各形状物体体积计算公式

常用体积及表面积计算公式常用体积及表面积计算公式 计算公式 名称简 图 表面积 S 侧表面积 M 体积 V 正 立 方 体 2 6aS 3 aV 长 立 方 体 2abbhahS abhV 圆 柱 dhrhM 2 4 2 2 hd hrV 空心圆柱 管 2 1 rrr M 外侧表面 内侧表面积 2 1 2 rrhV 斜 底 截 圆 柱 1 hhrM 2 1 2 hhr V 正 六 角 柱 ahaS61962 5 2 haV 2 5981 2 正 方 角 锥 台 1 22 2hbabaS 3 22 habba V 球 22 4drS 63 4 33 dr V 圆 锥 22 hrrrlM 3 2h r V 截 头 圆 锥 1 rrlM 3 1 2 1 2 rrrrh V 一些数学的体积和表面积计算公式一些数学的体积和表面积计算公式 3 立方图形立方图形 名称 符号 面积 S 和体积 V 正方体正方体 a 边长 S 6a2 V a3 长方体长方体 a 长 b 宽 c 高 S 2 ab ac bc V abc 棱柱棱柱 S 底面积 h 高 V Sh 棱锥棱锥 S 底面积 h 高 V Sh 3 棱台棱台 S1和 S2 上 下底面积 h 高 V h S1 S2 S1S2 1 2 3 正棱台棱台 拟柱体拟柱体 S1 上底面积 S2 下底面积 S0 中截面积 h 高 V h S1 S2 4S0 6 圆柱圆柱 r 底半径 h 高 C 底面周长 S底 底面积 S侧 侧面积面积 S表 表面积 C 2 r S底 r2 S侧 Ch S表 Ch 2S底 V S底h r2h 空心圆柱空心圆柱 R 外圆半径 r 内圆半径 h 高 V h R2 r2 直圆锥直圆锥 r 底半径 h 高 V r2h 3 圆台圆台 r 上底半径 R 下底半径 h 高 V h R2 Rr r2 3 球球 r 半径 d 直径 V 4 3 r3 d2 6 球缺球缺 h 球缺高 r 球半径 a 球缺底半径 V h 3a2 h2 6 h2 3r h 3 a2 h 2r h 球台球台 r1和 r2 球台上 下底半径 h 高 V h 3 r12 r22 h2 6 圆环体圆环体 R 环体半径 D 环体直径 r 环体截面半径 d 环体截面直径 V 2 2Rr2 2Dd2 4 桶状体桶状体 D 桶腹直径 d 桶底直径 h 桶高 V h 2D2 d2 12 母线是圆弧形 圆心是桶的中心 V h 2D2 Dd 3d2 4 15 母线是抛物 我用拟柱体公式来解决一下 至于公式本身证明需要用到积分知识 需要同时推广牛顿 莱布尼茨公式 不详谈 任何立体的体积均可以归纳成 V 1 6 h S1 S2 4S S1 指上表面 S2 指下表面 S 指高线垂直平分面 柱体 V 1 6 h S1 S2 4S V 1 6 h S1 S1 4S1 V 1 6 h 6S V Sh 锥体 V 1 6 h S1 S2 4S V 1 6 h S2 4 4 S2 V 1 6 h 2S2 V 1 3 S2h 球体 V 1 6 h S1 S2 4S V 1 6 2r 4S V 4 3 Sr V 4 3 兀 r 3 棱台 V 1 6 h S1 S2 4S V 1 6 h 2S1 2S2 2sqrt S1S2 S 的计算公式 V 1 3 h S1 S2 sqrt S1S2 圆台 球冠 球缺甚至球台都可以套用这个公式 计算并不复杂 建议各位都要牢牢记住 当然 这个公式推导过程是相当繁琐的 有机会我将专门证明这个公式 长方形的周长 长 宽 2 正方形的周长 边长 4 长方形的面积 长 宽 正方形的面积 边长 边长 三角形的面积 底 高 2 平行四边形的面积 底 高 梯形的面积 上底 下底 高 2 直径 半径 2 半径 直径 2 圆的周长 圆周率 直径 圆周率 半径 2 圆的面积 圆周率 半径 半径 长方体的表面积 长 宽 长 高 宽 高 2 长方体的体积 长 宽 高 正方体的表面积 棱长 棱长 6 正方体的体积 棱长 棱长 棱长 圆柱的侧面积 底面圆的周长 高 圆柱的表面积 上下底面面积 