编制数学模拟题的过程与方法

3 编制数学模拟题的过程说明与常用方法介绍编制数学模拟题的过程说明与常用方法介绍 现在距中考满打满算不到 3 个月了 如何做好中考复习工作 各人有各自的想 法 但进行模拟考试 好像必不可少 那么模拟卷从那里来 当然我们可以拿别人 已经编制好的试卷来直接使用 而不管效果如何 但作为教师 尤其是一名毕业班 教师 必须具备命题基本功 1 在扩充的内容中寻求新的生长点 2 对保留的内容确定新的标高 3 在原有命题模式上推出新的结构 4 以数学思想方法为核心设计新的情境 5 以能力考查为目标创造新的题型 编制一份含金量高的试卷 从大的方面讲 需要我们把握课程标准 考试纲要 上的要求 需要确定试卷的整体结构与各知识点的比重 要制作 考点知识双向细 目表 等 这些说起来就比较长 做起来也比较麻烦 很耽误时间 我们往往不愿 意去做 但我们注意到 多年来 我省中考数学试题 一直突出对四基的考查 注 重考查学生的思维能力和发展潜能 题型结构稳定 因此 为了减少工作量 我们 可以类比着近年我省中考试卷的模式和样板去把握总体结构来命题 下面我主要结合近几年编制模拟试卷的一些体会 介绍编制数学题常见方法和 过程 供参考 一 命题过程说明一 命题过程说明 命题不外乎改编陈题和原创新题 一一 一道一道陈题陈题的改的改编过编过程程 习惯上把数学教科书中的例题 习题和其它各类书刊上已 有的题目等称为陈题 改编陈题 实际上就是对原有题目进行 加工 改造 深化 1 1 陈题原貌陈题原貌 如图 已知Rt ABC中 ACB 90 B 30 AC 2 作 ABC的高CD 作 CDB的高DC1 作 DC1B的高C1D1 就这样无限作下去 则图中阴影部分的面积 之和为 2 2 前期思考前期思考 此题背景是相似三角形中的基本图形 母子三角形 通过解答不难发现本题 4 主要考查含 30 度角的直角三角形 勾股定理 以及相似三角形的判定和性质等 但已知部分和求解过程都涉及无限 解答中还需应用整体思想 若直接使用此题 学生可能不知从何处下笔而无法准确解答 从而就有得分率低 区分度不高 起不 到考查目的的问题 因此我想 在原题题干不动的情况下 通过设计有梯度的几个 问题 并将原问作为最后一问 使大部分同学能够解答前面的问题 并且通过解答 前面的问题对求最后结论有一定的提示引导作用 使之成为入口宽 有梯度 有区 分度的考题 因此 初步打算将试题改编为一道解答题 第一问不涉及无限 只考查对图形 的认识 入口问题 第二问涉及到无限 并且第一问的解答对其有提示作用 铺垫问题 第三问即为求图中阴影部分的面积之和 3 3 编拟试题编拟试题 有了上面的想法 联系原题解答过程中的第一步 第一问可以有多种问法 比 如 求 ACD 的面积与 ABC 的面积比 求 CDC1的面积与 ABC 的面积比 但这两种问法都过于直白 而且对求阴影部分的面积之和没有直接的提示作 用 如何解决这个问题 又是要我们考虑的问题 对 我们可以综合这两问 设置 第一问为求 ACD 的面积与 CDC1的面积比 考虑到数学语言的简洁性 可将第一问 表述为 若记 ACD 的面积为 S ACD CDC1的面积为 S CD C1 求 S ACD S CD C1 对于此问 只要学生对相似三角形中的基本图形有认识 会证 ACD CDC1 并且能够运用相似三角形面积比等于相似比的平方等性质 都可以完整解答 注意到整个三角形被分成了无限个阴影三角形和无限个无影三角形 而第一问 对无限没有涉及 学生要想求图中阴影部分的面积 仍有一定的难度 如何在第二 问中来引导学生把握无限呢 对第二问可以是 求无影三角形与阴影三角形的面 积比 求出阴影部分面积占整个三角形面积的比 等 想一想不难发现 第 二种问法与 求图中阴影部分的面积 大同小异 并不能体现梯度 所以将求无影 三角形与阴影三角形的面积比作为第二问 并用简洁的数学语言表述如下 若记图中阴影部分的面积为S黑 剩余部分的面积为S白 求S白 S黑 要正确解答此问 只要运用类比方法得到无限组相邻的无影三角形与阴影三角 