中点常见的辅助线(八年级)

精品文档 11欢迎下载 中点常见的辅助线 中点经常所在的三角形 中点经常所在的三角形 全等三角形全等三角形 等腰三角形 三线合一等腰三角形 三线合一 直角三角形 斜边上的中线 直角三角形 斜边上的中线 三角形的中位线 三角形的中位线 一 一个中点常见的辅助线一 一个中点常见的辅助线 1 1 利用中点构建全等形 倍长中线至二倍 构建全等三角形 利用中点构建全等形 倍长中线至二倍 构建全等三角形 2 2 有中点联想直角三角形的斜边上的中线有中点联想直角三角形的斜边上的中线 3 3 由中点联想到等腰三角形的 由中点联想到等腰三角形的 三线合一三线合一 1 在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 若 AB 2 AC 4 则 AD 的取值范围是 2 已知 如图 ABC AB AC 中 D E 在 BC 上 且 DE EC 过 D 作 DF BA 交 AE 于点 F DF AC 求证 AE 平分 BAC 3 3 正方形 正方形 ABCDABCD 中 中 E E 为为 CDCD 的中点 的中点 BF AEBF AE 于于 F F 连接连接 CFCF 求证 求证 CF CB CF CB 4 4 如图 四边形 如图 四边形 ABCDABCD 中 中 DAB BCD 90 DAB BCD 90 M M 为为 BDBD 中点 中点 N N 为为 ACAC 中点 求证 中点 求证 MN ACMN AC 5 如图所示 在 ABC 中 C 2 B 点 D 是 BC 上一点 AD 5 且 AD AB 点 E 是 BD 的 中点 AC 6 5 则 AB 的长度为 精品文档 22欢迎下载 6 6 已知梯形 已知梯形 ABCDABCD 中 中 AD BC AD BC 且且 AD BC AB EAD BC AB E 为为 CDCD 的中点 连接的中点 连接 AEAE BEBE 求证求证 1 AE 1 AE 平分平分 BAD BAD 2 2 BEBE 平分平分 ABC ABC 3 AE BE 3 AE BE 练习 练习 1 1 已知正方形 已知正方形 ABCDABCD 中 中 E E 为为 CDCD 的中点 的中点 AEAE 平分平分 BAF BAF 求证 求证 AF BC CFAF BC CF 6 6 在在 ABC ABC AB ACAB AC 中 在 中 在 A A 的内部任做一条射线 过的内部任做一条射线 过 B B C C 两点做此射线两点做此射线 的垂线的垂线 BEBE 和和 CFCF 交此射线于 交此射线于 E E F F M M 为为 BCBC 的中点 求证 的中点 求证 MD MEMD ME 等腰直角等腰直角 ABC ABC 和和等腰直角等腰直角 DCE DCE 如图所示放置 如图所示放置 M M 为为 AEAE 的中点 连接的中点 连接 DMDM BMBM 1 1 求证 求证 BM CEBM CE 2 2 若若 AB aAB a DE 2aDE 2a 求 求 DMDM BMBM 的长 的长 A M E D C B A 精品文档 33欢迎下载 二 两个或多个中点常见的辅助线 二 两个或多个中点常见的辅助线 当图中有多个中点时 我们要细致分析图形特点 是否有直角三角形 等腰三角形 等边当图中有多个中点时 我们要细致分析图形特点 是否有直角三角形 等腰三角形 等边 三角形 有时 要利用中点的性质分析 同时还要考虑中位线 三角形 有时 要利用中点的性质分析 同时还要考虑中位线 一一 直接连接中点构建中位线 直接连接中点构建中位线 1 1 已知 在四边形 已知 在四边形 ABCDABCD 中 中 E E F F G G H H 分别是分别是 BCBC ADAD BDBD ACAC 的中点 的中点 求证 求证 EFEF 与与 GHGH 互相平分 互相平分 当四边形当四边形 ABCDABCD 的边满足的边满足 条件时 条件时 EF GHEF GH 二 取三角形一边的中点 构建中位线 二 取三角形一边的中点 构建中位线 2 2 如图 在四边形 如图 在四边形 ABCDABCD 中 对角线中 对角线 ACAC BDBD 交于点交于点 O O E E F F 分别是分别是 ABAB CDCD 的中点 且的中点 且 AC BDAC BD 求证 求证 OM ONOM ON 三 添加三角形的第三边 构建中位线 三 添加三角形的第三边 构建中位线 如图 已知如图 已知 E E F F 分别为分别为 ABC ABC 的边的边 ABAB BCBC 的中点 的中点 G G H H 为为 ACAC 边上的两个三等边上的两个三等 分点 连分点 连 EGEG FHFH 且延长后交于点 且延长后交于点 D D 求证 四边形求证 四边形 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形 四 添加三角形的另一边并取中点 构建中位线 四 添加三角形的另一边并取中点 构建中位线 在四边形在四边形 ABCDABCD 中 中 E E F F M M 分别是分别是 ABAB CDCD BDBD 的中点 的中点 AD BCAD BC 求证 求证 EFM FEM EFM FEM 如图 在四边形如图 在四边形 ABCDABCD 中 一组对边中 一组对边 AB CDAB CD 另一组对边 另一组对边 AD BCAD BC 分别取 分别取 ADAD BCBC 的中点的中点 M M N N 连接 连接 MNMN 