刚体一章习题解答

刚体一章习题解答 习题 4 1 如图所示 X 轴沿水平方向 Y 轴竖直向下 在 t 0 时刻将质量为 m 的质点由 a 处静止释放 让它自由下落 则在任意时刻 t 质点对原点 O 的 力矩 在任意时刻 t 质点对原点的角动量 M L 解 作用于质点上的重力为 jmgG 任一时刻 t 质点 也是重力的作用点 的位置矢量为 jgti br 据定义 该重力对原点 O 点的力矩为 kbmgjmgjgti bGrM 任一时刻 t 质点的动量为 jmgtmP v 据定义 质点对原点 O 的角动量为 kbmgtjmgtjgti bPrL 习题 4 2 我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运 动 地球的中心 O 为椭圆的一个焦点 如图 已知地球半径 R 6378km 卫星与地面的最近 距离 l1 439km 与地面的最远距离 l2 238km 若卫星在近地点 A1的速度 v1 8 1km s 则卫星 在远地点的速度 v2 解 卫星受到地球引力 有心力 的作用 对地心 O 的角动量守恒 因此 2211 vvmlRmlR 解得 km s3 61 8 2386378 4396378 1 2 1 2 vv lR lR 习题 4 3 光滑圆盘面上有一质量为 m 的物体 A 栓在一根穿过圆盘中心光滑 小孔的细绳上 如图所示 开始时 物体距离圆盘中心 O 的距离为 r0 并以角 速度绕圆盘中心 O 作圆周运动 现向下拉绳 当物体 A 的径向距离由 r0减 0 少到时 向下拉的速度为 v 求下拉的过程中拉力所作的功 2 0 r 分析 下拉过程并不是缓慢的 在下拉过程中的任一时刻 物体的速度不 X Y O a b 习题 4 1 图 v gt 卫星 A1 A2 R l 1 l2 O 1 v 2 v 习题 4 2 图 是刚好沿半径为 r 的切线方向 而是既有切向分量 又有法向分量 另一方面 此题可以考虑用动能定理求拉力的功 这就得先求出物体的末态速度 解 设在末态物体的速度的切向分量为 vt 法向分量为 vn 亦为下拉速度 同时考虑到 速度的法向分量 vn与矢径r反平行 其相应的 角动量为零 由角动量守恒可得 t m r mrvv 2 0 00 所以 末态速度的切向分量 000 22 r t vv 由质点动能定理 下拉的过程中拉力所作的功 2 0 22 0 2 1 2 1 vvvmmEEA ntkk 2 0 22 00 2 1 2 2 1 rmrm v 22 0 2 0 2 1 2 3 vmmr 习题 4 4 质量为 m1的粒子 A 受到第二个粒子 B 的万有引力作用 B 保持在 原点不动 最初 当 A 离 B 很远 r 时 A 具有速度 方向沿图中所示直 0 v 线 Aa B 与这条直线的垂直距离为 D 粒子 A 由于粒子 B 的作用而偏离原来的 路线 沿着图中所示的轨道运动 已知这轨道与 B 之间的最短距离为 d 求 B 的质量 mB 解 粒子 A 在粒子 B 的有心力场中运动 系统的角动量和机械能均守恒 因此 我们可以得到 vv 101 mdmD d mm Gmm B12 1 2 01 2 1 2 1 vv 联立 两式解得 B 的质量为 Gd dD mB 2 2 0 22 v 习题 4 5 在光滑的水平面上 一根长 L 2m 的绳子 一端固定于 O 点 另一 端系一质量 m 0 5kg 的物体 开始时 物体位于位置 A OA 间距离 d 0 5m 绳子处于松弛状态 现在使物体以初速度 vA 4m s 垂直于 OA 向右滑动 如图 所示 设以后的运动中物体到达位置 B 此时物体速度的方向与绳垂直 则此 v 0 r 0 习题 4 3 图 A O 0 v v A a D B 习题 4 4 图 d 刻物体对 O 点角动量的大小 LB 物体速度的大小 vB 解 由质点角动量守恒定律有 BA mLmdvv 因此 物体在 B 点时对 O 点的角动量为 smkg145 05 0 2 AAB mdLLv 物体在 B 点时的速度为 m s1 2 45 0 AB L d vv 习题 4 6 一质量为 m 的质点沿着一条空间曲线运动 该曲线在直角坐标系下 的定义为 其中 a b 皆为常数 则此质点所受的j