高中数学竞赛讲义52030

第 0 页 目录目录 第一章第一章集合集合 2 2 第二章第二章函数函数 15 15 2 1 函数及其性质函数及其性质 15 15 2 2 二次函数二次函数 21 21 2 3 2 3 函数迭代函数迭代 28 28 2 4 抽象函数抽象函数 32 32 第三章第三章 数列数列 37 37 3 1 等差数列与等比数列等差数列与等比数列 37 37 3 2 递归数列通项公式的求法递归数列通项公式的求法 44 44 3 3 递推法解题递推法解题 48 48 第四章第四章 三角三角 平面向量平面向量 复数复数 51 51 第五章第五章 直线 圆 圆锥曲线直线 圆 圆锥曲线 60 60 第六章第六章 空间向量空间向量 简单几何体简单几何体 68 68 第七章第七章 二项式定理与多项式二项式定理与多项式 75 75 第八章第八章 联赛二试选讲联赛二试选讲 82 82 8 1 平几名定理 名题与竞赛题 82 82 8 2 数学归纳法 99 99 8 3 排序不等式 103 103 第 1 页 第一章第一章 集合集合 集合是高中数学中最原始 最基础的概念 也是高中数学的起始单元 是整个高中数学 的基础 它的基础性体现在 集合思想 集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数 数列 方程与不等式 立体几何与解析几何中都被广泛地使用 在高考试题和数学竞赛中 很 多问题可以用集合的语言加以叙述 集合不仅是中学数学的基础 也是支撑现代数学大厦的 基石之一 本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题 1 1 集合的概念与运算集合的概念与运算 基础知识基础知识 一 集合的有关概念一 集合的有关概念 1 集合 具有某些共同属性的对象的全体 称为集合 组成集合的对象叫做这个集合 的元素 2 集合中元素的三个特征 确定性 互异性 无序性 3 集合的分类 无限集 有限集 空集 4 集合间的关系 二 集合的运算二 集合的运算 1 交集 并集 补集和差集 差集 记 A B 是两个集合 则所有属于 A 且不属于 B 的元素构成的集合记作 BA 即且 AxBA Bx 2 集合的运算性质 1 幂等律 AAA AAA 2 交换律 ABBA ABBA 3 结合律 CBACBA CBACBA 4 分配律 CABACBA CABACBA 5 吸收律 AABA ABAA 6 对合律 AACC UU 7 摩根律 BCACBAC UUU BCACBAC UUU 8 CABACBA CABACBA 3 集合的相等 1 两个集合中元素相同 即两个集合中各元素对应相等 2 利用定义 证明两个集合互为子集 3 若用描述法表示集合 则两个集合的属性能够相互推出 互为充要条件 即等价 第 2 页 4 对于有限个元素的集合 则元素个数相等 各元素的和相等 各元素之积相等是两集 合相等的必要条件 典例精析典例精析 例 1 在集合中 任意取出一个子集 计算它的各元素之和 则所有子集的元素之 2 1 n 和是 分析 已知的所有的子集共有 n 2个 而对于 显然中 2 1 n 2 1 ni 2 1 n 包含 的子集与集合的子集个数相等 这就说明 在集合i 1 1 2 1 nii i 的所有子集中一共出现次 即对所有的 求和 可得 2 1 n 1 2 n i 2 1 1 n i n n iS 解 集合的所有子集的元素之和为 2 1 n 2 1 2 21 2 11 nn n nn 2 1 1 n nn 说明 本题的关键在于得出中包含 的子集与集合的子 2 1 n i 1 1 2 1 nii 集个数相等 这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛 例 2 已知集合且 求参数 034 023 222 aaxxxBxxxABA 的取值范围 a 分析 首先确定集合 A B 再利用的关系进行分类讨论 BA 解 由已知易求得 0 3 12 axaxxBxxA 当时 由知无解 0 a 3 axaxB BA 当时 显然无解 0 a B 当时 由解得0 a 3 axaxB BA 3 2 1 a 综上知 参数的取值范围是 a 3 2 1 说明 本题中 集合的定义是一个二次三项式 那么寻于集合 B 要分类讨论使其取值范围数 字化 才能通过条件求出参数的取值范围 例 3 已知 集合 若 RyRx 1 2 1 1 2 y y yBxxxxA 则的值是 BA 22 yx A 5 B 4 C 25 D 10 解 且及集合中元素的互异性知0 1 2 x xxx 1 2 01 2 xx 第 3 页 即 此时应有xxx 1 2 1 x 1 1 2 xxxx 而 从而在集合 B 中 Ry 2 1y y y 由 得BA 3 2 1 1 2 11 2 yx y x yxx 由 2 3 解得 代入 1 式知也满足 1 式 2 1 yx2 1 yx 5 21 2222 yx 说明 本题主要考查集合相等的的概念 如果两个集合中的元素个数相等 那么两个集合中对 应的元素应分别相等才能保证两个集合相等 