高中数学 课后强化训练（含详解） 第三章综合检测题 新人教版必修4

用心 爱心 专心 1 第三章综合检测题第三章综合检测题 本试卷分第 卷选择题和第 卷非选择题两部分 满分 150 分 时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 1 已知 0 又 sin cos 则 sin 2 3 5 4 5 A 0 B 0 或 24 25 C 24 25 D 24 25 答案 C 解析 0 且 sin cos 2 3 5 4 5 cos sin 4 5 2 3 2 3 5 当 sin 时 sin sin 3 5 sin cos cos sin 3 5 4 5 4 5 3 5 24 25 当 sin 时 3 5 sin 0 3 5 4 5 4 5 3 5 又 sin 0 故 sin 2 24 25 点评 1 可用排除法求解 sin 0 故排除 A B D 2 2 由 cos 及 sin 可得 sin 1 cos 代入 sin2 cos2 1 4 5 3 5 4 3 中可解得 cos 1 或 再结合 可求 sin 7 25 2 2 若 sin 0 cos2 0 则在 0 2 内 的取值范围是 用心 爱心 专心 2 A 3 2 B 5 4 7 4 C 2 3 2 D 4 3 4 答案 B 解析 cos2 0 1 2sin2 0 即 sin 或 sin 2 2 2 2 又已知 sin 0 1 sin 2 2 由正弦曲线得满足条件的 取值为 5 4 7 4 3 函数y sin2x cos2x的图象 可由函数y sin2x cos2x的图象 A 向左平移个单位得到 8 B 向右平移个单位得到 8 C 向左平移个单位得到 4 D 向右平移个单位得到 4 答案 C 解析 y sin2x cos2x sin 2x 2 4 sin2 x 2 8 y sin2x cos2x sin 2x sin2 x 2 42 8 其中x x 8 4 8 将y sin2x cos2x的图象向左平移个单位可得y sin2x cos2x的图象 4 4 下列各式中 值为的是 3 2 A 2sin15 cos15 B cos215 sin215 用心 爱心 专心 3 C 2sin215 1 D sin215 cos215 答案 B 解析 2sin15 cos15 sin30 排除 A 1 2 cos215 sin215 cos30 故选 B 3 2 5 cos275 cos215 cos75 cos15 的值是 A 6 2 B 5 4 C 3 2 D 2 3 答案 B 解析 原式 sin215 cos215 sin15 cos15 1 sin30 1 1 2 1 2 1 2 5 4 6 若f x 2tanx 则f的值是 2sin2x 2 1 sinx 2cos x 2 12 A 4 3 3 B 4 3 C 4 3 D 8 答案 D 解析 f x 2tanx 2 cosx 1 2sinx sinx cosx cosx sinx 2 f 8 1 sinx cosx 4 sin2x 12 4 sin 6 7 若 x 则函数f x sinx cosx的最大值和最小值分别是 2 23 A 1 1 用心 爱心 专心 4 B 1 1 2 C 2 1 D 2 2 答案 C 解析 x x 2 2 3 6 5 6 f x sinx cosx 2sin 3 x 3 f x 最小值为 1 最大值为 2 8 设函数f x 2cos2x sin2x a a为实常数 在区间上的最小值为 4 那 3 0 2 么a的值等于 A 4 B 6 C 3 D 4 答案 D 解析 f x cos2x sin2x 1 a 3 2sin a 1 2x 6 0 x 2x 2 6 6 7 6 sin 1 1 2 2x 6 f x min 2 a 1 4 a 4 1 2 9 09 重庆理 设 ABC的三个内角为A B C 向量m m sinA sinB 3 n n cosB cosA 若m m n n 1 cos A B 则C 3 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 答案 C 用心 爱心 专心 5 解析 m m n n sinAcosB sinB cosA 33 sin A B sinC 1 cosC 33 sin C 6 1 2 又 0 C C 故C 6 5 6 2 3 10 已知等腰 ABC的腰为底的 2 倍 则顶角A的正切值是 A 3 2 B 3 C 15 8 D 15 7 答案 D 解析 如图 令BD 1 则AB 4 AD tan 15 1 15 tanA tan2 故选 D 2tan 1 tan2 2 15 1 1 15 15 7 11 09 江西理 若函数 f x 1 tanx cosx 0 x 则f x 的最大值为 3 2 A 1 B 2 C 1 3 D 2 3 答案 B 解析 f x 1 tanx cosx 3 cosx sinx 2cos x 3 3 又 0 x 当x 时 y取最大值为 2 2 3 12 已知 sinx siny cosx cosy 且x y为锐角 则 tan x y 的值是 2 3 2 3 A 2 14 5 用心 爱心 专心 6 B 2 14 5 C 2 14 5 D 5 14 28 答案 B 解析 由已知 sinx siny cosx cosy 得Error 2 3 2 3 相加得 cos x y 5 9 x y均为锐角且 sinx siny 0 x y 0 2 sin x y 2 14 9 tan x y 故选 B 2 14 5 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 把正确答案填在题中横线上 13 tan20 tan40 tan20 tan40 3 答案 3 解析 tan60 tan 20 40 tan20 tan40 1 tan20 tan40 原式 tan60 1 tan20 tan40 tan20 tan40 3 tan20 tan40 