侧面积 圆柱的体积 底面积 高 圆锥的体积 底面积 高 3 长方体 正方体 圆柱体 的体积 底面积 高 平面图形 名称 符号 周长 C 和面积 S 正方形 a 边长 C 4a S a2 长方形 a 和 b 边长 C 2 a b S ab 三角形 a b c 三边长 h a 边上的高 s 周长的一半 A B C 内角 其中 s a b c 2 S ah 2 ab 2 sinC s s a s b s c 1 2 a2sinBsinC 2sinA 四边形 d D 对角线长 对角线夹角 S dD 2 sin 平行四边形 a b 边长 h a 边的高 两边夹角 S ah absin 菱形 a 边长 夹角 D 长对角线长 d 短对角线长 S Dd 2 a2sin 梯形 a 和 b 上 下底长 h 高 m 中位线长 S a b h 2 mh 圆 r 半径 d 直径 C d 2 r S r2 d2 4 扇形 r 扇形半径 a 圆心角度数 C 2r 2 r a 360 S r2 a 360 弓形 l 弧长 b 弦长 h 矢高 r 半径 圆心角的度数 S r2 2 180 sin r2arccos r h r r h 2rh h2 1 2 r2 360 b 2 r2 b 2 2 1 2 r l b 2 bh 2 2bh 3 圆环 R 外圆半径 r 内圆半径 D 外圆直径 d 内圆直径 S R2 r2 D2 d2 4 椭圆 D 长轴 d 短轴 S Dd 4 立方图形 名称 符号 面积 S 和体积 V 正方体 a 边长 S 6a2 V a3 长方体 a 长 b 宽 c 高 S 2 ab ac bc V abc 棱柱 S 底面积 h 高 V Sh 棱锥 S 底面积 h 高 V Sh 3 棱台 S1 和 S2 上 下底面积 h 高 V h S1 S2 S1S1 1 2 3 拟柱体 S1 上底面积 S2 下底面积 S0 中截面积 h 高 V h S1 S2 4S0 6 圆柱 r 底半径 h 高 C 底面周长 S 底 底面积 S 侧 侧面积 S 表 表面积 C 2 r S 底 r2 S 侧 Ch S 表 Ch 2S 底 V S 底 h r2h 空心圆柱 R 外圆半径 r 内圆半径 h 高 V h R2 r2 直圆锥 r 底半径 h 高 V r2h 3 圆台 r 上底半径 R 下底半径 h 高 V h R2 Rr r2 3 球 r 半径 d 直径 V 4 3 r3 d2 6 球缺 h 球缺高 r 球半径 a 球缺底半径 V h 3a2 h2 6 h2 3r h 3 a2 h 2r h 球台 r1 和 r2 球台上 下底半径 h 高 V h 3 r12 r22 h2 6 圆环体 R 环体半径 D 环体直径 r 环体截面半径 d 环体截面直径 V 2 2Rr2 2Dd2 4 桶状体 D 桶腹直径 d 桶底直径 h 桶高 V h 2D2 d2 12 母线是圆弧形 圆心是桶的中心 V h 2D2 Dd 3d2 4 15 母线是抛物线形 棱台体体积计算公式 V 1 3 H S 上 S 下 S 上 S 下 H 是高 S 上和 S 下分别是上下底面的面积 棱台体积 V 上底面积 下底面积 4 中截面面积 6 高 V 上口边长 0 025 上口边宽 0 025 杯深 下口边长 0 025 下口边宽 0 025 杯深 V h 3 a2 ab b2 其中 a b h 分別为正四棱台的上 下底边及高的大小 棱台体积 V S1 S2 开根号 S1 S2 3 h 注 V 体积 S1 上表面积 S2 下表面积 h 高 关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因 关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因 鲁班算量 2006 在计算独立基础时 发现所有的正四棱台计算正确 而计算有长边与短边的四棱台时 就不对了 量都偏大的原因 独立基础体积正确的计算公式为 四棱台计算公式为 s1 s2 sqr s1 s2 h 3 sqr