2018年北京市东城区高三第一学期期末数学(理)试题及答案

东城区东城区 2017 20182017 2018 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 理科 高三数学 理科 本试卷共 6 页 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷 上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题 共一 选择题 共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 选出符合题分 在每小题给出的四个选项中 选出符合题 目要求的一项 目要求的一项 1 若集合 或 则 2 1 0 1 2 3 A 1Bx x 2 x AB A B 2 3 2 1 2 3 C D 0 1 1 0 1 2 2 函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是 3sin 2 4 yx A B C 2 D 4 3 执行如图所示的程序框图 输出的x值为 A 1 B 2 C 3 2 D 7 4 4 若满足 则的最小值为 x y3 3 2 yx xy y xy A B C D 5 3 2 1 5 已知函数 则的 41 2 x x f x f x A 图象关于原点对称 且在上是增函数 0 B 图象关于y轴对称 且在上是增函数 0 结束 否 是 开始 x 1 输出 x b x 1 2 xb 2 x 13 x x C 图象关于原点对称 在上是减函数 0 D 图象关于y轴对称 且在上是减函数 0 6 设为非零向量 则 是 的 a b a ba b0 a b A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的 体积为 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 1 8 现有个小球 甲乙两位同学轮流且不放回抓球 每次最少抓 1 个球 最多抓 3 个球 n 规定谁抓到最后一个球谁赢 如果甲先抓 那么以下推断正确的是 A 若 则甲有必赢的策略 B 若 则乙有必赢的策略4n 6n C 若 则甲有必赢的策略 D 若 则乙有必赢的策略9n 11n 第二部分第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共二 填空题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 若复数为纯虚数 则实数 1 i i a a 10 的展开式中 的系数等于 5 12x 2 x 11 已知 n a为等差数列 n S为其前n项和 若 1 6a 则 46 4aa 5 S 12 在极坐标系中 若点在圆外 则的取值范围为 3 A m 0 m 2cos m 13 已知双曲线 的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1 则C 2 2 2 1 0 y xb b 若双曲线与不同 且与有相同的渐近线 则 的方程可以b 1 CCC 1 C 为 写出一个答案即可 14 如图 1 分别以等边三角形的每个顶点为圆心 以边长为半径 在另两个顶点ABC 正 主 视图侧 左 视图 俯视图 1 11 间作一段弧 三段弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形 等边三角形的中心ABCABC 称为勒洛三角形的中心 如图 2 勒洛三角形夹在直线和直线之间 PABC0y 2y 且沿轴滚动 设其中心的轨迹方程为 则的最小正周期为 x P x y yf x f x 的图象与性质有以下描述 yf x 中心对称图形 轴对称图形 一条直线 最大值与最小值的和为 2 其中正确结论的序号为 注 请写出所有正确结论的序号 图 1 图 2 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 在中 角所对的边分别为 ABC A B C a b c2a 2sinsinAC 求 的长 c 若为钝角 求的面积 B 1 cos2 4 C ABC 16 本小题 13 分 中国特色社会主义进入新时代 我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段 货币政 策是宏观经济调控的重要手段之一 对我国经济平稳运行 高质量发展发挥着越来越重要 的作用 某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系 统计了 2017 年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价 如下表 周一周二周三周四周五 开盘价 164165170172a 收盘价 164164169173170 已知这 5 天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同 求a的值 在 的条件下 从这 5 天中随机选取 3 天 其中开盘价比当日收盘价低的 天数记为 求 的分布列及数学期望 E III 在下一周的第一个工作日 收盘价为何值时 这 6 天收盘价的方差最小 只 需写出结论 17 本小题 14 分 如图 在四棱锥中 平面平面 分别EABCD ADE ABCD O M 为线段的中点 四边形是边长为 1 的正方形 AD DEBCDO AEDE AEDE 求证 平面 CMABE 求直线与平面所成角的正弦值 DEABE III 点在直线上 若平面平面 求线段AN的长 NADBMN ABE 18 本小题 13 分 已知函数 xxxxxfln 2 1 6 1 3 求曲线在点 1 处的切线方程 xfy 1 f 若对恒成立 求的最小值 f xa 1 xe e a 19 本小题 14 分 已知椭圆的离心率等于 经过其左焦点且与轴 22 22 1 0 xy Cab ab 2 2 1 0 F x 不重合的直线 与椭圆交于两点 lC M N 求椭圆的方程 C 为原点 在 轴上是否存在定点 使得点到直线 的距离总相O xQFQMQN 等 若存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 Q 20 本小题 13 分 已知数列 满足且 