tbi tar sincos 对原点的力矩 该质点对原点的角动量 M L 解 依定义 质点的加速度 rj tbi ta dt rd dt d a 22 2 2 sincos v 质点受到的力为 rmamF 2 因此力矩 0 2 rrmFrM 因为 j tbi ta dt rd cossin v 所以质点角动量为 cossin sincos j tbi tamj tbi tamrPrL v kabmktabmktabm sin cos 22 习题 4 7 两个匀质圆盘 A 和 B 的密度分别为和 若 但两圆 A B BA 盘的质量和厚度相同 如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为 JA 和 JB 则 A B C D 哪个大不能确定 BA JJ BA JJ BA JJ A J B J 解 圆盘的转动惯量 22 2 1 RmRJ 习题 4 5 图 A v A B d O B v 又因为 hRVm 2 所以有 1 2 h m R 这样一来 1 J 因为已知 因而 故应选择答案 B BA BA JJ 习题 4 8 如图所示 A B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮 A 滑轮挂一质量 为 M 的物体 B 滑轮受拉力 F 而且 F Mg 设 A B 两滑轮的角加速度分别 为和 不计滑轮轴的摩擦 则有 1 2 A B C D 开始时 以后 21 21 21 21 21 解 由牛顿定律及转动定律 对 A 1 1 Ra JTR MaTMg 对 B 2 JFR 从以上各式可解得 2 1 MRJ MgR J MgR J FR 2 显然 21 所以 应当选择答案 C 习题 4 9 一长为 l 质量可以忽略的细杆 可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作 定轴转动 在杆的另一端固定着一质量为 m 的 小球 如图所示 现将杆由水平位置无初速度 地释放 则杆刚被释放时的角加速度 0 杆与水平方向夹角为 60 时的角加速度 解 细杆对轴的转动惯量为 J ml2 由转动 定律 当杆刚被释放时的角加速度为 A B M F 习题 4 8 图 l m 习题 4 9 图 l g ml lmg J M 2 0 当杆与水平方向夹角为 60 时的角加速度为 l g ml mgl J M 2 60cos 2 习题 4 10 长为 l 质量为 M 的匀质细杆可绕通过杆的一端 O 的水平光滑固 定轴转动 转动惯量为 开始时杆竖直下垂 如图所示 有一质量为 m3 2 Ml 的子弹以水平速度 v0射入杆上 A 点 并嵌在杆中 OA 则子弹射入后瞬32l 间杆的角速度 解 子弹射入杆内并嵌在其中 射击过程系统 角动量守恒 3 2 3 1 3 2 22 0 lmMllm v 容易解得 lmM 34 6 0 v 习题 4 11 两个质量都是 100kg 的人 站在一质量为 200kg 半径为 3m 的水 平转台的直径两端 转台的固定转轴通过其中心且垂直于台面 初始时 转台 每 5s 转动一圈 当这两个人以相同的快慢走到转台中心时 转台的角速度 转台对转轴的转动惯量 计算时忽略转台在转轴处的2 2 MRJ 摩擦 解 系统角动量守恒 2 0 22 2 1 2 2 1 MRmRMR 式中为系统的初始角速度 其值为 0 rad s 5 2 0 所以 当两个人以相同的快慢走到转台中心时 转台的角速度为 rad s77 3 5 2 32005 0 3100232005 0 2 1 2 2 1 2 22 0 2 22 MR mRMR 习题 4 12 一飞轮由一直径为 30cm 厚度为 2 0cm 的圆盘和两个直径都为 10cm 长为 8 0cm 的共轴圆柱体组成 设飞轮的密度为 7 8kg m 3 求飞轮对 l1 l2 d1 d2 轴 题解 4 12 图 32l 0 v m A O 习题 4 10 图 轴的转动惯量 解 转动惯量具有可加性 而且圆盘 和两个圆柱体共轴 因此飞轮对轴的转动惯量为 22 2 2 221 1 2 12 22 2 11 2 4 2 4 2 1 2 1 2 2 1d l dd l