形的面积比 再运用等比性质即可求出 S白 S黑 有了上面的入口问题和铺垫问题 将 求图中阴影部分的面积 作为第 问 5 就顺理成章了 4 4 最后定稿最后定稿 基于以上修改想法 编拟出的试题可定稿如下 如图 已知 Rt ABC 中 ACB 90 B 30 AC 2 作 ABC 的高 CD 作 CDB 的高 DC1 作 DC1B 的高 C1D1 就这样无限作下去 1 若记 ACD 的面积为 S ACD CDC1的面积为 S CD C1 求 S ACD S CD C1 2 若记图中阴影部分的面积为 S黑 剩余部分的面积为 S白 求 S白 S黑 3 求图中阴影部分的面积 反思 上面只对问题进行了改编 本题还可对题干作适当变动 比如将 AC 2 修改为 BC 等 在此不啰嗦 2 3 二二 一道原一道原创题创题的命制的命制过过程程 从某种角度讲 原创数学试题的新颖性对考生是一种难度 但能真正考查出考 生的学习潜能和个性品质状况 而对命题者来说 更是命题成功与否的一个重要标 志 2011年在给 数学周报 命制模拟题时 根据模拟题考点需要 需要命制一道 考查函数知识的题 当然我可以找来一道中考题进行改编 但我想到了一句话 改 变了我 使我有了进行原创的想法 1 1 素材说明素材说明 我想到在刚工作时 遇到的一件事 说的是 某次数学考试 由于没有控制好 试卷难度 使得考试成绩普遍偏低 我和同组老师交流时 一位老师开玩笑地给我 提出一个方案 采用将每人分数先开方再乘以10的方法来记学生的成绩 这样就可 保证考36分的人就达到及格 那时 满分为100分 大家可以发现 这个分数转换方法不仅可以提高学生的纪录成绩 还能保证0 分转换后仍为0分 100分转换后仍为100分 其中蕴含着函数的单调性以及函数值域 知识 对 何不运用此素材编一道函数题呢 2 2 初拟试题初拟试题 素材有了 但要与初中函数联系编题 还有一定难度 因为直接设原分数为 x 转换后的分数为 y 列出的函数是 它并不是初中学习过的函数 但注意到 xy10 将其两边平方 整理可得 因此 如果将处理后的分数作为自变量 原分 2 100 1 yx 6 数作为应变量就可以将其编制成一到考查二次函数知识的应用题 有了上面的想法 考虑与函数的最值联系 经思考润色 试题初拟如下 某次 数学考试 因试卷难度大而导致成绩普遍很差 老师为了提高学生的分数 采用将 每人分数先开方再乘以 10 的方法 如 36 分的人计算方法是 10 60 即经过这36 样处理后就达到及格分 比原来高了 24 分 请问多少分的人经过处理后加分最多 问题设置为 问多少分的人经过处理后加分最多 主要是为求所列二次函数 的最值时 可以相应考查配方或顶点坐标公式等知识 3 3 分析提升分析提升 显然 这样的题是不能令人满意的 因为 第一 以分数转换为背景 有过于强调分数的嫌疑 与义务教育目标不符 应 该避免 第二 安徽省中考数学分值是150分 而所命的题中 是100分 与现实不符 第三 学生解答此题 很容易将原分数作为自变量 而不知将处理后的分数作 为自变量 也可能不会将增加的分数作为应变量 解答时可能无法下手 如何解决上述问题 对于第一条 因为本题立意是考查函数知识 所以不如直接将分数转换问题修 改为数字转换问题 并将转换要求直接在题干中反映 如是 将题干修改为 现想 将0 n的正数转换成比原数不小的新数 且0转换以后仍是0 n转换以后仍为n 对于第二条和第三条 可以通过设置问题串来解决 初拟的试题只设一问 也 浪费的素材 可以通过增加问题 来发挥素材的价值 考虑原始素材和上面思考 第 问就直接用素材中的转换方法 让学生验证是 否符合转换要求 这样可以帮助学生理解题干 同时为后面的问题作铺垫 如是 将第一问设置为 若 n 100 一位同学将原数先开方再乘以 10 的方法来确定新数 请你验证这 种方法是否符合要求 第 问不能再用问题 1 的问法 若n 150 一位同学将原数先开方再乘以10的 方法来确定新数 请你验证这种方法是否符合要求 