【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点14 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式（含解析）新人教A版

1 命题探究命题探究 2014 2014 版高考数学知识点讲座 考点版高考数学知识点讲座 考点 1414 三角函数的概念 同三角函数的概念 同 角三角函数的基本关系和诱导公式 解析版 角三角函数的基本关系和诱导公式 解析版 加 加 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 一一 考纲目标考纲目标 理解任意角的概念 弧度的意义 掌握任意角的三角函数的定义 同角三角函数的关系式与诱 导公式 了解周期函数和最小正周期的意义 能化简三角函数式 掌握同角三角函数的基本关系式 二二 知识梳理知识梳理 1 角 和 终边相同 Zkk 360 2 几种终边在特殊位置时对应角的集合为 角的终边所在位置角的集合 X 轴正半轴 Zkk 360 Y 轴正半轴 Zkk 90360 X 轴负半轴 Zkk 180360 Y 轴负半轴 Zkk 270360 X 轴 Zkk 180 Y 轴 Zkk 90180 坐标轴 Zkk 90 3 弧度制定义 我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度角角度制与弧度制的互化 180 180 1 1 弧度 3 57 180 4 弧长公式 rl 是圆心角的弧度数 5 扇形面积公式 2 2 1 2 1 rrlS 6 三角函数的定义 以角 的顶点为坐标原点 始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系 在角 的终边 上任取一个异于原点的点 yxP 点 P 到原点的距离记为 2222 0 r rxyxy 那么sin y r cos x r tan y x 2 7 三角函数的符号 8 特殊角的三角函数值 0 6 4 3 2 2 3 sin 0 2 1 2 2 2 3 101 cos 1 2 3 2 2 2 1 01 0 tan 0 3 3 13 0 9 三角函数的定义域 值域 函 数定 义 域值 域 siny R 1 1 cosy R 1 1 tany 2 kkZ R 10 诱导公式 可用十个字概括为 奇变偶不变 符号看象限 诱导公式一 sin 2 sink cos 2 cosk 其中kZ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 诱导公式二 sin 180 sin cos 180 cos 诱导公式三 sin sin cos cos 诱导公式四 sin 180 sin cos 180 cos 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 诱导公式五 sin 360 sin cos 360 cos sin cos tan 3 2 Zkk 2 2 sin sin sin sin sin sin cos coscos cos cos cos cos sin 1 要化的角的形式为180k k为常整数 2 记忆方法 函数名不变 符号看象限 11 商数关系 sin tan cos 12 平方关系 22 sincos1 三 考点逐个突破三 考点逐个突破 1 1 角的终边问题角的终边问题 例 1 若角 是第二象限角 则 1 2 是哪个象限角 2 2是哪个象限角 分析k Zk 解 1 因为角 是第二象限角 所以k 则 90180 2 45180Zkkk 当k是偶数时 设 2Znnk 则 90360 2 45360Znnn 可知 2 在第一象限 当k是奇数时 设 12Znnk 则 270360 2 225360Znnn 4 可知 2 在第三象限 综上述 角 是第二象限角 则 2 是第一象限角或第三象限角 2 因为 360360221803602kk 可知角 2的终边应在第三象限或第四象限或 Y 轴的负半轴上 例 2 已知 是第三象限角 则 3 是第几象限角 分析 由 是第三象限角 可得到 角的范围 进而可得到 3 的取值范围 再根据范围确定其象 限即可 也可用几何法来确定 3 所在的象限 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法一 因为 是第三象限角 所以 Zkkk 2 3 22 Zk kk 23 2 333 2 当 k 3m m Z 时 3 为第一象限角 当 k 3m 1 m Z 时 3 为第三象限角 当 k 3m 2 m Z 时 3 为第四象限角 故 3 为第一 三 四象限角 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法二 把各象限均分 3等份 再从 x 轴的正向的上方起 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头依次将各区域标上 I 并 依次循环一周 则 原来是第 象限的符号所表示的区域即为 3 的终边所在的区域 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由图可知 3 是第一 三 四象限角 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 小结 已知角 的范围或所在的象限 求 n 所在的象限是常考题之一 一般解法有直接法和几何 法 其中几何法具体操作如下 把各象限均分 n 等份 再从 x 轴的正向的上方起 依次将各区域标上 I 并循环一周 则 原来是第几象限的符号所表示的区域即为 n n N 的终边所在的区域 