几何中的调和分割及应用

几何中的调和分割及应用几何中的调和分割及应用 郑皎月 安康学院数学系 陕西 安康 725000 摘要摘要 调和分割 又称 调和共轭 它是交比研究中的一个重要特例 也是 贯穿大学 高等几何 课程的一个重要概念 应用它解决初等几何中有关平分角 平 分线段以及高等几何中有关对合的性质 完全四点型的调和分割 完全四线型调和分 割以及拉盖尔定理的推广等性质有着积极的意义 关键字 关键字 调和分割 高等几何 应用 性质 若 C 点分割线段 AB 的比值和 D 点分割 AB 的比值只差一个符号 因而一个是内分 点 另一个是外分点 这时我们说 C D 两点调和分割 AB 或 C 与 D 对于线段 AB 成调 和共轭点偶 用符号表示 在调和分割中 两对点的关系是完全对等的 1 CDAB 这意思是说 当 C 与 D 调和分 AB 时 A 与 B 也调和分割 CD 因而我们已知道 若 便也有 1 CDAB1 ABCD 一 几何中的调和分割一 几何中的调和分割 1 1 关于平分角中的调和分割关于平分角中的调和分割 三角形中一个角的内角和外角的平分线 将对边分成两线段的比值 都和两邻边 成比例 可见 两条平分角线和对边的交点 调和分割对边 A EE 证明 由三角形中一个角的内角和外角的平分线 将对边分成两线段的比值 都 和两临边成比例 有 EB AE DB DA CB AC EB AE 即 DB DA CB AC 1 CBDA DBAC D A C B E 图 1 则 1 BCAD BDAC 因此 1 CDAB 2 关于线段的调和分割关于线段的调和分割 一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割 即证明 1 CPAB 证 AP BP BC AC BCAP BPAC CPAB 因为 CBAC 所以 1 BC AC 即 1 BCAP BPAC 则 1 CPAB 3 3 关于对合的调和分割 关于对合的调和分割 对合有两个二重元素 这两个元素是不重合的 可能是共轭复元素 并且这两个 二重元素调和分割任意一对对应元素 证明 由于对合的表达式是 0 0 2 badduubauu 所以决定二重元素的方程 02 2 dbsas 不能有等根 所以两根和或者是不等式实根 双曲型对合 或者是共轭复 1 s 2 s 根 椭圆型对合 由于对合是射影变换 因此保留交比 即 利用交比性质 21 21 uussuuss 此式可写作 ABC P 图 2 从而或 但将导致 1 21 21 uuss uuss 1 21 uuss1 21 uuss1 21 uuss 与重合 这与对合不是恒同变换的假设抵触 从而 u u 1 21 uuss 4 4 关于完全四点形和完全四线形的调和分割关于完全四点形和完全四线形的调和分割 完全四点形完全四点形 完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束 即通过这对角点的两 边和对角三角形的两边 完全四线型完全四线型 完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列 即这直线上的两个顶 点和对角三角形的两个顶点 证明 设 AB SQ RT 是完全四边形的三条对角线 SQ RT 交 AB 于 C D 则 RTEDABCD S SQRTE BACD Q 所以 1 CDAB CDBACDAB 从而 AB CD 1 或 AB CD 1 1 2 CDAB 因将导致四点 A B C D 中有某两点重合 因这与现在的情况不合 所1 CDAB 以 1 CDAB A BD PR Q a d P br c S R AB D C E Q 图 3图 4 C 现在回转来证明完全四点形的调和性质 我们取对角点 A 为例 只需把图 2 上点 Q R S T 理解为完全四点形的顶点 那么三角形 ABE 是它的对角三角形 要证明的 是 1 BERTA A RT BE A RT DE RT DE AB DC 因为 ABDCRTDE S 1 证毕 5 5 关于拉盖尔定理的推论 关于拉盖尔定理的推论 两条直线垂直的充要条件是它们和 l 的交点关于 I 1 i 0 和 J 1 i 0 两点 成调和共轭 亦即该两条直线被通过它们的交点的迷向直线调和分割 证明 设两条直线的交角是 这两条直线上的无穷远点与 I J 两点所成的交比是 D 那么 对数函数的主值范围内 由拉盖尔定理公式 2 1 D 2 D i De i 1 sin cos ie i 所以 1 D 因此 这两条直线上的无穷远点与 I J 两点所成的交比为 1 即垂直的两条直 线被通过它们交点的两条迷向直线调和分割 二 调和分割的应用二 调和分割的应用 例 1 ABCD 是梯形 E 是两腰所在直线的交点 过两对角线的交点 G 引底边的平行 线相交于 F 则 1 EFAD E DC AB I F G H 证明 联结 EG 分别与梯形上 下两底交于点 H 和 I 观察到 EDGH 是一个完全四线形 图 5 EI 是它的对角线 有完全四线形的调和性质 得到 又 故 GFBACD 平行投影是特殊的射影 ADEFIHEG S CDBAS 这样 证毕1 EGIHEFAD 例 2 给定一条二次曲线 证明在不是切线的每一直线上有无穷多的共轭点偶 它 们组成一个对合对应 S M P l p 图 6 证明 设直线 交二次曲线于点 M N 过 M N 作的二切线交于点 S 在 上任取一l l 点 过作的两条切线 连两切点的直线和 交于 为点关于PP pl PpP 的极线且过点 S 图 4 则有 所以 在直线 上有无穷多的 1 PPMNl 共轭点偶 它们组成以 M N 为二重元素的对合对应 若 与无实交点为椭圆l