为了使问题串逐步推进 层 次分明 有梯度 不如将第二问让学生设计一种符合要求的转换方法 如是 将第二问设置为 若n 150 请你写出一种转换的方法 使转换后的新数也符合题目所给的转 7 换要求 不必证明 此种问法 有一定的开放性 答案不唯一 初拟试题中的设问 没有给出变量 学生可能难以想到 为了降低难度 可将 变量在题中给出 有此想法后将最后一问设置为 一个爱动脑筋的同学发现 不同的正数经过 的方法处理后增加的数不一样 多 若设经过 中的方法处理后的数为x 增加的数为y 写出y与x之间的函数关系 式 并求出多大的数经过这种方法转换后增加最多 4 4 尘埃落定尘埃落定 基于以上想法 编拟出的试题定稿如下 现想将 0 n 的正数转换成比原数不小的新数 且 0 转换以后仍是 0 n 转换以 后仍为 n 若 n 100 一位同学将原数先开方再乘以 10 的方法来确定新数 请你验证这 种方法是否符合要求 若 n 150 请你写出一种转换的方法 使转换后的新数也符合题目所给的转 换要求 不必证明 一个爱动脑筋的同学发现 不同的正数经过 的方法处理后增加的数不一样 多 若设经过 中的方法处理后的数为 x 增加的数为 y 写出 y 与 x 之间的函数关 系式 并求出多大的数经过这种方法转换后增加最多 以上是我对命制题目的回忆 由于有一定的时间间隔 加之我表达能力有限 不能完整反映命制过程 二 命题方法介绍二 命题方法介绍 下面分如何 改编陈题 如何 新编原创 两个方面归纳常见的命题的方法 一一 改改编陈题编陈题推推陈陈出新出新 如果每道试题都是原创题当然不错 但这对命题者的要求实在太高 而用陈题 考查学生的水平 显然不能做到公平与公正 效度难以保证 因此对待陈题 尽量 进行改编 加入新的元素使之有新意 注意针对性 使之符合新的评价理念 陈题的来源主要是教材中的习题 思考题 以及往年的中考题 它们是命题的 零投资 资源库 这些题都是经过专家多次打磨 筛选后的精品 自身蕴藏着丰 富的潜在功能 有待我们把握立意 探其源 究其变 创造性使用这些资源 由此 构选出大同小异或面目全非的新题 8 1 1 修改数据或变换背景修改数据或变换背景 修改数据 就是保持原题的原文或原意 仅把有关数据进行更换 变换背 景 就是用等价的说法对背景稍做改动 它们是一种 偷梁换柱 式的做法 通过 改动数据或变换背景 使之更符合现在的情况 例1 电信局的维修工甲 乙两人要到40千米远的地方抢修线路 甲骑摩托车先 行 乙开抢修车载着所需材料后出发 若抢修车迟出发20分钟 抢修车的速度是摩托车的1 5倍 且甲 乙两人同 时到达 求摩托车的速度 若摩托车的速度是45千米 小时 抢修车的速度是60千米 小时 且乙不能比 甲晚到 则乙最多能比甲迟出发多长时间 本题改编自2009年厦门市中考题22题 原题是 供电局的电力维修工甲 乙两 人要到45千米远的A地进行电力抢修 甲骑摩托车先行 t t 0 小时后乙开抢修车 载着所需材料出发 若 小时 抢修车的速度是摩托车的1 5倍 且甲 乙两人同时到达 求 3 8 t 摩托车的速度 若摩托车的速度是45千米 小时 抢修车的速度是60千米 小时 且乙不能比甲晚到则t的最大值是多少 改编时注意到原题中变量t可有可无 因此将原题中的变量t 删去 其次修改抢修车迟出发的时间 使之更符合人们表达习惯 为了保持所求摩托车的速度仍和原题所求摩托车的速度相同 同时修改抢修地与出 发地间的距离 例 2 如图 O 的直径 AB 为 8 弦 CD AB 垂足是 E B 22 5 CD 的长为 A B C D 822424 原题 2014 北京中考题第 7 题 如图 O 的直径垂直于弦 CD 垂足是 E A 22 5 OC 4 CD 的长为 A B C D 822424 2 2 选用高中适合初中学生解答的问题选用高中适合初中学生解答的问题 9 现在 新课程对内容采取循环安排 在高中的数学中 常常包含着一些初中的 内容 如果我们注意对高中数学或其他学科中的一些符合初中毕业生解答的习题进 行变形 