构造函数法在导数中的巧妙应用

精品文档 1欢迎下载 构造函数法在抽象不等式中的构造函数法在抽象不等式中的 巧妙应用巧妙应用 构造函数是解决抽象不等式的基本方法 根据 题设的条件 并借助初等函数的导数公式和导数 的基本运算法则 相应地构造出辅助函数 通过 进一步研究辅助函数的有关性质 给予巧妙的解 答 本文从一到高考试题出发 追根溯源 研究并 揭示高考试题的本质 1 1 小荷才露尖尖角小荷才露尖尖角 真题真题 设函数是奇函数的导函 fx f x xR 数 当时 1 0f 0 x 则使得成立的取 0 xfxf x 0f x x 值范围 A 1 0 1 B 1 0 1 C 1 1 0 D 0 1 1 解析 解析 设 f x F x x 则 2 xfxf x F x x 因为时 所以0 x 0 xfxf x 即当时 单调递减 0F x 0 x F x 又因为为奇函数 且 所以 f x 1 0f 为偶函数 且 f x F x x 1 1 0FF 则当时 单调递增 0 x F x 当时 1 x 0F x 0f x 当时 0 1 x 0F x 0f x 所以成立的取值范围 0f x x 即答案为 A 1 0 1 上述题为 2015 年课标全国 选择题第 12 题 创新有难度 丰富有内涵 此其题表面看上 不 知道如何入手 解决问题 因为这是一道没有具 体函数表达式的不等式试题 且不等式中含有 和 更是难上加难 从试题的解析可 fx f x 以看出 巧妙地构造出了函数 通过分析 F x 的单调性和奇偶性 解答问题 解题突破口 F x 不易寻找 给人一种 旧时茅店社林边 路转溪桥 忽见 的感觉 对题的解析过程进行回顾 本题是如何构造出 从而给出极其巧妙的解答 为了 f x F x x 寻求问题的本质 这里对以下例题进行分析 2 2 千树万树梨花开千树万树梨花开 例例 1 1 已知函数的图像关于轴对称 且当 f xy 时 成立 若 0 x 0f xxfx 0 20 2 2 2 af log 3 log 3 bf 则的大小关系 33 log 9 log 9 bf a b c A bac B cab C cba D abc 解析 解析 设 则 F xxf x F xf xxfx 因为时 所以0 x 0f xxfx 则当时 单调递减 0F x 0 x F x 又因为函数的图像关于轴对称 所以 f xy 为奇函数 当时 单调递减 f x0 x F x 又因为 0 2 122 则 即答0log 31 3 log 92 bac 案为 A 例例 2 2 已知函数满足 f x 2 0f xfx 那么系列不等式成立的是 A 0 1 f f e B 0 2 f f e C 1 2 fe f D 2 0 4 fe f 解析 解析 设 1 2 2 x F xef x 则 111 222 1 2 2 2 xxx F xef xefxef xfx 因为 所以 则 2 0f xfx 0F x 在定义域上单调递增 所以 F x 1 0 FF 则 即答案为 A 0 1 f f e 例例 3 3 已知为定义在上的可导函数 f x 且对于恒成立且为自然对 f xfx xR e 数的底 则 A 2012 1 0 2012 0 fe ffef 精品文档 2欢迎下载 B 2012 1 0 2012 0 fe ffef C 2012 1 0 2012 0 fe ffef D 2012 1 0 2012 0 fe ffef 解析 解析 设 x f x F x e 则 22 xxx xx fx ef x efxf x e F x ee 由 得 则 f xfx 0f xfx 在定义域上单调递减 所以 0F x F x 1 0 FF 2012 0 FF 即答案为 A 例例 4 4 定义在上的函数 是它的 0 2 f x fx 导函数 且恒有成立 则 tanf xfxx A 3 2 43 ff B 1 2 sin1 6 ff C 2 64 ff D 3 63 ff 解析 解析 因为 所以 0 2 x sin0 x cos0 