辽宁省丹东市四校协作体2011届高三数学第二次联合考试 文

用心 爱心 专心 1 辽宁省丹东市四校协作体辽宁省丹东市四校协作体 20112011 届高三第二次联合考试数学试题 文届高三第二次联合考试数学试题 文 科 科 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 其中第 II 卷第 22 题 第 24 题为选考题 其它题为必考题 考生作答时 将答案答在答题卡上 在本试卷上答题 无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 选择 一个符合题目要求的选项 1 设集合 31 31 Mx xnnNy ynn ZZ 若 00 xM yN 则 00 x y与 M N的关系是 A Myx 00 B Nyx 00 C NMyx 00 D NMyx 00 2 已知 为互不重合的三个平面 命题 p若 则 命题 q若 上不共线的三点到 的距离相等 则 对以上两个命题 下列结论中正 确的是 A 命题 p且q 为真B 命题 p或q 为假 C 命题 p或q 为假D 命题 p 且q 为假 3 若关于 x 的方程 m m 1 log 2 1 在区间 0 1 上有解 则实数 m 的取值范围是 A 0 1 B 1 2 C 2 1 D 1 0 4 已知两个等差数列 n a和 n b的前n项和分别为 An和 n B 且 745 3 n n An Bn 则使得 n n a b 为整数的正偶数时 n的值是 A 1B 2C 5D 3 或 11 用心 爱心 专心 2 A C1 A1 B1 E C B D 5 已知函数 ln 2 xx ee f x 则 f x是 A 非奇非偶函数 且在 0 上单调递增 B 奇函数 且在 R 上单调递增 C 非奇非偶函数 且在 0 上单调递减 D 偶函数 且在 R 上单调递减 6 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 1 AC 2 BC 3 D E 分别是 AC1和 BB1的中点 则直 线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 A 6 B 4 C 3 D 2 7 设函数 3 0 00 2 3 0 xxfdxxfabaxxf则若 A 1 B 2C 3 D 2 8 已知等比数列 6 0 n a 的公比q 0且q1 又a 则 A 5748 aaaa B 5748 aaaa C 5748 aaaa D 5748 aaaa 9 已知数列 n a 满足 331 log1log nn aan N 且 246 9aaa 则 1579 3 log aaa 的值是 A 1 5 B 5 C 5 D 1 5 10 已知函数 21 x f x 对于满足 12 02xx 的任意 12 x x 给出下列结论 1 2121 0 xxf xf x 2 2112 x f xx f x 3 2121 f xf xxx 4 1212 22 f xf xxx f 其中正确结论的序号是 A 1 2 B 1 3 C 3 4 D 2 4 用心 爱心 专心 3 俯视图 正视图侧视图 1 11 定义在 R 上的函数 f x 当 12 01xx 时 12 f xf x 且满足下列条件 1 1 f 1 2 1 2 1 xfxf 5 2xfxf 则 2010 1 f等于 A 1 16 B 1 32 C 1 64 D 2010 1 12 设函数 0 1 0 xxf xxx xf 其中 x表示不超过x的最大整数 如 1 1 1 2 1 2 2 1 若kkxxf 有三个不同的根 则实数k的取值范围是 A 3 1 4 1 B 4 1 0 C 3 1 4 1 D 3 1 4 1 第 II 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 数列 3 331 log 2242 nnnnnn n anSSaba 的前项和为满足设 则数列 1 1 nn bb 的前 19 项和为 14 如图是一个简单的组合体的直观图与三视图 下面是一个棱长为 4 的正方体 正上面放 一个球 且球的一部分嵌入正方体中 则球的半径是 15 设x R 用 x表示不超过x的最大整数 例如 1 52 5 15 则下列对函数 f xx 所具有的性质说法正确的有 填上正确的编号 定义域是R 值域是Z 若 12 xx 则 12 xx nxnx 其中n Z 用心 爱心 专心 4 1xxx 1 xx x xx Z Z 16 给出下列四个命题 0 2 xxRx的否定是 0 2 xxRx 对于任意实数 x 有 0 0 0 xgxfxxgxgxfxf时且 则 0 xgxfx 时 函数 1 0 3 3 log aa x x xf