简化 特殊化 具体化 就可以编拟出用初中知识或方法来解决的数学问 题 有的甚至可以直接选用 例3 为了解学生身高情况 某校以10 的比例对全校700名 学生按性别进行分层抽样调查 测得身高情况的统计图如下 估计该校男生的人数 估计该校学生身高在170 185cm之间的概率 这是一道综合考查统计与概率知识的问题 来源于 2010 陕西高考理科第 19 题 原 题的第 问即上述第 问 可以用初中所学统计中的样本估计总体的思想解答 原题的第 问即上述第 问 可以用初中所学的概率知识解答 原题的第 问如下 从样本中身高在165 180cm之间的 女生中任选2人 求至少有1人身高在170 180cm之间的概率 解答 需要排列组合知识 初中学生没有学过 所以选用时 将此问删去 例 4 2014 课标全国 文改编 如图 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画 出的是一个几何体的三视图 则这个几何体是 A 三棱柱 B 三棱锥 C 四棱柱 D 四棱锥 例 5 江西 2014 高三大联考改编 右图是某驾照培训机构仿照 2008 年北京申 奥标志设计的路考的行使路线 即从 A 点出发沿曲线段 B 曲线 段 C 曲线段 D 最后到达 E 某观察者站在 M 点处观察练车场上 匀速行驶的小车 P 的运动情况 设观察者从点 A 开始随车子运动 变化的视角 AMP 则下列图象中能表示 与 t 之间的函数 关系的图象大致是 3 3 改变题型改变题型 对题型进行切换 以吻合考查意图 此类问题一般是把解答题改为填空题 选 10 择题或开放题等 进行切换时 往往需要考虑条件的必要性 例4 如图 抛物线与 轴正半轴交于A B两点axxy 2 5 2 2 x A在B的左边 与轴正半轴交于C 则B点坐标可能是 y A 0 B 4 0 C 1 0 D 0 4 1 33 本题的原题是一道解答题 如图 抛物线与x轴正半轴交于A Baxxy 2 5 2 2 两点 A在B的左边 与轴正半轴交于C 且 OCA OBC 求B点坐标 y 解答原题可以得到B点坐标是B 1 0 但解答过程涉及二次函数 相似三角形 以及一元二次方程根与系数关系等知识 不但偏难 而且解答所涉 及的知识点一元二次方程根与系数关系是的初中的选学内容 所以 此题作为一道模拟题不合适 那么如何修改呢 进一步思考发现 此抛物线的对称轴是直线 如图 利用 8 5 x 对称性知 原点O关于对称轴的对称点的横坐标应为 因此B点的横坐标应介于 4 5 和之间 于是 就有将其修改为选择题的想法 通过列出四个选项 使其中一 8 5 4 5 个选项的坐标为 1 0 另外三个选项的横坐标处于 之外 这样就避免了使 8 5 4 5 用一元二次方程根与系数关系来解答的超标问题 同时删去题干中解答时不需要的 条件 OCA OBC 为了使问题严密 将 则B点坐标是 改为 则B点坐标可能是 4 4 更换条件或结论或具体化更换条件或结论或具体化 把数学题中的条件或结论变更 或将条件与结论交换 转换为原命题的逆命题 等方式 也可打造出新题 例 5 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 点 D 在 AB 上 作 DE AC 于 E DF BC 于 F 当 D 从 A 点向 B 点移动的过 程中 矩形 DECF 的最大面积是 A B C 12 D 24 24 7 576 49 原题是 如图 Rt ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 D 在 AB 上 作 DE AC 于 E DF BC 于 F 当 D 从 A 点向 B 点移动的过程中 矩形 DECF 的面积的变化情况是 11 A 逐渐变大 B 逐渐变小 C 先变大后变小 D 先变小后变大 原题的结论是问矩形DECF的面积的变化情况的 解答时无需动笔 只要根据经 验即可判断出应选C 思维的含量比较低 如是随手将结论修改为求矩形DECF的最大 