SAT2_数学教学计划

SAT2 数学教学计划 第二课时 课程内容 简易逻辑 Simple logic 主要知识点 1 逻辑联结词 或 且 非 与集合中的并集 交集 补集有着密切的关 系 解题时注意类比 2 通常复合命题 或 的否定为 且 且 的否定为 或 pqp q pqp q 全为 的否定是 不全为 都是 的否定为 不都是 等等 3 有时一个命题的叙述方式比较的简略 此时应先分清条件和结论 该写成 若 则 pq 的形式 4 反证法中出现怎样的矛盾 要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设 定义 定理 公理 公式 法则等矛盾 甚至自相矛盾 典型例题 已知命题 方程有两个不相等的实负根 命题 方程p 2 10 xmx q 无实根 若或为真 且为假 求实数的取值范围 2 44 2 10 xmx pqpqm 分析 先分别求满足条件和的的取值范围 再利用复合命题的真假进行转化与讨pqm 论 解 由命题可以得到 p 2 40 0 m m 2m 由命题可以得到 q 2 4 2 160m 26m 或为真 且为假 有且仅有一个为真pqpq p q 当为真 为假时 pq 2 6 2 6 m m morm 当为假 为真时 pq 2 22 26 m m m 所以 的取值范围为或 m 6m m 22 m 第三课时至第五课时 课程内容 函数 function 主要知识点 1 函数的单调性 1 设那么 2121 xxbaxx 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是减函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 2 设函数在某个区间内可导 如果 则为增函数 如果 xfy 0 x f xf 则为减函数 0 x f xf 注 如果函数和都是减函数 则在公共定义域内 和函数也是减函 xf xg xgxf 数 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数 则复合函数 ufy xgu 是增函数 xgfy 2 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 反过来 如果一个函数的图象关 于原点对称 那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于 y 轴对称 那么这个函数 是偶函数 注 若函数是偶函数 则 若函数是偶函数 xfy axfaxf axfy 则 axfaxf 注 对于函数 恒成立 则函数的对称轴是函 xfy Rx xbfaxf xf 数 两个函数与 的图象关于直线对称 2 ba x axfy xbfy 2 ba x 注 若 则函数的图象关于点对称 若 axfxf xfy 0 2 a 则函数为周期为的周期函数 axfxf xfy a2 3 多项式函数的奇偶性 1 10 nn nn P xa xaxa 多项式函数是奇函数的偶次项 即奇数项 的系数全为零 P x P x 多项式函数是偶函数的奇次项 即偶数项 的系数全为零 P x P x 函数的图象的对称性 yf x 1 函数的图象关于直线对称 yf x xa f axf ax 2 faxf x 2 函数的图象关于直线对称 yf x 2 ab x f amxf bmx f abmxf mx 4 两个函数图象的对称性 1 函数与函数的图象关于直线 即轴 对称 yf x yfx 0 x y 2 函数与函数的图象关于直线对称 yf mxa yf bmx 2 ab x m 3 函数和的图象关于直线 y x 对称 xfy 1 xfy 若将函数的图象右移 上移个单位 得到函数的图象 若 xfy ab baxfy 将曲线的图象右移 上移个单位 得到曲线的图象 0 yxf ab 0 byaxf 5 互为反函数的两个函数的关系 abfbaf 1 若函数存在反函数 则其反函数为 并不是 bkxfy 1 1 bxf k y 而函数是的反函数 1 bkxfy 1 bkxfy 1 bxf k y 6 几个常见的函数方程 1 正比例函数 f xcx 1 f xyf xf yfc 2 指数函数 x f xa 1 0f xyf x f yfa 3 对数函数 logaf xx 1 0 1 f xyf xf yf aaa 4 幂函数 f xx 1 f xyf x f yf 5 余弦函数 正弦函数 cosf xx sing xx f xyf x f yg x g y 0 0 1 lim1 x g x f x 7 几个函数方程的周期 约定 a 0 1 则的周期 T a axfxf xf 2 0 axfxf 或 0 1 xf xf axf 或 1 f xa f x 0 f x 或 则的周期 T 2a 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x xf 3 则的周期 T 3a 0 1 1 xf axf xf xf 4 且 则 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 的周期 T 4a xf 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 则的周期 T 5a 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa xf 6 则的周期 T 6a axfxfaxf xf 8 分数指数幂 1 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 