQ xP xf 其中是多项式 xQxP和和 2 简单有理函数 2 1 1 x xP xf x xP xf bxax xP xf bax xP xf 2 3 2 定积分 f x 一 主要内容 一 重要概念与性质 1 定积分的定义 O a x1 x2 xi 1 i xi xn 1 b x iii b a n i ii n x xxxfdxxf 1 1 0 lim 定积分含四步 分割 近似 求和 取极限 定积分的几何意义 是介于 x 轴 曲线 y f x 直线 x a x b 之间各部分面积的代数和 x 轴上方的面积取正号 y x 轴下方的面积取负号 a 0 b x 2 定积分存在定理 23 baxxfy 设设 若 f x 满足下列条件之一 2 1 点点上上有有有有限限个个第第一一类类间间断断在在 连连续续 baxf baxxf 上上可可积积 在在则则 上上单单调调有有界界在在 baxf baxf 3o 若积分存在 则积分值与以下因素无关 上上任任意意选选取取 可可以以在在的的选选取取无无关关 即即与与点点 可可以以任任意意划划分分上上的的划划分分无无关关 即即与与在在 即即与与积积分分变变量量形形式式无无关关 iiii b a b a xx baba dttfdxxf 1 3 2 1 有有关关 与与区区间间积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数 baxf 3 牛顿 莱布尼兹公式 aFbFxFdxxf baxfxF b a b a 则则 上上的的任任意意一一个个原原函函数数 在在是是连连续续函函数数若若 牛顿 莱布尼兹公式是积分学中的核心定理 其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及 计算差量的问题 4 原函数存在定理 24 xfdttfx baxfx baxdttfx baxxf x a x a 且且 上上的的一一个个原原函函数数 在在是是 则则 连连续续 若若 5 定积分的性质 上上可可积积 则则 在在设设 baxgxf b a b a dxxfkdxxkf 1 a b b a dxxfdxxf 2 0 4 3 dxxf dxxgdxxfdxxgxf a a b a b a b a 5bcadxxfdxxfxf b c c a b a abdx b a 16 y y y f x g x 1 f x 0 a c b x 0 a b x 0 a b x 25 dxxgdxxf bxaxgxf b a b a 7 则则 o 上上的的最最小小值值和和最最大大值值 在在分分别别为为其其中中 估估值值定定理理 baxfMm abMdxxfabm b a 8 y y M f x f x m 0 a b x 0 a b x 9 abfdxxf babaxxf b a 使使 则则 必必存存在在一一点点连连续续若若 积积分分中中值值定定理理 o 二 定积分的计算 1 换元积分 txbaxxf 连连续续 设设 tt 连连续续 若若 ba batt 变变到到单单调调地地从从时时 变变到到从从且且当当 26 dtttfdxxf b a 则则 2 分部积分 b a b a b a vduvuudv 3 广义积分 0 0 dxxfdxxfdxxf 4 定积分的导数公式 1xfdttf x a x o 2 xxfdttf x x a o 3 1122 2 1 xxfxxfdttf x x x o 三 定积分的应用 1 平面图形的面积 0 1babxaxxfy 由由 o 与 x 轴所围成的图形的面积 y f x b a dxxfs 2 21 gfxgyxfy 由由 o 27 dxxgxfs bxax b a 所所围围成成的的图图形形的的面面积积与与 3 21 yxyx由由 o dyyys dycy d c 所所围围成成的的图图形形的的面面积积与与 求求平平面面图图形形面面积积的的步步骤骤 4 求出曲线的交点 画出草图 确定积分变量 由交点确定积分上下限 应用公式写出积分式 并进行计算 2 旋转体的体积 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所 bxaxxfy 0 1与与曲曲线线 o 得旋转体的体积 dxxfV b a x 2 0 a b x 及 y 轴所围成图形绕 y 轴旋转 dycyyx 0 2与与由由曲曲线线 o 所得旋转体的体积 dyyV d c y 2 第四章 多元函数微积分初步 4 1 偏导数与全微分 28 一 主要内容 1 多元函数的概念 3 二元函数的定义 Dyxyxfz fD定定义义域域 4 二元函数的几何意义 二元函数是一个空间曲面 而一元函数是平面上的曲线 2 二元函数的极限和连续 1 极限定义 设 z f x y 满足条件 的的某某个个领领域域内内有有定定义义 在在点点 1 00 yx 可可除除外外 点点 00 yx Ayxf yy xx lim2 0 0 极极限限存存在在 且且等等于于在在则则称称Ayxyxfz 00 2 连续定义 设 z f x y 满足条件 的的某某个个领领域域内内有有定定义义 在在点点 1 00 yx lim2 00 0 0 yxfyxf yy xx 处处连连续续 在在则则称称 00 yxyxfz 偏导数 点点在在定定义义 00 yxyxf 29 x yxfyxxf yxf x x lim 0000 0 00 y yxfyyxf yxf y y lim 0000 0 00 的的偏偏导导数数 处处对对 在在分分别别为为函函数数 yx yxyxfyxfyxf yx 000000 处处的的偏偏导导数数记记为为 内内任任意意点点在在 yxDyxfz xx z x z x yxf yxf yy z y z y yxf yxf 全微分 1 定义 z f x y yxfyyxxfz 若若 oyBxA 是是比比 无无关关 与与 其其中中 oyxBA 较较高高阶阶的的无无穷穷小小量量 22 yx yBxAyxdfdz 则则 30 在点 x y 处的全微分 yxfz 是是 3 全微分与偏导数的关系 Dyxyxfyxf yx 连连续续 定定理理 若若 处处可可微微且且在在点点则则 yxyxfz dyyxfdxyxfdz yx 复全函数的偏导数 1 yxvvyxuuvufz 设设 yxvyxufz x v v z x u u z x z 则则 y v v z y u u z y z 2 xvvxuuvufy 设设 xvxufy 隐含数的偏导数 1 0 0 z FyxfzzyxF且且设设 z y z x F F y z F F x z 则则 dx dv v y dx du u y dx dy 31 2 0 0 y FxfyyxF且且设设 y x F F dx dy 则则 二阶偏导数 2 2 x z xx z