tan20 tan40 3333 14 的值为 1 sin10 3 sin80 答案 4 解析 原式 cos10 3sin10 sin10 cos10 4 2 cos60 cos10 sin60 sin10 1 2sin20 4cos70 sin20 15 已知 sin sin 则 3 4 3 5 4 12 13 cos 4 答案 56 65 用心 爱心 专心 7 解析 3 4 3 2 2 sin cos 3 5 4 5 sin 4 2 3 4 4 12 13 cos 4 5 13 cos cos 4 4 cos cos sin sin 4 4 56 65 16 关于函数f x cos cos 有下列命题 2x 3 2x 6 y f x 的最大值为 2 y f x 是以 为最小正周期的周期函数 y f x 在区间上单调递减 24 13 24 将函数y cos2x的图象向左平移个单位后 将与已知函数的图象重合 2 24 其中正确命题的序号是 注 把你认为正确的命题的序号都填上 答案 解析 化简f x cos cos 2x 3 2x 2 3 cos sin cos 2x 3 2x 3 2 2x 12 f x max 即 正确 T 即 正确 2 2 2 由 2k 2x 2k 得 12 k x k 即 正确 24 13 24 将函数y cos2x的图象向左平移个单位得 2 24 y cos f x 不正确 2 2 x 24 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 用心 爱心 专心 8 17 本题满分 12 分 09 广东理 已知向量a a sin 2 与b b 1 cos 互相垂 直 其中 0 2 1 求 sin 和 cos 的值 2 若 sin 0 求 cos 的值 10 10 2 解析 1 a a与b b互相垂直 则a a b b sin 2cos 0 即 sin 2cos 代入 sin2 cos2 1 得 sin cos 2 5 5 5 5 又 sin cos 0 2 2 5 5 5 5 2 0 0 0 的图象与直线y m相切 相邻切点之间的距离为 3 2 1 求m和a的值 2 若点A x0 y0 是y f x 图象的对称中心 且x0 求点A的坐标 0 2 解析 1 f x sin2ax sinaxcosax 3 sin2ax sin 1 cos2ax 2 3 2 2ax 6 1 2 由题意知 m为f x 的最大值或最小值 所以m 或m 1 2 3 2 由题设知 函数f x 的周期为 a 2 2 所以m 或m a 2 1 2 3 2 2 f x sin 4x 6 1 2 令 sin 0 得 4x k k Z Z 4x 6 6 用心 爱心 专心 9 x k Z Z k 4 24 由 0 k Z Z 得k 1 或k 2 k 4 24 2 因此点A的坐标为或 5 24 1 2 11 24 1 2 19 本题满分 12 分 函数f x 2asin2x 2asinxcosx a b x 值域为 3 0 2 5 1 求a b的值 解析 f x a 1 cos2x asin2x a b 3 2a 2a b 3 2 sin2x 1 2cos2x 2asin 2a b 2x 6 0 x 0 2x 2x 2 6 6 7 6 sin 1 1 2 2x 6 当a 0 时 有Error a 2 b 5 当a 0 时 有Error a 2 b 1 20 本题满分 12 分 已知在 ABC中 sinA sinB cosB sinC 0 sinB cos2C 0 求角A B C的大小 解析 方法一 由 sinA sinB cosB sinC 0 得 sinAsinB sinAcosB sin A B 0 所以 sinAsinB sinAcosB sinAcosB cosAsinB 0 即 sinB sinA cosA 0 因为B 0 所以 sinB 0 从而 cosA sinA 由A 0 知 A 从而B C 由 sinB cos2C 0 得 sinB cos2 B 4 3 4 3 4 0 即 sinB sin2B 0 即 sinB 2sinBcosB 0 由此得 cosB B 所以A B C 1 2 3 4 3 5 12 方法二 由 sinB cos2C 0 得 sinB cos2C sin 3 2 2C 因为 0 B C 所以B 2C或B 2C 3 2 2 用心 爱心 专心 10 即B 2C 或 2C B 3 2 2 由 sinA sinB cosB sinC 0 得 sinAsinB sinAcosB sin A B 0 所以 sinAsinB sinAcosB sinAcosB cosAsinB 0 即 sinB sinA cosA 0 因为 sinB 0 所以 cosA sinA 由A 0 知A 4 从而B C 知B 2C 不合要求 3 4 3 2 再由 2C B 得B C 1 2 3 5 12 所以A B C 4 3 5 12 21 本题满分 12 分 设函数f x a a b b 其中向量a a 2cosx 1 b b cosx sin2x m 3 1 求函数f x 的最小正周期和在 0 上的单调递增区间 2 当x 时 4 f x 4 恒成立 求实数m的取值范围 0 6 解析 1 f x 2cos2x sin2x m 3 2sin m 1 2x 6 函数f x 最小正周期T 在 0 上的单调递增区间为 0 6 2 3 2 当x 时 f x 递增 0 6 当x 时 f x 的最大值等于m 3 6 当x 0 时 f x 的最小值等于m 2 由题设知Error 解之得 6 m 1 22 本题满分 14 分 已知锐角三角形中 sin A B sin A B 3 5 1 5 1 求 tanA tanB 2 设AB 3 求AB边上的高 解析 1 sin A B sin A B 3 5 1 5 用心 爱心 专心 11 Error Error 2 tanA tanB 2 A B sin A B tan A B 即 将 2 3 5 3 4 tanA tanB 1