a 是偶函数 若对 Rx 函数 f x 满足 2 xfxf 则 4 是该函数的一个周期 其中真 命题的个数为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 设数列 n a满足 11 1 2 nn n aaanN a I 证明 21 n an 对nN 恒成立 II 令 n n a bnN n 判断 n b与 1n b 的大小 并说明理由 18 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥PABC 中 PAAC PAAB PAAB 3 ABC 2 BCA 点D E分别在棱 PB PC上 且 DEBC I 求证 BC 平面PAC II 当D为PB的中点时 求AD与平面PAC所成的角的大小 III 是否存在点E使得二面角ADEP 为直二面角 并说明理由 用心 爱心 专心 5 19 本小题满分 12 分 已知函数 f x x ln x a a 是常数 I 求函数 f x 的单调区间 II 当 xfy 在 x 1 处取得极值时 若关于 x 的方程 f x 2x x2 b 在 2 1 2 上恰有两个不相等的实数根 求实数 b 的取值范围 III 求证 当2 nn N N时e n 222 1 1 3 1 1 2 1 1 20 本小题满分 12 分 如图 正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD 线段CD为圆O的弦 AE垂直于圆O所在平面 垂足E是圆O上异于C D的点 3AE 圆O的直径为 9 I 求证 平面ABCD 平面ADE II 求二面角DBCE 的平面角的正切值 用心 爱心 专心 6 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 ln2 0 2 f xxaxx a I 若函数 f x在定义域内单调递增 求a的取值范围 II 若 1 2 a 且关于 x 的方程 1 2 f xxb 在 1 4上恰有两个不相等的实数根 求 实数b的取值范围 III 设各项为正的数列 n a满足 11 1 ln2 nnn aaaanN 求证 12 n n a 请考生在 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记 分 做答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 AB 是 O 的直径 G 为 AB 延长线上的一点 GCD 是 O 的割线 过 点 G 作 AB 的垂线 交 AC 的延长线于点 E 交 AD 的延长线于点 F 过 G 作 O 的切 线 切点为 H 求证 I C D F E 四点共圆 II GH2 GE GF A B C D EFG H O 用心 爱心 专心 7 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴 重合 直线l的参数方程是 3 1 5 4 1 5 xt yt t为参数 曲线C的极坐标方程为 2sin 4 I 求曲线C的直角坐标方程 II 设直线l与曲线C相交于M N两点 求 M N 两点间的距离 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 I 已知 x y都是正实数 求证 3322 xyx yxy II 已知 a b c都是正实数 求证 333222 1 3 abcabcabc 用心 爱心 专心 8 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 本小题满分 12 分 解 1 证法一 当1n 时 1 22 1 1a 不等式成立 假设nk 时 21 k ak 成立 2 分 当1nk 时 22 1 22 11 2232 1 1 kk kk aakk aa 5 分 1nk 时 1 2 1 1 k ak 时成立 综上由数学归纳法可知 21 n an 对一切正整数成立 6 分 证法二 当1n 时 1 232 1 1a 结论成立 假设nk 时结论成立 即21 k ak 2 分 当1nk 时 由函数 1 1 f xxx x 的单增性和归纳假设有 1 11 21 21 kk k aak ak 4 分 因此只需证 1 2123 21 kk k 而这等价于 2 11 21 230 2121 kk kk 用心 爱心 专心 9 显然成立 所以当1nk 是 结论成立 综上由数学归纳法可知 21 n an 对一切正整数成立 6 分 2 解法一 11 2 11 1 1 21111 nn nn n bannn banannn 8 分 2 11 2 1 2 1 24 1 1 21 21 1 2 