则 则 ABAB 与与 MNMN 的关系是 的关系是 A A AB MNAB MN B B ABAB MNMN C C ABAB MNMN D D 上述三种情况均可能出现 上述三种情况均可能出现 已知 如图 在四边形已知 如图 在四边形 ABCDABCD 中 中 AD BCAD BC M M N N 分别是分别是 ABAB CDCD 的中点 的中点 ADAD BCBC 的延长线交的延长线交 MNMN 于于 E E F F 求证 求证 DEN F DEN F 精品文档 44欢迎下载 五 条件中无中点时 完善图形得中位线 五 条件中无中点时 完善图形得中位线 如图 如图 ABC ABC 边长分别为边长分别为 AB 14AB 14 BC 16BC 16 AC 26AC 26 P P 为为 A A 的平分线的平分线 ADAD 上一点 且上一点 且 BP ADBP AD M M 为为 BCBC 的中点 则的中点 则 PMPM 的值是的值是 1111 如图 自 如图 自 ABC ABC 顶点顶点 A A 向向 C C 与与 B B 的角平分线的角平分线 CECE BDBD 作垂线作垂线 AMAM ANAN 垂足分别是 垂足分别是 M M N N 已知 已知 ABC ABC 三边长为三边长为 a a b b c c 则 则 MN MN 在在 ABC ABC 中 中 B 2 A B 2 A CD ABCD AB 于于 D D E E 为为 ABAB 的中点的中点 求证 求证 DE DE BCBC 2 1 精品文档 55欢迎下载 多个中点多个中点 中点经常所在的三角形 中点经常所在的三角形 等腰三角形 三线合一等腰三角形 三线合一 直角三角形 斜边上的中线 直角三角形 斜边上的中线 三角形的中位线 三角形的中位线 已知如图 在已知如图 在 ABC ABC 中 中 ABAB BCBC CACA 的中点分别是的中点分别是 E E F F G G ADAD 是高 求证 是高 求证 EDG EFG EDG EFG 2015 2015 广东模拟 某数学活动小组在作三角形的拓展图形 研究其性质时 经历了如下过广东模拟 某数学活动小组在作三角形的拓展图形 研究其性质时 经历了如下过 程 程 1 1 如图 如图 1 1 所示在等腰所示在等腰 ABC ABC 中 中 AB ACAB AC 分别以 分别以 ABAB ACAC 为斜边 向为斜边 向 ABC ABC 的外侧作等腰的外侧作等腰 直角三角形 如图直角三角形 如图 1 1 所示 其中所示 其中 DF ABDF AB 于点于点 F F EG ACEG AC 于点于点 G G M M 是是 BCBC 的中点 连结的中点 连结 MDMD 和和 MEME 求证 求证 AF AG AF AG ABAB 2 1 MD ME MD ME 2 2 在任意 在任意 ABC ABC 中 仍分别以中 仍分别以 ABAB ACAC 为斜边 向为斜边 向 ABC ABC 的内侧作等腰直角三角形 如图的内侧作等腰直角三角形 如图 2 2 所示 所示 M M 是是 BCBC 的中点 连结的中点 连结 MDMD 和和 MEME 试判断 试判断 MDE MDE 的形状 的形状 直接写答案 不需要写证 直接写答案 不需要写证 明过程 明过程 3 3 在任意 在任意 ABC ABC 中 分别以中 分别以 ABAB ACAC 为斜边 向为斜边 向 ABC ABC 的外侧作等腰直角三角形 如图的外侧作等腰直角三角形 如图 3 3 所示 所示 M M 是是 BCBC 的中点 连结的中点 连结 MDMD 和和 MEME 则 则 MDMD 与与 MEME 有怎样的数量关系 有怎样的数量关系 6 6 ABC ABC 中中 CAB 120 CAB 120 分别以分别以 ABAB ACAC 为边分别向外做正为边分别向外做正 ABD ABD 和和 ACE ACE M M 为为 ADAD 的中的中 点 点 N N 为为 AEAE 的中点 的中点 P P 为为 BCBC 的中点 的中点 1 1 求证 求证 PM PNPM PN 2 2 试求试求 MPN MPN 的度数的度数 A BC D E M N P 精品文档 66欢迎下载 变式一 变式一 ABC ABC 中中 CAB 120 CAB 120 分别以分别以 ABAB ACAC 为边分别向外做等腰直角为边分别向外做等腰直角 ABD ABD 和等腰直和等腰直 角角 ACE ACE M M 为为 ADAD 的中点 的中点 N N 为为 AEAE 的中点 的中点 P P 为为 BCBC 的中点 的中点 求证 求证 PM PNPM PN 变式二 变式二 ABC ABC 中中 CAB 120 CAB 120 分别以分别以 ABAB ACAC 为边分别向外做等腰为边分别向外做等腰 ABD ABD 和等腰和等腰 ACEACE M M 为为 ADAD 的中点 的中点 N N 为为 AEAE 的中点 的中点 P P 为为 BCBC 的中点 的中点 求证 求证 PM PNPM PN 变式三 变式三 ABC ABC 中中 CAB 120 CAB 120 分别以分别以 ABAB ACAC 为边分别向外做等腰为边分别向外做等腰 ABD ABD 和等腰和等腰 ACEACE M M 为为 BDBD 的中点 的中点 N N 为为 CECE 的中点 的中点 P P 为为 BCBC 的中点 的中点 求证 求证 PM PNPM PN A BC D E M N P 2 如图 点 P 为 ABC 的边 BC 的