数列 12 2 n A a aa n i aN 1 1 2 i ai in 满足 其中 表示 12 2 n B b bb n 1 1 2 ii bain 1 0a 2 3 i ain 中与不等的项的个数 121 i a aa i a I 数列 1 1 2 3 4 请直接写出相应的数列 AB II 证明 1 2 ii ba in III 若数列相邻两项均不等 与为同一个数列 证明 ABA 1 2 i ai in 东城区东城区 2017 20182017 2018 学年第一学期期末教学统一检测学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 理科 理科 一 选择题 共一 选择题 共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 A 2 C 3 D 4 B 5 B 6 C 7 A 8 C 二 填空题 共二 填空题 共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 10 1 40 11 12 20 1 13 1 等 14 22 2xy 2 3 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 共 13 分 解 因为 由正弦定理 得 2a 2sinsinAC sinsin ac AC 4c 由 得 2 1 cos22cos1 4 CC 2 3 cos 8 C 因为 得 0 2 C 6 cos 4 C 所以 2 610 sin1 44 C 方法一 因为 所以2sinsinAC 103 6 sin cos 88 AA 所以 sinsin sin sincoscossin 1063 610 8484 15 4 BACAC ACAC 所以 1 sin15 2 ABC SacB 方法二 由余弦定理 得 222 2coscababC 2 6120bb 解得 或 舍 2 6b 6b 所以 1 sin15 2 ABC SabC 16 共 13 分 解 I 由于收盘价的中位数为 169 且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同 所以 a 169 II 由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低 所以的所有可能取值为 0 1 2 3 3 3 5 1 0 10 C P C 21 32 3 5 3 1 5 CC P C 12 32 3 5 3 2 10 CC P C 所以的分布列为 012 P 1 10 3 5 3 10 故的数学期望 1336 012 105105 E III 168 17 共 14 分 证明 取线段中点 连接 AEPBPMP 因为点为中点 所以 MDE MPAD 1 2 MPAD 又因为为正方形 所以 所以BCDO BCADBCAD BCMPBCMP 所以四边形为平行四边形 所以 BCMP CMBP 因为平面 平面 CM ABEBP ABE 所以平面 CMABE 连接 EO 因为 为中点 所以 AEDE OADEOAD 因为平面 平面平面 EO ADEADE ABCD 平面平面所以 ADE ABCDAD EOOB EOOD 又因为正方形 所以 BCDOOBOD 如图所示 建立空间直角坐标系 Oxyz 0 1 0A 1 0 0B 1 1 0C 0 1 0D 0 0 1E 1 1 0 2 2 M 设平面的法向量为 ABE mx y z 则有 1 1 0AB 0 1 1AE 即 0 0 AB m AE m 0 0 xy yz 令 则 即平面的一个法向量为 1y 1xz ABE 1 1 1m 0 1 1DE 26 cos 36 DE DE DE m m m 所以直线与平面所成角的正弦值为 DEABE 6 3 设 所以 所以 ONOD 0 0N 1 0NB 11 1 22 MB 设平面的法向量为 则有 BMN nu v w 即 0 0 NB n MB n 0 11 0 22 uv uvw 令 则 1v 0 1 1n 因为 则 0CN n 21uw 即平面的一个法向量为 BMN 1 21n 因为平面平面 所以 BMN ABE0m n 解得 所以 2 3 5 3 AN 18 本题满分共 13 分 解 的定义域为 f x 0 由已知得 且 2 1 ln 2 1 2 xxxf 3 2 1 f 所以 0 1 f 所以曲线在点 1 处的切线方程为 xfy 1 f 3 2 y 设 g xfx 1 xe e 则 2 11 x g xx xx 令得 0g x 1x 当变化时 符号变化如下表 x g x x 1 1 e 1 1 e g x 0 g x极小 则 即 当且仅当时 1 0g xg 0fx 1x 0fx 所以在上单调递增 f x 1 e e 又 eeef 2 1 6 1 3 所以的最小值为为 a 3 11 62 ee 19 本题满分共 14 分 解 I 由题意得解得 22 12 2 1 a ab 2 1 a b 故椭圆的方程为 C 2 2 1 2 x y II 当直线斜率存在时 设直线的方程为 MNMN 1 0 yk xk 由消去得 2 2 1 1 2 yk x x y y 2222 12 4 22 0kxk xk 易得 设 0 1122 M x yN xy 则 2 12 2 2 12 2 4 12 22 12 k xx k k x x k 设 由点在轴异侧 则问题等价于 平分 且 0 Q t M NxQFMQN 又等价于 即 12 xt xt 12 12 0 QMQN yy kk xtxt 1221 0y xtyxt 将代入上式 整理得 1122 1 1 yk xyk x 1212 2 1 20 x xxxtt 将 代入上式 整理得 即 20t 2t 所以 2 0 Q 当直线的斜率不存在时 存在也使得点到直线 的距离相等 MN 2 0 Q FQMQN 故在轴上存在定点 使得点到直线 的距离总相等 x 2 0 Q FQMQN 20 共 13 分 解 I 1 1 3 4 5 II 时 由知 由题意知 结论成立 1i 1 11a 1 1a 11 1ba 时 设 若 则 2i 1 i akki 1k ii ba 若 则由知均不与相等 2ki 121 1 2 1 k aaak 121 k a aa i a 于是 1 i ak 1 iii baka 综上 1 2 ii ba in III 当时 由知 结论成立