导函数大题集锦

1 已知函数 3 11 ln 0 33 f xxaxaR a 1 当3a 时 求曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 2 求函数 f x的单调区间 3 若对任意的 1 x 都有 0f x 成立 求a的取值范围 解 解 1 当时 3 a 2 1 3 0 1 3 1 ln3 3 1 23 f x xxffxxxf 0 22 1 1 yxfxfy处的切线方程为 在点曲线 2 0 3 2 x x ax x a xxf 当恒成立 函数的递增区间为0 0 3 x ax xfa时 xf 0 当时 令0 a 0 33 舍 或解得axaxxf x 0 3 a 3 a 3 a x f 0 xf 减极小值增 0 33 aaxf递减区间为的递增区间为函数 3 对任意的 使成立 只需对任意的 1 x0 xf 1 x0 min xf 当时 在上是增函数 0 a xf 1 只需 而 满足题意 0 1 f0 3 1 1ln 3 1 1 af 0 a 当时 在上是增函数 10 a10 3 a xf 1 只需 而 0 1 f0 3 1 1ln 3 1 1 af 满足题意 10 a 当时 在上是减函数 上是增函数1 a1 3 a xf 1 3 a 3 a 只需即可 而 不满足题意 0 3 af0 1 3 faf 1 a 综上 1 0 0 a 2 已知函数 2 x f xx e 求的极小值和极大值 f x 当曲线的切线 的斜率为负数时 求 在轴上截距的取值范围 yf x llx 3 已知函数 2 2 ln 21 2 3 x f xaxxax aR 1 若 x 2 为的极值点 求实数 a 的值 f x 2 若在上为增函数 求实数 a 的取值范围 yf x 3 3 当时 方程有实根 求实数 b 的最大值 1 2 a 3 1 1 3 xb fx x 1 解 1 分 22 2 2 14 42 2 22 2121 xaxa xaa fxxxa axax 因为 x 2 为 f x 的极值点 所以 2 2 0 f 分 即 解得 a 0 3 2 20 41 a a a 分 又当 a 0 时 从而 x 2 为 f x 的极值点成立 4 2 fxx x 分 2 解 f x 在区间 3 上为增函数 在区间 3 上恒成立 5 22 2 14 42 0 21 xaxa xa fx ax 分 当 a 0 时 在 3 上恒成立 所以 f x 在 3 上为增函数 2 0fxx x 故 a 0 符合题意 6 分 当 a 0 时 由函数 f x 的定义域可知 必须有 2ax 1 0 对 x 3 恒成立 故只能 a 0 所以在区间 3 上恒成立 7 分 22 2 14 42 0axa xa 令 其对称轴为 8 分 22 2 14 42 g xaxa xa 1 1 4a a 0 从而 g x 0 在 3 上恒成立 只要 g 3 0 即可 1 11 4a 由 解得 9 分 2 3 4610gaa 313313 44 a a 0 综上所述 a 的取值范围为 0 10 分 313 0 4 a 313 4 3 解 时 方程可化为 1 2 a 3 1 1 3 xb fx x 2 ln 1 1 b xxx x 问题转化为在 0 上有解 11 2 ln bxxxx 分 令 则 12 分 2 lnh xxxx 21 1 1 12 xx h xx xx 当 0 x 1 时 h x 在 1 上为减函数 0h x 故 h x h 1 0 而 x 0 故 即实数 b 的最大值是 0 14 分 0bxh x 4 已知函数 其中 aaxx a xxf 23 2 1 3 1 Rx 0 a 1 求函数的单调区间 xf 2 若函数在区间内恰有两个零点 求 a 的取值范围 xf 0 2 3 当 a 1 时 设函数在区间上的最大值为 M t 最小值为 m t xf 3 tt 记 g t M t m t 求函数 g t 在区间上的最小值 1 3 解 1 x2 1 a x a x 1 x a 由 0 得 x f x f x1 1 x2 a 0 当 x 变化时 的变化情况如下表 x f xf x 1 1 1 a a a x f 0 0 xf 极大值 极小值 故函数的单调递增区间是 1 a 单调递减区间是 xf 1 a 2 由 1 知在区间 2 1 内单调递增 在区间 1 0 内单调递减 xf 从而函数在区间 2 0 内恰有两个零点当且仅当 解得 0 a xf 0 0 0 1 0 2 f f f 1 3 所以 a 的取值范围是 3 1 0 3 a 1 时 x3 x 1 由 1 知在 3 1 上单调递增 在 xf 1 3 xf 1 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 当 t 3 2 时 t 3 0 1 1 t t 3 在 t 1 上单调 xf 递增 在 1 t 3 上单调递减 因此在 t t 3 上的最大值 M t f 1 xf 而最小值 m t 为 f t 与 f t 3 中的较小者 由 f t 3 f t 3 t 1 t 2 1 3 知 当 t 3 2 时 f t f t 3 故 m t f t 所以 g t f 