d RmRmJ 2 32 1 16 1 32 1 4 22 4 112 4 21 4 1 dldlldld 10 0 08 0 230 0 02 0 14 3 108 7 32 1 443 2 mkg136 0 习题 4 13 一燃气轮机在试车时 燃气作用在涡轮上的力矩为 2 03 103N m 涡轮的转动惯量为 25kg m2 当轮的转速由 2 80 103r min 1增大到 1 12 104r min 1 所经历的时间 t 为多少 解 根据转动定律 涡轮的角加速度为 2 3 rad s 2 81 25 1003 2 J M 再由刚体转动运动学公式 t 12 所经历的时间 t 为 s 8 10 60 2 81 1080 2 1012 1 14 3 2 2 34 1212 nn t 习题 4 14 质量为 0 50kg 长为 0 40m 的均匀细棒 可以绕垂直于棒的一端 的水平轴转动 如将此棒放在水平位置 然后任其落下 求 1 当棒转过 60 时的角加速度和角速度 2 下落到竖直位置时的动能 3 下落到竖直位 置时的角速度 解 1 当棒转过时所受的力矩为 cos 2 1 mglM 根据转动定律 棒的角加速度为 cos 2 3 31 cos 21 2 l g ml mgl J M 当时 60 mg 题解 4 14 图 m l O 轴正向 2 rad s 4 1860cos 40 0 2 8 93 根据定义 cos 2 3 l g d d dt d d d dt d 分离变量再积分 d l g dcos 2 3 00 sin 2 3 2 1 2 l g 棒的角速度为 sin 3 l g 当时 60 rad s98 7 60sin 40 0 8 93 2 下落到竖直位置时的角速度为 rad s57 8 90sin 40 0 8 93 所以棒的动能为 J98 057 840 0 50 0 6 1 3 1 2 1 2 1 22222 mlJEk 此步还可用机械能守恒定律求得棒的动能 设重力势能零点在棒原来的水平 位置处 则有 2 1 0mglEk 所以 J98 0 40 08 950 0 5 0 2 1 mglEk 3 由 2 可知 下落到竖直位置时 rad s57 8 习题 4 15 如图所示 A 和 B 两个飞轮 的轴杆在同一中心线上 设两轮的转动惯 量分别为 JA 10kg m2和 JB 20kg m2 开始 时 A 轮转速为 600rev min B 轮静止 C 为摩擦啮合器 其转动惯量可忽略不计 A B 分别与 C 的两个组件相连 当 C 的 左右组件啮合时 B 轮得到加速而 A 轮减 0 A B C 习题 4 15 图 速 直到两轮的速度相等为止 设轴光滑 求 1 两轮啮合后的转速 2 两轮各自所受的冲量矩 解 1 rad s 206060022 AA n 0 B 由角动量守恒有 BAAA JJJ 解得 rad s 200rev min 9 20 2010 2010 BA AA JJ J 2 由角动量定理 N m s41914 32010 9 2010 12 AAAAAA JJLLG N m s419 AB GG 或者 N m s4190 9 2020 12 BBBBBB JJLLG 习题 4 16 一匀质细棒长为 2L 质量为 m 以与棒长方向相垂直的速度 v0在光滑水 平面内平动时 与前方一固定的光滑支点 O 发生完全非弹性碰撞 碰撞点位于棒中心的 一方 L 2 处 如图所示 求棒在碰撞后的瞬 时绕 O 点转动的角速度 细棒绕通过其 端点且与其垂直的轴的转动惯量为 3 2 ml 式中的 m 和 l 分别为棒的质量和长度 解 棒与 O 点碰撞前后其角动量守恒 但棒碰撞前的角动量须作积分才能求得 为 此 我们在棒上距支点 O 为 x 处取线元 dx 其元角动量为 00 vxv dxdmxdL 式中为棒的质量线密度 由此 我们可以得到碰撞前棒的角动量为 23 0 0 2 0 0210 LL dxxdxxLLLvv Lm LmLm 0 00 2 1 16 9 16 v vv 碰撞后棒的角动量为 A B L 2 1 L 2 1 L 0 v 0 v 习题 4 16 图 O x dx JL 式中 J 为棒对 O 点的转动惯量 2 23 2 2 12 