面积 本题还可修改为问 周长的变化情况是 它们虽都是更换结论编题 但改为问周长的变化情况 答案就变成 B 逐渐变小 解答时如果不思考 易受 面积变化情况的影响而选错 这样有利于打破学生思维定势 提高学生的思维层次 5 5 纵向增设梯度问题纵向增设梯度问题 对有一定难度的题 为了低起点 高落点 通过增设有梯度的问题 兼顾各水 平学生 也可对条件 结论甚至图形充分挖掘编题 例 6 在平面直角坐标系中 有 A 3 4 B 4 3 两点 现添加一个点 C 1 0 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 任意添加一点 C 是否经过 A B C 三点都可以确定一条抛物线 如果不能 请给出一个点 C 的坐标 求经过这三点的函数解析式 并写出你添加的点的坐标 A B 两点可能在一条双曲线上吗 如果能 请求出双曲线的解析式 如果不 能 说明理由 本题的原题是 在平面直角坐标系中 有 A 3 4 B 4 3 两点 再添加一点 C 求出经过 A B C 三点的函数关系式 反思第 小题 考虑有没有更简捷的解法 如果有 请写出来 如果没有 请说明理由 原问题的设置有一定的开放性 问题设置的起点是防止思维定势 即一般都会 想到经过 A B C 三点的二次函数 实际上题目并没有明确所求一定是二次函数 我在改编时 主要考虑做到目标明确 因此将其直接编制为考查初中所学的三种函 数的问题 6 6 横向联系适当组合横向联系适当组合 采用适当组合将几个相关的概念 运算 结论或图形等有机地组合起来可以构 造新的命题 或把一个命题分解成几个相关命题以产生新命题 例7 已知 ABC和 A B C 中 AB A B 16cm BC B C 10cm A A 30 如果 ABC和 A B C 不全等 则它们的面积之差是 cm 2 12 我们知道 满足 边边角 相等的两个三角形可能全等 也可能不全等 当满 足 边边角 的两个三角形不全等时 这两个三角形的面积就相差一个等腰三角形 的面积 于是就编制出此题 例8 已知矩形ABCD中 AB 4cm BC 6cm 分别取AD AB BC CD的中点 E F G H 连接EF FG GH HE 如图 则 四边形EFGH是菱形 求菱形EFGH的面积 请你在图 和图 中分别画出一个菱形 不必证明 要求 面积比 中的菱形 面积大 并计算所画菱形的面积 本题由以下两题组合改编而成 原题1 如图 矩形ABCD中 E F G H分别是AD AB BC CD的中点 求证 四边形EFGH是菱形 原题2 如图 矩形ABCD中 AB 4 BC 6 E F分别是AD BC上的点 四边形 EBFD是菱形 求菱形的面积 原题 1 中的菱形面积等于矩形的一半 原题 2 中的菱形面积大于矩形的一半 因此联系这两题就编出例 11 这道有一定思维含量 考查特殊四边形知识的问题 以上方法均立足于原有题 分类并非是逻辑分类 它们彼此融合 限于水平 归纳出上述六种改编数学题的方法 实际上改编题的方法应该很多 关键是注意变 化 编出新意 二二 利用素材利用素材进进行原行原创创 编拟原创题往往需要经过反复推敲才能完成 是一项创造性的劳动 需要编题 者做一个有心人 处处留心 处处关注 要能抓住瞬间即逝的想法 并用数学的眼 光 看待所见 所闻 所思 从中发现数学问题 并做到以一定的数学知识为背景 选择合适的题型 编制出数学题 1 1 从背景方面考虑进行原创从背景方面考虑进行原创 13 我们可以从社会热点 日常生活提炼与数学有关的内容 将其作为命题的素材 需要注意的是以现实为背景编制原创题时 所取的背景一定要真实 所给数据一定 要准确 例1 前几年房价上涨过快 近期上涨放缓编制方程题 例2 会徽图案的设计考查对称 各类会徽的设计往往可以看作一个精美的几何图形 其设计通常要 用到旋转 平移 轴对称 中心对称 相似等一些图形变换的方式 命 题时可以用会徽图案 考查对对称图形的认识 2 2 从知识方面考虑进行原创从知识方面考虑进