不等式的解法.doc

不等式解法举例055350 河北隆尧一中 焦景会不等式是高考数学命题的重点和热点，不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等。 高考对解不等式的要求较高，在解题过程中，若能以数学思想作指导来分析问题，往往能起到简化运算、提高解题效率的作用。试举例分析如下。一、应用函数思想解不等式函数思想是一种通过构造函数从而应用函数性质解题的思想方法，深刻理解函数的具体特性，是应用函数思想解题的基础，恰当的构造函数和妙用函数性质是解题的关键。不等式与函数密切相关，在解不等式时，用变化的观点，对变量在某一范围内取值，抽象为函数，从而利用函数图象和性质解决问题。 1、 构造一次函数或分式函数，利用其单调性例1、设不等式对满足|的一切m值都成立，求x取值范围。 解：构造一次函数，由，且恒有f(m)0 ，故f(m)图象表示一条线段，这条线段全在横轴下方，因此有，解之得 。评析：本题是一个关于x的二次不等式，若将主元看作m，则变为关于m的一次函数，从而使问题变为一次不等式。2、 构造二次函数，利用判别式例2、求证 。证明 构造函数 ,由 恒成立。故,即当且仅当时， 等号成立。评析：“三个二次”通过判别式联系在一起。构造二次函数，利用判别式证不等式是一种常用方法。二、应用分类讨论思想解不等式根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，逐类进行研究和解决，达到解决整个问题的目的，这一思想方法，称为“分类讨论的思想”。 分类讨论本质上是“化整为零，积零为整”的解题策略。例3、解关于x的不等式1(a1)。 解: 原不等式可化为0，即(a1)x+(2a)(x2)0，当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解。(1)若2，即0a1时，原不等式无解；(2)若2，即a0或a1时，又a1。于是a1时, 原不等式的解为(，)(2，+)；当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解。(3)若a0，则,故解集为(, 2)；(4)若0a1，则,故解集为(2, )。综上所述, 当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2）。例4、解关于x的方程。解：令，则原不等式变为 即。（1）当时，；（2）当时，。评析：本题通过整体换元，将含参不等式转化为不含参不等式问题，起到达到简化问题之的目的。找到分类类讨论的标准是求解本题的关键，适时的进行分类可简化解题过程。 三、应用转化与化归思想解不等式转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。解不等式对学生的运算化简能力、等价转化能力有较高的要求，常需把不等式等价地转化为易解的不等式。 例5、 已知不等式的解集为, 解不等式。解: 不等式的解集为，故不等式化为，又，不等式的解集为评析：: 解不等式的常规思路是确定系数a,b,c,但由条件无法确定a,b,c的值, 故可利用不等式的解集的端点是相应方程的根的结论, 将不等式条件转化为方程的条件。转化与化归是求解不等式最基本的方法。合理利用不等式的性质是化归的保证。四、应用数形结合思想解不等式数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。在解题过程中，巧妙的应用数形结合这一方法，可以使复杂抽象的问题，变的清晰明了。1、 解不等式图1例6、解不等式0。解；解：原不等式等价于（x2-3x+2）（x2-2x-3）0或x2-3x+2=0，即（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）0或x=1，x=2。 由标根法，如图1，可得原不等式的解集为x|-1x1，或2x3。2、求解含参不等式图2例7、解不等式。分析：由于左右两边有相同的结构，因此可以先换元化简，再数形结合求解。解：设，则原不等式，设，它表示平行直线。因为，在同一坐标系作出它们的图象。如图2知：。（2）当时，如图解方程，因此，从而。（3）当时，原不等式的解集为空集。综上所述： baoAB图3（1）当时不等式的解集为；（2）当时不等式的解集为（3）当时，不等式的解集为空集。评析：在不等式的求解中，换元法与数形结合是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较为简单的或基本不等式。通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系。对含参数的不等式，运用数形结合，还可以使得分类标准更加清晰。2、求解不等式最值范围问题例8、已知 , 求4a-2b的范围。解：在坐标平面aob上，画出直线a+b=2,a+b=4,a-b=1,a-b=2，如图3，则表示的平面区域为阴影部分。设函数z=4a-2b，则,易看出直线4a-2b=z, 过图形区域最左边的点时，; 过最右边的点C(3,1)时，例9、求使不等式成立的x的取值范围。图4解