x 对 x 求根 或 A B H h 6 AB ab A a B b 其中 A B H 分别为独立基础下部长方体的长 宽 高 a b h 分别为四棱台的长 宽 高 当然 A 与 a B 与 b 相对应 用 A B H h 6 AB ab A a B b 是偏小 实际工作中 这两种公式都有人用 结果有时是不一样 而使用鲁班算量计算结果偏大 计算不等边长的四梭台与计算公式算出结果不一样是因为我们预算中的四梭台计算公式是近似的计算方法 而鲁班用的是微积分算法 结果相差很小 另外鲁班的带马牙槎的构造柱计算结果也与实际算法有差别 其实我们算构造柱时是按如果有两边有马牙槎的为边长上加 6cm 计算 鲁班算量考虑了层高的不同与马牙槎的高度位也考虑了 马牙 槎在板底时正好为退时鲁班的计算结果就会小 但其实鲁班算的是实际的量 公式分类公式分类 公式分类 公式表达式 乘法与因式分解 a2 b2 a b a b a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 三角不等式 a b a b a b a b a b b a b a b a b a a a 一元二次方程的解 b b2 4ac 2a b b b2 4ac 2a 根与系数的关系 X1 X2 b a X1 X2 c a 注 韦达定理 判别式 b2 4a 0 注 方程有相等的两实根 b2 4ac 0 注 方程有一个实根 b2 4ac0 抛物线标准方程 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 直棱柱侧面积 S c h 斜棱柱侧面积 S c h 正棱锥侧面积 S 1 2c h 正棱台侧面积 S 1 2 c c h 圆台侧面积 S 1 2 c c l R r l 球的表面积 S 4 r2 圆柱侧面积 S c h 2 h 圆锥侧面积 S 1 2 c l r l 弧长公式 l a r a 是圆心角的弧度数 r 0 扇形面积公式 s 1 2 l r 锥体体积公式 V 1 3 S H 圆锥体体积公式 V 1 3 r2h 斜棱柱体积 V S L 注 其中 S 是直截面面积 L 是侧棱长 柱体体积公式 V s h 圆柱体 V r2h 声明 本资料由 大家论坛公务员考试专区 收集整理 转载请注明出自 更多公务员考试信息 考试真题 模拟题 大家论坛 学习的天堂 数列问题 1 关键提示 一般而言 公务员考试中的数列问题仅限于数列的简单求和及其变化形式 一般难度不大 考生只要很好的掌握基本公式 尤其是要学会运用等差中项的相关知识解题 2 核心公式 1 等差数列通项公式 2 等差数列求和公式 3 等差数列中项公式 当 n 为奇数时 等差中项为 1 项即 当 n 为偶数时 等差中项为 2 项即 和 而 4 等比数列通项公式 例题 1 一张考试卷共有 10 道题 后面的每 道题的分值都比其前面一道题多 2 分 如果这张考卷的满分为 100 分 那么第八道题的分值应为多少 A 9 B 14 C 15 D 16 解析 显然可将此题转化为一个等差数列的问题 每道题的分值组成了一个公差 d 2 的等差数列 显然 100 可利用等差数列的求和公式 求出 显然代入后可求 1 然后根据等差数列的通项公式 求出 15 注 此题亦可通过求等差中项的方法解 即等差数列 当 n 10 时其等差中项的和为 100 5 20 公差 d 2 所以 9 11 所以 15 例题 2 一种挥发性药水 原来有一整瓶 第二天挥发后变为原来的 1 2 第三天变为第二天的 2 3 第四天变为第三天的 3 4 请问第几天时药水还剩下 1 30 瓶 A 5 天 B 12 天 C 30 天 D 100 天 解析 依据题意 显然可将此题变为一个有规律的数列 即第 1 天剩下 1 第 2 天剩下 1 2 第 3 天剩下 1 3 依此下去 第 30 天就剩下 1 30 所以 答案为 C 例题 3 2004 年江苏 A 类真题 如果某一年的 7 月份有 5 个星期四 它们的日期之和为 80 那么这个月的 3 日是星期几 A 