9 根式的性质 1 n n aa 2 当为奇数时 n nn aa 当为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 10 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 ap 表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指数幂都适用 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 对数的换底公式 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论 且 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 11 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 注 设函数 记 若的定义域为 0 log 2 acbxaxxf macb4 2 xf R 则 且 若的值域为 则 且 对于的情形 需要单独 0 a0 xf R0 a0 0 a 检验 12 对数换底不等式及其推论 若 则函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 1 当时 在和上为增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 2 当时 在和上为减函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 推论 设 且 则 1nm 0p 0a 1a 1 log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 第六课时至第九课时 课程内容 二次曲线方程 The two curve equation 主要知识点 1 圆锥曲线的两个定义 1 第一定义中要重视 括号 内的限制条件 椭圆中 与两个定点 F F 的距离的和 等于常数 且此常数一定要大于 当常数等于时 轨迹是线段 F F 当常数小于时 无轨迹 双曲线中 与两定点 F F 的距离的差的绝对值等于常数 且此常数一定要小于 F F 定义中的 绝对值 与 F F 不可忽视 若 F F 则轨迹是以 F F 为端点的两条射线 若 F F 则轨迹不存在 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 2 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线 且 点点距为分子 点线 距为分母 其商即是离心率 圆锥曲线的第二定义 给出了圆锥曲线上的点到焦点距 离与此点到相应准线距离间的关系 要善于运用第二定义对它们进行相互转化 Attention 1 在求解椭圆 双曲线问题时 首先要判断焦点位置 焦点 F F 的位 置 是椭圆 双曲线的定位条件 它决定椭圆 双曲线标准方程的类型 而方程中的两个 参数 确定椭圆 双曲线的形状和大小 是椭圆 双曲线的定形条件 在求解抛物线 问题时 首先要判断开口方向 2 在椭圆中 最大 在双曲线中 最大 4 圆锥曲线的几何性质 1 椭圆 以 为例 范围 焦点 两个焦点 对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 0 四个顶点 其中长轴长为 2 短轴长为 2 准线 两条准线 离心率 椭圆 越小 椭圆越圆 越大 椭圆越扁 2 2 双曲线 以 为例 范围 或 焦点 两个焦点 对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 0 两个顶点 其中实轴长为 2 虚轴长为 2 特 别地 当实轴和虚轴的长相等时 称为等轴双曲线 其方程可设为 准线 两条准线 离心率 双曲线 等轴双曲线 越小 开口越小 越大 开口越大 两 条渐近线 3 抛物线 以为例 范围 焦点 一个焦点 其中的几何意义是 焦点到准线的距离 对称性 一条对称轴 没有对称中心 只有一个顶点 0 0 准线 一条准线 离心率 抛物线 5 点和椭圆 的关系 1 点在椭圆 外 2 点在椭圆上 1 3 点在椭 圆内 6 直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 直线与椭圆相交 直线与双曲线相交 但直线与双曲线 相交不一定有 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有 一个交点 故是直线与双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 直线与抛物线相交 但直线与抛物线相交不一定有 当直线与抛物 线的对称轴平行时 直线与抛物线相交且只有一个交点 故也仅是直线与抛 物线相交的充分条件 但不是必要条件 Attention 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 相切和相交 如果直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交 但只有一个交点 如果直线与抛物 线的轴平行时 直线与抛物线相交 也只有一个交点 2 过双曲线 1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况 如下 