n n nnn nnn n 10 分 又显然0 n bnN 故 1nn bb 成立 12 分 解法二 1nn bb 1 1 nn aa nn 11 1 n n n a a ann 2 1 1 1 n n nnn a n na 1 1 21 1 n nnnn n na 由 1 的结论 8 分 1 1 21 1 1 n nnnn n nnn a 10 分 1 1 1 1 1 n n nn n nnn a 1 1 0 1 n nn nnn a 用心 爱心 专心 10 所以 1nn bb 12 分 解法三 22 22 1 1 1 nn nn aa bb nn 2 2 2 11 2 1 n n m a a nan 8 分 2 2 111121 2 2 1121 n m an nannnn 10 分 111 0 1 21nnn 故 22 1nn bb 因此 1nn bb 12 分 AE BC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 又 AE 平面 PAC PE 平面 PAC DE AE DE PE AEP 为二面角ADEP 的平面角 PA 底面 ABC PA AC 90PAC 在棱 PC 上存在一点 E 使得 AE PC 这时90AEP 故存在点 E 使得二面角ADEP 是直二面角 12 分 法 2 如图 以 A 为原煤点建立空间直角坐标系Axyz 设PAa 由已知可得 0 0 Pa 0 0 0 A 13 0 22 Baa 3 0 0 2 Ca 用心 爱心 专心 11 0 0 APa 1 0 0 2 BCa 0AP BC BC AP 又 90BCA BC AC BC 平面 PAC 4 分 19 本小题满分 12 分 解 I 由已知由函数 f x的定义域为xa ax ax ax xf 11 1 1 aa 由 0 x f得1 ax 由 0 x f得1 axa 所以函数 xf的减区间为 1 aa 增区间为 1a 4 分 II 由题意 得 01 f a 0 5 分 由 知 f x x lnx f x 2x x2 b 即 x lnx 2x x2 b x2 3x lnx b 0 设 xg x2 3x lnx b x 0 则 x g 2x 3 1 x 2x2 3x 1 x 2x 1 x 1 x 用心 爱心 专心 12 当 1 2 2 x 变化时 x g xg的变化情况如下表 III 由 I 和 II 可知当 1 0 2 ax 时 1 fxf 即1ln xx 当1 x时 1ln xx 10 分 令 2 1 1x n 2 nn N N 则 22 11 1ln nn 所以当2 nn N N时 222222 1 3 1 2 11 1ln 3 1 1ln 2 1 1ln nn 1 1 1 1 1 32 1 21 1 nnn 即1 1 1 3 1 1 2 1 1ln 222 n e n 222 1 1 3 1 1 2 1 1 12 分 20 本小题满分 12 分 解 I 证明 AE垂直于圆O所在平面 CD在圆O所在平面上 AE CD 用心 爱心 专心 13 在正方形ABCD中 CDAD ADAEA CD 平面ADE CD 平面ABCD 平面ABCD 平面ADE II 解法 1 CD 平面ADE DE 平面ADE CDDE CE为圆O的直径 即9CE 设正方形ABCD的边长为a 在Rt CDE中 2222 81DECECDa 在Rt ADE中 2222 9DEADAEa 由 22 819aa 解得 3 5a 22 6DEADAE 在Rt EFG中 3 5FGAB 2 tan 5 EF EGF FG 故二面角DBCE 的平面角的正切值为 2 5 解法 2 CD 平面ADE DE 平面ADE CDDE CE为圆O的直径 即9CE 用心 爱心 专心 14 设正方形ABCD的边长为a 在Rt CDE中 2222 81DECECDa 在Rt ADE中 2222 9DEADAEa 由 22 819aa 解得 3 5a 22 6DEADAE 21 本小题满分 12 分 解 1 2 21 0 axx fxx x 依题意 0fx 在0 x 时恒成立 即 2 210axx 在0 x 恒成立 用心 爱心 专心 15 则 2 2 1 21 1 1 x a xx 在0 x 恒成立 即 min 2 1 1 1 x a 0 x 当1 x时 2 1 1 1 x 取最小值1 a的取值范围是 1 4 3 设 ln1 1 h xxxx 则 1 10h x x h x 在 1 为减函数 且 max 1 0 h xh 故当1x 时有ln1xx 1 1 a 假设 1 k akN 则 1 ln21 kkk aaa 故 1 n anN 从而 1 ln221 nnnn aaaa 11 12 1 2 1 n nn aaa 即12n n a