由 tanf xfxx 得 cos sin0f xxfxx 设 sin f x F x x 则 可得 2 sin cos sin fxxf xx F x x 0F x 则在定义域上单调递减 F x 所以 43 FF 则 即答案为 A 3 2 43 ff 评注 爱因斯坦赞叹 数学美 本质上终究 是简单性 那又如何构造出函数 将问题简单 化 这在数学上是一个值得深究的问题 仔细的观察和思考例 1 和例 2 的解法 它们有 一个共同点 采用导数的积运算法则 即 例 3 和例 f x g xfx g xg x f x 4 的解法 它们也有一个共同点 采用导数的商运 算法则 即 由 2 f xfx g xg x f x g xgx 此可见 对于含有和的不等式 将不 f x fx 等式的右边化 0 若左边是和 x f x 相加得形式 其中和常见的 x fx x x 变量或常量 此时用导数的积运算法则 若左边 是和相减得形式 此时用导 x f x x fx 数的商运算法则 当然 这只是做题的起初思想 但是要做出试题 还远远不行 而问题的关键在 构造函数 波利亚 观察可能导致发现 观察将揭示某 种规则 模式或定律 根据我们所学习的知识 通过观察 认识数学的本质特点 灵活的运用所 学知识和技巧进行求解 从而将抽象复杂的问题 转化为具体简单的问题 使解法顺利的完成 以 下给出例 1 至例 4 的方法技巧 例 1 中 根据导数的积运 0f xxfx 算法则得 箭头指向方向为函数的导函数 后面不 做说明 01 f x x fx 可以看出的导数为 的导数为 f x fx x 1 从而构造出函数 F xxf x 例 2 中 根据导数的积运 2 0f xfx 算法则得 01 f x 2 fx 可以看出的导数为 2 的导数为 f x fx 1 显然不成立 则不等式两边定约去了一个不为 0 的变量 函数和本身的导函数有相同的变量 则 猜想到函数 但这里还要考虑系数 1 和 2 x ye 进一步猜想到复合函数 给上述不等式两 1 2x ye 边同乘以 则 1 2x e 0 1 2 x ef x 1 2 2 x efx 从而构造出函数 1 2 2 x F xef x 精品文档 3欢迎下载 例 3 中 根据导数的商运 0fxf x 算法则得 2 0 xx x efxef x e 可以看出的导数为 的导数为 f x fx x e 且分母为 从而构造出函数 x e 2x e x f x F x e 例 4 中 可得 且 cos sin0f xxfxx 根据导数的商运算法则得sin0 x 2 sin cos 0 sin fxxf xx x 可以看出的导数为 的导数 f x fx sin x 为 且分母为 从而构造出cosx 2 sin x sin f x F x x 对于以上 4 个例题的不等式可以总结为 和 这 0 x f xx fx 0 x f xx f x 里有所疑问 当不等式的右边不是 0 时 那上述 的构造函数方法显然不适用 下面给出一道试题 进行研究 3 3 青山座座皆巍峨青山座座皆巍峨 例例 6 6 是定义在上的函数 其导函数为 f xR 若 则 fx 1f xfx 0 2016f 不等式的解集 20151 x f xe 分析 分析 数学变式题的给出 都离开最初的原题 借助例 1 至例 6 构造函数的方法 找出函数与本 身导函数的关系 并根据 从 f xcfx 而可以解答试题 因为 1f xfx 所以 这里把 1 1 0f xf x 看做一个整体 再由例 4 知 1f x 设 1 x f x F x e 则 22 1 1 1 1 xxx xx f xef xef xf xe F x ee 得 则在上为单调递增 0F x F xR 因为 0 0 12015Ff 所以 20151 x f xe 1 2015 x f x e 的解集 20151 x f xe 0 实践表明 对于含有和 x f x 抽象函数的不等式 问题的本质在于巧 x fx 妙地构造出原函数 这是解决问题的最有力的武 器