P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和 分别与双曲线两支相切的两条切线 共四条 P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区 域内时 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线 共四条 P 在 两条渐近线上但非原点 只有两条 一条是与另一渐近线平行的直线 一条是切线 P 为原点时不存在这样的直线 2 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行 于对称轴的直线 7 焦半径 圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离 的计算方法 利用圆锥曲线的第二定义 转化到相应准线的距离 即焦半径 其中表示 P 到与 F 所对应的准线的距离 8 焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形 问题 常利用第一定义 和正弦 余弦定理求解 设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为 焦点的面积为 则在椭圆中 且 当即为短轴端点时 最大为 当即为短轴端点时 的最大值为 bc 对于双曲线的焦点三角形有 9 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 1 以过焦点的弦为直径的圆和 准线相切 2 设 AB 为焦点弦 M 为准线与 x 轴的交点 则 AMF BMF 3 设 AB 为焦点弦 A B 在准线上的射影分别为 A B 若 P 为 A B 的中点 则 PA PB 4 若 AO 的延长线交准线于 C 则 BC 平行于 x 轴 反之 若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线 于 C 点 则 A O C 三点共线 10 弦长公式 若直线与圆锥曲线相交于两点 A B 且分别为 A B 的横 坐标 则 若分别为 A B 的纵坐标 则 若弦 AB 所在直线方程设为 则 特 别地 焦点弦 过焦点的弦 焦点弦的弦长的计算 一般不用弦长公式计算 而是将焦 点弦转化为两条焦半径之和后 利用第二定义求解 11 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理 或 点差法 求解 在椭 圆中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 在双曲线 中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 在抛物线 中 以为中点的弦所在直线的斜率 k Attention 因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 故在求解有关弦长 对 称问题时 务必别忘了检验 12 重要结论 1 双曲线的渐近线方程为 2 以为渐近线 即与双曲线共渐近线 的双曲线方程为 为参数 0 如与双曲线有共同的渐近线 且过点的双曲线方程为 答 3 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 4 椭圆 双曲线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 为 焦准距 焦点到 相应准线的距离 为 抛物线的通径为 焦准距为 5 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的弦 6 若抛物线的焦点弦为 AB 则 7 若 OA OB 是过抛物线顶点 O 的两条互相垂直的弦 则直线 AB 恒经过定点 第十课时 课程内容 数列 主要知识点 等差数列 1 证明方法 递推关系 定义 1 Nnddaa nn 为常数 等差中项法 11 2 nnn aaa 1 n 判断方法 通项公式 qpndnaan 1 1 其中 p q 为常数 前n项和 B Bn nA An n 2 2 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 A B 为常数 2 等差中项 bAa 成等差数列 A 称为ba与的等差中项 其中ba与为任意实数 A 存在且唯一 2 ba AbaA 的等差中项与为即 3 等差数列性质 1 任两项关系 nm aa mn aa d nmmn 其中nm 2 任两项关系 dmnaa mn 其中nm 3 是递增数列 数列 a 0d n 是递减数列 数列 a 0d n 是常数列数列 a 0d n 4 两和式项数相同 下标和相等 则两式相等 如 11 2 nnn aaa 其中 n 1 nnn aaa 2 knknn aaa 2 其中 n k 0 nnn aaa 2 特别若 qpnm aaaaqpnm 则 kqpsnm aaaaaakqpsnm 则 5 nn ba 为项数相同的等差数列 或无穷数列 则 km a km a 2 km a 3 km a 4 成等差数列 其中km 为常数 kan nn bqap 为等差数列 其中qpk 为常数 6 前n项和性质 成等差数列 232kkkkk SSSSS n Sn 是等差数列 nn ba 为项数相同的等差数列 或无穷数列 其 前 n 项和分别是 n S n T 则 12 12 n n n n T S b a 12 12 12 12 m n m n