而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关 键 例 4 已知集合 若 0 lg yxBxyyxA BA 求 的值 1 1 2 2 y x y x 1 2008 2008 y x 分析 从集合 A B 的关系入手 则易于解决 解 根据元素的互异性 由 B 知 BA 0 lg lg xyxyx yxxyxyx 0 0 yx 且 故只有 从而B 0 BA A 00 lg xy 1 xy 又由及 得A 1BA 1B 所以或 其中与元素的互异性矛盾 1 1 x xy 1 1 y xy 1 yx 所以代入得 1 yx 2 2 2 0 1 1 2 2 y x y x 1 2008 2008 y x 2 2 2 说明 本题是例 4 的拓展 也是考查集合相等的概念 所不同的是本题利用的是集合相等的必 要条件 即两个集合相等 则两个集合中 各元素之和 各元素之积及元素个数相等 这是解决 本题的关键 例 5 已知 A 为有限集 且 满足集合 A 中的所有元素之和与所有元素之积相等 NA 写出所有这样的集合 A 解 设集合 A 且 由 1 21 naaa n n aaa 21 1 n aaa 21 第 4 页 n aaa 21 得 即 Nnnan n na n aaa 21n aaa 21 1 nan 1 nn 或 事实上 当3 n时 有 2 n3 n 2 1 2 1 1 nnnnn 当时 而2 n1 2 2 1122121 aaaaaaa 2 11 22 naa 当时 3 n3 3 213321321 aaaaaaaaa 2 1 21 aa 由 解得 33 32aa 3 3 a 综上可知 3 2 1 A 说明 本题根据集合中元素之间的关系找到等式 从而求得集合 A 在解决问题时 应注意分 析题设条件中所给出的信息 根据条件建立方程或不等式进行求解 例 6 已知集合 若 求实数 02 023 22 aaxxxSxxxPPS 的取值组成的集合 A a 解 设 21 xxPaaxxxf 2 2 当 即时 满足 04 2 2 aa10 a SPS 当 即或时 04 2 2 aa0 a1 a 若 则 不满足 故舍去 0 a 0 SPS 若时 则 满足 1 a 1 SPS 当时 满足等价于方程的根介于 1 和 2 之间 04 2 2 aaPS 02 2 aaxx 即 034 01 21 10 0 2 0 1 2 2 2 1 0 a a a aa f f a 或 a 综合 得 即所求集合 A 10 a 10 aa 说明 先讨论特殊情形 S 再讨论一般情形 解决本题的关键在于对分类讨论 确定的 a 取值范围 本题可以利用数形结合的方法讨论 0 例 7 2005 年江苏预赛 已知平面上两个点集 R 22 1 2 Mx yxyxyx y R 若 则 的取值范围是 1 1 Nx yxayx y MN a 第 5 页 解 由题意知 是以原点为焦点 直线 M10 xy 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集 是以 为N 1 a 中心的正方形及其内部的点集 如图 考察 时 的取值范围 MN a 令 代入方程 1y 22 1 2 xyxy 得 解出得 所以 2 420 xx 26x 当 时 26116a MN 令 代入方程 得 解出得2y 22 1 2 xyxy 2 610 xx 所以 当 时 310 x 310a MN 因此 综合 与 可知 当 即 时 16310a 16 310 a 故填 MN 16 310 例 8 已知集合 其中 4321 aaaaA 2 4 2 3 2 2 2 1 aaaaB 4321 aaaa 若 且中的所有元素之和为 124 求Naaaa 4321 41 aaBA 10 41 aaBA 集合 A B 解 且 又 所以 4321 aaaa 41 aaBA 2 11 aa Na 1 1 1 a 又 可得 并且或10 41 aa9 4 a 4 2 2 aa 4 2 3 aa 若 即 则有解得或 舍 9 2 2 a3 2 a 12481931 2 33 aa5 3 a6 3 a 此时有 81 25 9 1 9 5 3 1 BA 若 即 此时应有 则中的所有元素之和为 100124 不合题意 9 2 3 a3 3 a2 2 aBA 综上可得 81 25 9 1 9 5 3 1 BA 说明 本题的难点在于依据已知条件推断集合 A B 中元素的特征 同时上述解答中使用发 分类讨论的思想 分类讨论是我们解决问题的基本手段之一 将问题分为多个部分 每一部分 的难度比整体都要低 这样就使问题变得简单明了 例 9 满足条件的函数形成了一个集合 M 其中 4 2121 xxxgxg xg 2 14 6 35 7 1 y x 1 2 3 1 2 3O 第 6 页 并且 求函数与集合 M 的关系 Rxx 21 1 2 2 2 1 xx 23 2 Rxxxxfy 分析 求函数集合 M 的关系 即求该函数是否属于集合 M 也就是判断23 2 xxxf 该函数是否满足集合 M 的属性 解 3 23 23 21212 2 21 