1 f t 而 f t 在 3 2 上单调递增 因此 f t f 2 所以 g t 在 3 2 上的最 5 3 小值为 g 2 1 3 3 5 4 3 当 t 2 1 时 t 3 1 2 且 1 1 t t 3 下面比较 f 1 f 1 f t f t 3 的大小 由在 2 1 1 2 上单调递增 有 xf f 2 f t f 1 f 1 f t 3 f 2 又由 f 1 f 2 f 1 f 2 5 3 1 3 从而 M t f 1 m t f 1 1 3 5 3 所以 g t M t m t 4 3 综上 函数 g t 在区间 3 1 上的最小值为 4 3 5 本小题满分 本小题满分 13 分 分 已知函数 x x a xxfln Ra 1 若有最值 求实数的取值范围 xfa 2 当时 若存在 使得曲线在与处的切2 a 1 x 2 x 12 xx xfy 1 xx 2 xx 线互相平行 求证 8 21 xx 解 1 2 2 2 1 1 x axx xx a xf 0 x 由知 a41 当时 在上递增 无最值 4 1 a0 x f xf 0 当时 的两根均非正 因此 在上递增 无最0 4 1 a0 2 axx xf 0 值 当时 有一正根 在上0 a0 2 axx 2 411a x xf 2 411 0 a 递减 在上递增 此时 有最小值 2 411 a xf 所以 实数的范围为 7 分a0 a 2 证明 依题意 1 11 1 1 1 1 212 2 2 1 2 1 xx a xx a xx a 由于 且 则有0 0 21 xx 21 xx 2 21 2121 21 21 2 22 xx xxxx xx xx a 13 分 2 21 21 2 2 xx xx 8 21 xx 考点 1 导数的计算 2 利用导数求曲线的切线方程 3 利用导数求函数的最值 4 基本 不等式 6 本小题满分 本小题满分 13 分 分 已知函数 为实常数 2 ln xxaxf a 1 若 求证 函数在上是增函数 2 a xf 1 2 求函数在上的最小值及相应的值 xf 1 ex 3 若存在 使得成立 求实数的取值范围 1 ex xfxa 2 a 解 解 1 当时 当 2 axxxfln2 2 1 x0 1 2 2 x x xf 故函数在上是增函数 xf 1 2 当 0 2 2 x x ax xf 1 ex 2 2 2 22 eaaax 若 在上非负 仅当 时 故函数在2 a x f 1 e2 a1 x0 x f xf 上是增函数 此时 1 e min xf1 1 f 若 当时 当时 此时22 2 ae 2 a x 0 x f 2 1 a x 0 x f 是减函数 当时 此时是增函数 故 xfex a 2 0 x f xf min xf 2 a f 2 2 ln 2 aaa 若 在上非正 仅当 x e 时 故函数 2 2ea x f 1 e 2 e2 a0 x f 在上是减函数 此时 xf 1 e min efxf 2 ea 综上可知 当时 的最小值为 1 相应的x值为 1 当时 2 a xf22 2 ae 的最小值为 相应的x值为 当时 的最小值为 xf 2 2 ln 2 aaa 2 a 2 2ea xf 相应的 x 值为 2 ea e 3 不等式 可化为 xaxf 2 xxxxa2 ln 2 且等号不能同时取 所以 即 因而 1 ex xx 1lnxx ln0ln xx xx xx a ln 2 2 1 ex 令 又 xx xx xg ln 2 2 1 ex 2 ln ln22 1 xx xxx xg 当时 1 ex 1ln 01 xx0ln22 xx 从而 仅当 x 1 时取等号 所以在上为增函数 0 x g xg 1 e 故的最小值为 所以 a 的取值范围是 xg1 1 g 1 7 本小题满分 本小题满分 13 分 分 已知函数 其中 mR 且 2 416 mx f x x 1 2 x m g x m0 判断函数的单调性 f x 当时 求函数在区间 2 2 上的最值 2m F xf xg x 设函数 当时 若对于任意的 2 总存在唯 2 2 g xx h x f xx 2m 1 x 一的 2 使得成立 试求 m 的取值范围 2 x 12 h xh x 解 依题意 2 2222 4 2 2 4 4 4 4 mxmxx fx xx 当时 0m 解得 2 x 2 解得或 0fx 0fx 2x 2x 所以在 2 2 上单调递增 在 2 2 上单调递减 f x 当时 解得 2 x 2 得或 0m 0fx 0fx 2x 2x 所以在 2 2 上单调递减 在 2 2 上单调递增 f x 当 2 x 2 时 在 2 2 上单调递减 2m 111 2 222 x mx mmx g x 由 知 在 2 2 上单调递减 f x 所以在 2 2 上单调递减 2 1 2 2416 mx mx F xf xg x x 2 max 2 422 1616 mm mm F xF 2 min 2 2 16 m m F xF 当 m 2 2 时 1 x 1 11 2 1 416 mx h xf x x 由 知在 2 上单调递减 从而 0 即 0 1 h x 1 h x 2 f 1 h x 16 m 当 m 2