Tn Sm b a 处理方法分别 设 n S BnAnTn 2 7 设数列 n a是等差数列 且公差为d 若项数为偶数 设共有2n项 则 S偶 S奇nd 1 n n Sa Sa 奇 偶 若项数为奇数 设共有21n 项 则 S奇 S偶 n aa 中 1 Sn Sn 奇 偶 4 最值问题 无穷等差数列中 1 1 0a 0d 时 n S有最大值 1 0a 0d 时 n S有最小值 n S最值的求法 若已知 n S 可用二次函数最值的求法 nN 若已 知 n a 则 n S 最值时n的值 nN 可如下确定 1 0 0 n n a a 或 1 0 0 n n a a 2 1 0a 0d 时 n S有最小值 且为 1 S 1 0a 0d 时 n S有最大值 且 为 1 S 注 对于一般数列求最大项 最小项问题可以利用函数的单调性 如 数列 5 4 1 a n n an通项是 求其最大或最小项 或采用 00 0 1 或 nn aa 11 1 1 或 n n a a 期中0 n a 的方法 判断数列项的变化规律来完成 如 数列 n n na 11 10 1 a n 通项是 求其最大或最小项 等比数列 1 证明方法 递推关系 定义 1 Nnqqaa nn 为常数 等比中项法 11 2 nnn aaa 0 1 n an 判断方法 通项公式 nnn n qAq q a qaa 1 1 1 其中 A q 为等于 0 的常数 前n项和 n n n n q q a q a q qa q qaa S 111 1 1 1111 n q A A A A A 为常数 且 1 0 0 qqA 注 1 等比数列中0 n a 0 q 且相间项符号相同 2 既是等差数列又是等比数列的数列一定是非零常数列 前 n 项和 1 naSn 2 等比中项 bGa 成等比数列 G 称为ba与的等比中项 其中有且只有0 ab时 ba 存在等比中项 一般不唯一 存在互为相反数的两个数 abbaG 2 G的等比中项与为即 3 等比数列性质 1 任两项关系 m n mn a a q 其中nm 2 任两项关系 mn mn qaa 其中nm 3 是常数列 数列时 a 1q n 如数列 2 2 2 2 2 是摆动数列 数列时 a 0 n q如数列 1 2 4 8 16 是递减数列时 数列 a 10 0a n1 q 如数列 1 2 1 4 1 8 1 是递增数列时 数列 a 1 0a n1 q 如数列 1 2 4 8 是递增数列时 数列 a 10 0a n1 q 如数列 1 2 1 4 1 8 1 是递减数列时 数列 a 1 0a n1 q 如数列 1 2 4 8 4 两积式项数相同 下标和相等 则两式相等 如 11 2 nnn aaa 其中 n 1 nnn aaa 2 knknn aaa 2 其中 n k 0 nnn aaa 2 特别若 lpnm aaaalpnm 则 klpsnm aaaaaaklpsnm 则 5 nn ba 为项数相同的等比数列 或无穷数列 则 km a km a 2 km a 3 km a 4 成等比数列 其中km 为常数 lg n a 其中0 n a 为等差数列 n ak nn ba n a 1 n n b a n a n a 其中 0 n a 为等比数列 其中k为常数 6 前n项和性质 232kkkkk SSSSS 成等比数列 其中 k 为常 数且0 k S 7 k aaaA 21 kkk aaaB 221 32212kkk aaaC 则 A B C 成 等比数列 典型方法 1 累加法 迭加法 若已知数列 an 满足 n a a n1 n f 且 2 1 nfff 可 求 则可用该方法求数列的通项如 如 数列 1 1 2 1 a 11n anaa n nn 且满足 求该数列通项 2 累积法 迭乘法 若已知数列 an 满足 n a a n 1 n f 且 2 1 nfff 可求 则可用该方法求数列的通项 如 数列 2 1 2 a 1 1 n an a a n n n 满足 求该数列通项 3 迭代法 如 数列1 1 12 a 11n anaa nn 且满足 求 100 a 4 倒序相加法 如 数列 891 sin a 2 n nnan 通项公式 求该数列 前 89 项和 89 S 5 错位相减法 适合由项数相同的等差和等比数列对应项相乘得到的新数列求和问 题 如 数列 2 a n n n na 通项公式 求该数列前 n 项和 n S 6 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 如 数列 132 a n na n n 通项 求该数列前 n 项和 n S 7 拆 或裂 项相消法 把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程消去中 间项 只剩有限项再求和 一般规律有 n a为等差数列 其公差为 d 求数列 1 1 n a n a 的前 n 项和 提示 11 11 11 nnnn aadaa 如 数列 1 1 a n nn an通项 求该数列前 n 项和 n S 8 并项求和 把一个数列相邻几项依次组合构成特殊的数列 达到求和的目的 但 一般要注意讨论 如 数列n 1 a n n n a通项公式 求该数列前 n 项的 和 常见数列的前 n 项和 1 2 3 n 2 1 nn 12 22 32 n2 6 12 1 nnn 13 23 33 n3 2 2 1 nn 第十一课时 课程内容 极限 主要知识点 1 第一数学归纳法 证明当n取第一个 0 n时结论正确 假设当 kn 0 nkNk 时 结论正确 证明当1 kn时 结论成立 第二数学归纳法 设 nP是一个与正整数n有关的命题 