7 mLdxxdJJ L L 令 LL 0 即 12 7 2 1 2 0 mLJLm v 解得 L7 6 0 v 习题 4 17 如图所示 一个质量为 m 的物体 与绕在定滑轮上的绳子相连 绳子质量可以忽 略不计 它与定滑轮之间无滑动 假设定滑轮 质量为 M 半径为 R 其转动惯量为 2 2 MR 滑轮轴光滑 试求该物体由静止开始下落的过 程中 下落速度与时间的关系 解法 对物体 m maTmg 对定滑轮 圆盘刚体 2 1 2 MRTR 由角量与线量的关系 Ra 联立以上三式可得 Mm mg a 2 2 可见 物体下落的加速度是常量 又因为其下落的初速度为零 所以 物体下 落速度与时间的关系为 Mm mgt at 2 2 v 解法 把圆盘和物体作为定轴系统 由角动量定理有 0 JRmtmgRv 又因为 2 2 1 MRJ R v 由上述关系可以解得 Mm mgRt 2 2 v R M m 习题 4 17 图 习题 4 18 一作定轴转动的物体 对转轴的转动惯量为 J 3 0kg m2 角速度 现对物体加一恒定的制动力矩 M 12N m 当物体的角速度减rad s0 6 0 慢到时 物体已转过了角度 rad s0 2 解 物体的角加速度为 2 rad s4 0 3 12 J M 由于角加速度为恒量 所以满足公式 2 2 0 2 因此 rad0 4 4 2 0 60 2 2 222 0 2 习题 4 19 一定滑轮半径为 0 1m 相对于中心轴的转动惯量为 1 10 3kg m2 一变力 F 0 5t SI 沿切线方向作用在滑轮的边缘上 如果滑轮最初处于 静止状态 忽略轴承的摩擦 试求它在 1s 末的角速度 解 作用于定滑轮上的外力矩为 ttFRM05 0 1 05 0 定滑轮的角加速度为 t t J M 50 101 05 0 3 因此 t dt d 50 应用初始条件 t 0 时 对上式积分0 0 2550 1 00 tdtd 所以 定滑轮在 1s 末的角速度为 rad s25 习题 4 20 电风扇在开启电源后 经过 t1时间达到了额定转速 此时相应的 角速度为 当关闭电源后 经过 t2时间风扇停转 已知风扇转子的转动惯量 0 为 J 并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量 试根据已知推算电机的 电磁力矩 解法 设电机的电磁力矩为 M 摩擦阻力矩为 Mf 由转动定律 从开启 电源到达到额定转速的过程中有 1 JMM f 从关闭电源到风扇停转的过程中有 2 JM f 由刚体运动学公式有 110 t 220 0t 联立以上四式可得电机的电磁力矩为 21 0 11 tt JM 解法 由刚体角动量定理可得 0 01 JtMM f 0 0 JM f 联立以上两式可得电机的电磁力矩为 21 0 11 tt JM 习题 4 21 转动惯量为 J 的圆盘绕一固定轴转动 角速度为 设它所受阻 0 力矩与角速度成正比 即 k 0 求圆盘的角速度从变为所需 kM 0 2 0 要的时间 解 由转动定律 dt d JkM 分离变量并积分 t dt J kd 0 2 0 0 解得 2ln k J t 习题 4 22 一轻绳跨过两个质量均为 m 半径均为 r 的均匀圆盘状定滑轮 绳的两端 分别挂着质量为 m 和 2m 的重物 如图所示 绳与滑轮之间无相对滑动 滑轮轴光滑 两 个定滑轮的转动惯量均为 将由两个2 2 mr 定滑轮以及质量为 m 和 2m 的重物组成的系 统从静止释放 求两滑轮之间绳内的张力 解 对滑轮和重物分别列式可得 2m m m r m r 习题 4 22 图 ra mamgT mrrTT mrrTT maTmg 2 2 23 2 31 1 2 1 2 1 22 联立以上五式可求得两滑轮之间绳内的张力 mgT 8 11 3 习题 4 23 质量分别为 m 和 2m 半径分别为 r 和 2r 的两个均匀圆盘 同轴地粘在一起 可 绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑轴转动 对轴的转动惯量为 大小圆盘边缘均绕29 2 mr 有绳子 绳子下端都挂有一个质量为 m 的重物 如图所示 求盘的角加速度的大小 解 由示力