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 2 扇形 弧度 弧长 面积问题扇形 弧度 弧长 面积问题 例 3 一个半径为r的扇形 若它的周长等于弧所在的半圆的长 则扇形的圆心角是多少弧度 多 少度 扇形的面积是多少 解 设扇形的圆心角是rad 因为扇形的弧长 r 5 所以扇形的周长是 rr 2 依题意知 rrr 2 解得rad2 转化为角度度制为 rad2 180 2 1965 它的面积为 22 2 2 1 2 1 rrS 3 3 根据定义求三角函数值根据定义求三角函数值 例 4 已知角 的终边过点 2 0 aa a 求 的六个三角函数值 解 因为过点 2 0 aa a 所以5 ra 2xa ya 当 222 5 0sin 55 5 yaa a raa 时 5 cos 55 xaa ra 15 tan2 cot sec5 csc 22 当 222 5 0sin 55 5 yaa a raa 时 5 cos 55 xaa ra 15 tan2 cot sec5 csc 22 4 4 根据三角函数值的正负判断角所在的象限根据三角函数值的正负判断角所在的象限 例 5 若 sin cos 0 试确定 所在的象限 分析一 首先确定 sin 与 cos 的符号 再判断 所在的象限 解析一 由 sin cos 0 知 0cos 0sin 2 0cos 0sin 1 或 由 1 知 在第一象限 由 2 知 在第三象限 所以 在第一或第三象限 分析二 先化简关系式再确定 的范围 解析二 由 sin cos 0 有 2sin 2 1 0 即 sin2 0 所以 Zkkk 222 Zkkk 2 当 k 2n n Z 时 为第一象限 当 k 2n 1 n Z 时 为第三象限 故 为第一或第三象限 6 分析三 因判断 所在的象限 故本题可以用特殊值 各个象限各取一个 来判断 解析三 若令 6 11 6 7 6 5 6 代入 sin cos 0 可以验证知 只有 6 7 6 满足条件 所以 为第一或第三象限 5 5 运用诱导公式化简运用诱导公式化简 例 6 化简 1 sin 180 sin tan 360 tan 180 cos cos 180 2 sin120cos330sin 690 cos 660 tan675cot765 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 1 原式 sinsintantan 1 tancoscostan 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 原式sin 18060 cos 36030 sin 720690 cos 720660 tan 675720 cot 765720 sin60 cos30sin30 cos60tan 45 cot45 3311 tan451 2222 31 1 11 44 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例 7 化简 sin sin sin cos nn nZ nn 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 当2 nk kZ 时 原式 sin 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 cos kk kk 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当21 nkkZ 时 原式 sin 21 sin 21 2 sin 21 cos 21 cos kk kk 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 点评 关键抓住题中的整数n是表示 的整数倍与公式一中的整数k有区别 所以必须把n分成奇 数和偶数两种类型 分别加以讨论 6 6 运用同角三角函数的基本关系化简运用同角三角函数的基本关系化简 例 8 化简 2 1 sin 440 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 原式 22 1 sin 36080 1 sin 80 2 cos 80cos80 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 7 例 9 化简1 2sin40 cos40 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 原式 22 sin 40cos 402sin40 cos40 2 sin40cos40 cos40sin40 cos40sin40 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例 10 已知 tan3 求 2cos 3sin 4cos sin 2 的值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 tan3 原式 2cos3sin23tan 7 4cossin4tan 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 点评 第二步到第三步应用了 弦化切 的技巧 即分子 分母同除以一个不为零的cos 得到 一个只含tan 的教简单的三角函数式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例 11 已知2tan 求 1 sincos sincos 2 22 cos2cos sinsin 的值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头