如果 当 0 nn Nn0 时 nP成立 假设当kn 0 nkNk 时 nP成立 推得1 kn时 nP也成立 那么 根据 对一切自然数 0 nn 时 nP都成立 2 数列极限的表示方法 aan n lim 当 n时 aan 几个常用极限 CC n lim C为常数 0 1 lim是常数kNk nk n 对于任意实常数 当1 a时 0lim n n a 当1 a时 若 a 1 则1lim n n a 若1 a 则 n n n n a 1 limlim 不存在 当1 a时 n n a lim不存在 数列极限的四则运算法则 如果bbaa b n n n lim lim 那么 baba nn n lim baba nn n lim 0 lim b b a b a n n n 特别地 如果C是常数 那么 CaaCaC n nn n n limlim lim 数列极限的应用 求无穷数列的各项和 特别地 当1 q时 无穷等比数列的各项和为 1 1 1 q q a S 化循环小数为分数方法同上式 注 并不是每一个无穷数列都有极限 3 函数极限 当自变量x无限趋近于常数 0 x 但不等于 0 x 时 如果函数 xf无限趋进于一个常数a 就是说当x趋近于 0 x时 函数 xf的极限为a 记作axf xx lim 0 或当 0 xx 时 axf 注 当 0 xx 时 xf是否存在极限与 xf在 0 x处是否定义无关 因为 0 xx 并不要求 0 xx 当然 xf在 0 x是否有定义也与 xf在 0 x处是否存在极限无关 函数 xf在 0 x有定义是 lim 0 xf xx 存在的既不充分又不必要条件 如 11 11 xx xx xP在1 x处无定义 但 lim 1 xP x 存在 因为在1 x处左右极限均等于 零 函数极限的四则运算法则 如果bxgaxf xxxx lim lim 00 那么 baxgxf xx lim 0 baxgxf xx lim 0 0 lim 0 b b a xg xf xx 特别地 如果C是常数 那么 lim lim 00 xfCxfC xxxx n xx n xx xfxf lim lim 00 Nn 注 各个函数的极限都应存在 四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况 但不能推广到无限个情况 几个常用极限 0 1 lim xn 0lim x x a 0 a 1 0lim x x a a 1 1 sin lim 0 x x x 1 sin lim 0 x x x e x x x 1 1 lim ex x x 1 0 1 lim 71828183 2 e 4 函数的连续性 如果函数f x g x 在某一点 0 xx 连续 那么函数 0 xg xg xf xgxfxgxf在点 0 xx 处都连续 函数f x 在点 0 xx 处连续必须满足三个条件 函数f x 在点 0 xx 处有定义 lim 0 xf xx 存在 函数f x 在点 0 xx 处的极限 值等于该点的函数值 即 lim 0 0 xfxf xx 函数f x 在点 0 xx 处不连续 间断 的判定 如果函数f x 在点 0 xx 处有下列三种情况之一时 则称 0 x为函数f x 的不连续点 f x 在点 0 xx 处没有定义 即 0 xf不存在 lim 0 xf xx 不存在 lim 0 xf xx 存在 但 lim 0 0 xfxf xx 5 零点定理 介值定理 夹逼定理 零点定理 设函数 xf在闭区间 ba上连续 且0 bfaf 那么在开区间 ba内 至少有函数 xf的一个零点 即至少有一点 a b 使0 f 介值定理 设函数 xf在闭区间 ba上连续 且在这区间的端点取不同函数值 BbfAaf 那么对于BA 之间任意的一个数C 在开区间 ba内至少有一点 使得Cf a b 夹逼定理 设当 0 0 xx 时 有 xg xf xh 且Axhxg xxxx lim lim 00 则 必有 lim 0 Axf xx 注 0 xx 表示以 0 x为的极限 则 0 xx 就无限趋近于零 为最小整数 6 几个常用极限 1 0lim qqn n 0 0 lim a n an n ka a n n k n 1 0lim 为常数 0 ln lim n n n k n n k n 0 0 ln lim 为常数 第十二课时至第十四课时 三角关系与三角函数 1 与 0 360 终边相同的角的集合 角与角的终边重合 Zkk 360 终边在x轴上的角的集合 Zkk 180 终边在y轴上的角的集合 Zkk 90180 终边在坐标轴上的角的集合 Zkk 90 终边在y x轴上的角的集合 Zkk 45180 终边在轴上的角的集合 xy Zkk 45180 若角与角的终边关于x轴对称 则角与角的关系 k 360 若角与角的终边关于y轴对称 则角与角的关系 180360 k 若角与角的终边在一条直线上 则角与角的关系 k 180 角与角的终边互相垂直 则角与角的关系 90360 k 2 角度与弧度的互换关系 360 2 180 1 0 01745 1 57 30 57 18 注意 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零 弧度与角度互换公式 1rad 57 30 57 18 1 180 0 01745 rad 180 3 弧长公式 扇形面积公式 rl 2 11 22 slrr 扇形 4 三角函数 设是一个任意角 在的终边上任取 异 于原点的 一点 P x y P 与原点的距离为 r 则 y x SIN COS三角函数值大小关系图 sinx cosx 1 2 