一 B 三 C 五 D 日 解析 设这 5 天分别为 显然这是一个公差为 7 的等差数列 等差中项 16 所以 则 2 即第一个星期四为 2 号 则 3 号为星期五 所以 答案为 C 平面图形 名称 符号 周长 C 和面积 S 正方形 a 边长 C 4a S a2 长方形 a 和 b 边长 C 2 a b S ab 三角形 a b c 三边长 h a 边上的高 s 周长的一半 A B C 内角 其中 s a b c 2 S ah 2 ab 2 sinC s s a s b s c 1 2 a2sinBsinC 2sinA 四边形 d D 对角线长 对角线夹角 S dD 2 sin 平行四边形 a b 边长 h a 边的高 两边夹角 S ah absin 菱形 a 边长 夹角 D 长对角线长 d 短对角线长 S Dd 2 a2sin 梯形 a 和 b 上 下底长 h 高 m 中位线长 S a b h 2 mh 圆 r 半径 d 直径 C d 2 r S r2 d2 4 扇形 r 扇形半径 a 圆心角度数 C 2r 2 r a 360 S r2 a 360 弓形 l 弧长 b 弦长 h 矢高 r 半径 圆心角的度数 S r2 2 180 sin r2arccos r h r r h 2rh h2 1 2 r2 360 b 2 r2 b 2 2 1 2 r l b 2 bh 2 2bh 3 圆环 R 外圆半径 r 内圆半径 D 外圆直径 d 内圆直径 S R2 r2 D2 d2 4 椭圆 D 长轴 d 短轴 S Dd 4 立方图形 名称 符号 面积 S 和体积 V 正方体 a 边长 S 6a2 V a3 长方体 a 长 b 宽 c 高 S 2 ab ac bc V abc 棱柱 S 底面积 h 高 V Sh 棱锥 S 底面积 h 高 V Sh 3 棱台 S1 和 S2 上 下底面积 h 高 V h S1 S2 S1S1 1 2 3 拟柱体 S1 上底面积 S2 下底面积 S0 中截面积 h 高 V h S1 S2 4S0 6 圆柱 r 底半径 h 高 C 底面周长 S 底 底面积 S 侧 侧面积 S 表 表面积 C 2 r S 底 r2 S 侧 Ch S 表 Ch 2S 底 V S 底 h r2h 空心圆柱 R 外圆半径 r 内圆半径 h 高 V h R2 r2 直圆锥 r 底半径 h 高 V r2h 3 圆台 r 上底半径 R 下底半径 h 高 V h R2 Rr r2 3 球 r 半径 d 直径 V 4 3 r3 d2 6 球缺 h 球缺高 r 球半径 a 球缺底半径 V h 3a2 h2 6 h2 3r h 3 a2 h 2r h 球台 r1 和 r2 球台上 下底半径 h 高 V h 3 r12 r22 h2 6 圆环体 R 环体半径 D 环体直径 r 环体截面半径 d 环体截面直径 V 2 2Rr2 2Dd2 4 桶状体 D 桶腹直径 d 桶底直径 h 桶高 V h 2D2 d2 12 母线是圆弧形 圆心是桶的中心 V h 2D2 Dd 3d2 4 15 母线是抛物线形 计算人体表面积的公式较多 但大多数可写成 1 或 2 的形式 SA cH 1W 2 1 这里 SA 为人体表面积 m2 H 为身高 cm W 为体重 kg c 1 2 为常数项 等式两边取自然对数 可将 1 式线性化为 lnSA 0 1lnH 2lnW 2 其中 0 lnc ln 为自然对数符号 1916 年由 DuBois 等直接测得 9 名观察者的身高 体重和体表面积 采用最小变异系数法 建立了第 1 个公认的人体表面积计算公式 1 目前仍被广泛应用 1975 年 Gehan 和 George 利用 Boyd 等直接测量的 401 例身高 体重和体表面积 应用最小二乘法拟合了 2 式 1 1987 年 Mosteller 按 1 式给出了容易记忆的简单公式 c 1 60 2 1973 年 Stevenson 根据 10 例实测数据 提出了由身高与体重推算表面积的二元一次线性公式 3 80 年代赵松山等 4 5 分别报道了