3 4表示第一 二 三 四象限一半所在区域 1 2 3 4 1 2 3 4 sinx sinx sinx cosxcosx cosx r o x y a的 的 的 P x y r y sin r x cos x y tan y x cot x r sec y r csc 5 三角函数在各象限的符号 一全二正弦 三切四余弦 oo o x y x y x y 6 三角函数线 正弦线 MP 余弦线 OM 正切线 AT 7 三角函数的定义域 三角函数 定义域 sinx xf Rxx cosx xf Rxx tanx xf ZkkxRxx 2 1 且 cotx xf ZkkxRxx 且 secx xf ZkkxRxx 2 1 且 cscx xf ZkkxRxx 且 8 同角三角函数的基本关系式 tan cos sin cot sin cos 1cottan 1sincsc 1cossec 1cossin 22 1tansec 22 1cotcsc 22 9 诱导公式 2 k 把的三角函数化为的三角函数 概括为 奇变偶不变 符号看象限 三角函数的公式 一 基本关系 公式组二 公式组三 xxk xxk xxk xxk cot 2cot tan 2tan cos 2cos sin 2sin xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin 公式组四 公式组五 公式组六 xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin xx xx xx xx cot 2cot tan 2tan cos 2cos sin 2sin xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin 公公式式组组一一 sinx cscx 1tanx x x cos sin sin2x cos2x 1 cosx secxx x x sin cos 1 tan2x sec2x tanx cotx 1 1 cot2x csc2x 1 T M A O P x y 二 角与角之间的互换 公式组一 公式组二 sinsincoscos cos cossin22sin sinsincoscos cos 2222 sin211cos2sincos2cos sincoscossin sin 2 tan1 tan2 2tan sincoscossin sin 2 cos1 2 sin tantan1 tantan tan 2 cos1 2 cos tantan1 tantan tan 公式组三 公式组四 公式组五 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 4 26 75cos15sin 4 26 15cos75sin 3275cot15tan 3215cot75tan 10 正弦 余弦 正切 余切函数的图象的性质 xAysin A 0 定义域 RRR 值域 1 1 1 1 RR AA 周期性 2 2 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 当非奇非偶 0 当奇函数 0 coscos 2 1 sinsin coscos 2 1 coscos sinsin 2 1 sincos sinsin 2 1 cossin 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan ZkkxRxx 2 1 且 ZkkxRxx 且 xycot xytan xycos xysin sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan 单调性 2 2 2 2 k k 上为增函 数 2 2 3 2 2 k k 上为减函 数 Zk 2 12 k k 上为增 函数 12 2 k k 上为减函 数 Zk kk 2 2 上为增函数 Zk 上为减函 1 kk 数 Zk 2 1 2 2 2 A k A k 上为增函数 2 3 2 2 2 A k A k 上为减函数 Zk 注意 与的单调性正好相反 与的单调性也同样相xysin xysin xycos xycos 反 一般地 若在上递增 减 则在上递减 增 xfy ba xfy ba 与的周期是 xysin xycos 或 的周期 sin xy cos xy0 2 T 的周期为 2 如图 翻折无效 2 tan x y 2 TT 的对称轴方程是 对称中心 sin xy 2 kxZk 0 k 的对称轴方程是 对称中心 cos xy kx Zk 0 2 1 k 的对称中心 tan xy 0 2 k xxyxy2cos 2cos 2cos 原点对称 当 tan 1tan 2 Zkk tan 1tan 2 Zkk 与是同一函数 而是偶函数 则xycos kxy2 2 sin xy cos 2 1 sin xkxxy 函数在上为增函数 只能在某个单调区间单调递增 若在整个定义xytan R 域 为增函数 同样也是错误的 xytan 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件 奇偶性的两个条件 一是 xf 定义域关于原点对称 奇偶都要 二是满足奇偶性条件 偶函数 奇函数 xfxf xfxf 奇偶性的单调性 奇同偶反 例如 是奇函数 是非奇非偶 xytan 3 1 tan xy 定义域不关于原点对称 奇函数特有性质 若的定义域 则一定有 的定义域 则无此x 0 xf 0 0 fx 0 性质 xysin 不是周期函数 为周期函数 xysin T 是周期函数 如图 为周期函数 xycos xycos T 的周期为 如图 并非所有周期函数都有最小正周期 例如 2 1 2cos xy Rkkxfxfy 5 有 a b babay cos sin sincos 22 yba 22 11 三角函数图象的作法 几何法 描点法及其特例 五点作图法 正 余弦曲线 三点二线作图法 正 余切 曲线 利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换 周期变换和相位变换等 函数 y Asin x 的振幅 A 周期 频率 相位初 2 T 1 2 f T x 相 即当 x 0 时的相位 当 A 0 0 时以上公式可去绝对值符号 由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变 纵坐标伸长 当 A 1 或缩短 当 0 A 1 到原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变 换 用 y A 替换 y 由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变 横坐标伸长 0 1 或缩短 1 到原来的倍 得到 y sin x 的图象 叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩 1 变换 用 x 替换 x 由 y sinx 的图象上所有的点向左 当 0 或向右 当 0 平行移动 个 单位 得到 y sin x 的图象 叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移 用 x 替换 x 由 y sinx 的图象上所有的点向上 当 b 0 或向下 当 b 0 平行移动 b 个单 位 得到 y sinx b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 用 y b 替换 y 由 y sinx 的图象利用图象变换作函数 y Asin x A 0 0 x R 的图象 要特别注意 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时 原图象延 x 轴量伸缩量 的区别 4 反三角函数 函数y sinx 的反函数叫做反正弦函数 记作y arcsinx 它的定义域是 22 x 1 1 值域是 22 函数y cosx x 0 的反应函数叫做反余弦函数 记作y arccosx 它的 定义域是 1 1 值域是 0 函数y tanx 的反函数叫做反正切函数 记作y arctanx 它的定义域 22 x 是 值域是 22 函数y ctgx x 0 的反函数叫做反余切函数 记作y arcctgx 它的定 义域是 值域是 0 5 一些重要结论 一 反三角函数 1 反三角函数 反正弦函数是奇函数 故 xyarcsin xxarcsin arcsin 一定要注明定义域 若 没有与一一对应 故无反函数 1 1 x xxyxysin 注 xx sin arcsin 1 1 x 2 2 arcsin x 反余弦函数非奇非偶 但有 xyarccos kxx2 arccos arccos 1 1 x 注 xx cos arccos 1 1 x 0arccos x 是偶函数 非奇非偶 而xysin 和xyarcsin 为奇函数 xycos xyarccos 反正切函数 定义域 值域 是奇函数 xyarctan 2 2 xyarctan xxarctan arctan x 注 xx tan arctan x 反余切函数 定义域 值域 是非奇非xarcycot 2 2 xarcycot 偶 kxarcxarc2 cot cot x 注 xxarc cotcot x 与互为奇函数 同理为奇而与xyarcsin 1arcsin xy xyarctan xyarccos 非奇非偶但满足xarcycot 1 1 2 cot cot 1 1 2arccos arccos xkxarcxarcxkxx 正弦 余弦 正切 余切函数的解集 的取值范围 解集 的取值范围 解集aa 的解集 的解集ax sinax cos 1 1 a a 1 1 a Zkakxx arcsin2 a Zkakxx arccos2 1 1 a Zkakxx k arcsin1 a Zkakxx arccos 的解集 的解集 ax tan Zkakxx arctan ax cot Zkakxx cotarc 二 三角恒等式 组一 组二 n k n n nk 1 2 sin2 sin 2 cos 8 cos 4 cos 2 cos 2 cos n k d ndxdn ndxdxxkdx 0 sin cos 1sin cos cos cos cos n k d ndxdn ndxdxxkdx 0 sin sin 1sin sin sin sin sin tantantantantantan1 tantantantantantan tan 组三 三角函数不等式 在上是减函数xsinx 2 0 tan xx x x xf sin 0 若 则 CBACxyBxzAyzzyxcos2cos2cos2 222 第十五课时 课程内容 复数 主要知识点 1 复数的定义 设 i 为方程 x2 1 的根 i 称为虚数单位 由 i 与实数进行 加 减 乘 除等运算 便产生形如 a bi a b R 的数 称为复数 所有复数构成的集 合称复数集 通常用 C 来表示 2 复数的几种形式 对任意复数 z a bi a b R a 称