2 121 xxxxxxxxxfxf 取时 6 5 6 4 21 xx 4 2 9 212121 xxxxxfxf 由此可见 Mxf 说明 本题中 M 是一个关于函数的集合 判断一个函数是否属于 M 只要找至一个或几 xf 个特殊的使得不符合 M 中的条件即可证明 i x i xf Mxf 例 10 对集合及每一个非空子集定义唯一 交替和 如下 把子集中的数 2008 2 1 按递减顺序排列 然后从最大数开始 交替地加减相继各数 如的 交替和 是 9 6 4 2 1 集合的 交替和 是 10 7 3 集合的 交替和 是 5 等等 612469 10 7 5 试求 A 的所有的 交替和 的总和 并针对于集合求出所有的 交替和 2 1 n 分析 集合 A 的非空子集共有个 显然 要想逐个计算 交替和 然后相加是不可能的 必122008 须分析 交替和 的特点 故可采用从一般到特殊的方法 如 1 2 3 4 的非空子集共有 15 个 共 交替和 分别为 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 2 1 1 3 3 1 1 4 4 1 2 3 3 2 2 4 4 2 3 4 4 3 1 2 3 3 2 1 1 2 4 4 2 1 1 3 4 4 3 1 2 3 4 4 3 2 1 2 3 4 4 3 2 1 从以上写出的 交替和 可以发现 除 4 以 外 可以把 1 2 3 4 的子集分为两类 一类中包含 4 另一类不包含 4 并且构成这样的对应 设 是 1 2 3 4 中一个不含有的子集 令与相对应 显然这两个集合的 交替和 的和 i A i A i A 4 为 4 由于这样的对应应有 7 对 再加上 4 的 交替和 为 4 即 1 2 3 4 的所有子集的 交替和 为 32 解 集合的子集中 除了集合 还有个非空子集 将其分为 2008 2 1 2008 222008 两类 第一类是含 2008 的子集 第二类是不含 2008 的子集 这两类所含的子集个数相同 因为 如果是第二类的 则必有是第一类的集合 如果是第一类中的集合 则中 i A 2008 i A j B j B 除 2008 外 还应用 1 2 2007 中的数做其元素 即中去掉 2008 后不是空集 且是第二类 j B 中的 于是把 成对的 集合的 交替和 求出来 都有 2008 从而可得 A 的所有子集的 交 替和 为 2008220082008 22 2 1 20072008 同样可以分析 因为个元素集合的子集总数为个 含 定义其 交替和 2 1 n n n 2 第 7 页 为 0 其中包括最大元素的子集有个 不包括的子集的个数也是个 将两类子集n 1 2 n n 1 2 n 一一对应 相对应的子集只差一个元素 设不含的子集 交替和 为 S 则对应的含子nnn 集的 交替和 为 两者相加和为 故所有子集的 交替和 为Sn n 2 1 n n 说明 本题中 退到最简 从特殊到一般的思想及分类讨论思想 对应思想都有所体现 这 种方法在数学竞赛中是常用的方法 在学习的过程中应注意强化 例 11 一支人数是 5 的倍数的且不少于 1000 人的游行队伍 若按每横排 4 人编队 最 后差 3 人 若按每横排 3 人编队 最后差 2 人 若按每横排 2 人编队 最后差 1 人 求这 支游行队伍的人数最少是多少 分析 已知游行队伍的总人数是 5 的倍数 那么可设总人数为 按每横排 4 人编队 最后n5 差 3 人 从它的反面去考虑 可理解为多 1 人 同样按 3 人 2 人编队都可理解为 多 1 人 显然问题转化为同余问题 被 4 3 2 除时都余地 即是 12 的倍数 再由总人数不n515 n 少于 1000 人的条件 即可求得问题的解 解 设游行队伍的总人数为 则由题意知分别被 4 3 2 除时均余 1 5 Nnnn5 即是 4 3 2 的公倍数 于是可令 由此可得 15 n 1215 Nmmn 要使游行队伍人数最少 则式 中的应为最少正整数且为 5 5 112 m nm112 m 的倍数 应为 2 于是可令 由此可得 25 Npqm 512 1 2 5 12 5 1 ppn25605 pn 所以 10002560 p 4 1 16 p 取代入 式 得17 p10452517605 n 故游行队伍的人数最少是 1045 人 说明 本题利用了补集思想进行求解 对于题目中含有 至少 至多 最少 不都 都 等 词语 可以根据补集思想方法 从词义气反面 反义词 考虑 对原命题做部分或全部的否定 用这种方法转化命题 常常能起到化繁为简 化难为易的作用 使之寻求到解题思想或方法 实现解题的目的 例 12 设且 15 都是 1 2 3 真子集 且nN nBA nAB 1 2 3 证明 或者中必有两个不同数的和为完全平方数 AB nAB 证明 由题设 1 2 3 的任何元素必属于且只属于它的真子集之一 nBA 假设结论不真 则存在如题设的 1 2 3 的真子集 使得无论是还nBA A 是中的任两个不同的数的和都不是完全平方数 B 不妨设 1 则 3 否则 1 3 与假设矛盾 所以 3 同样 6 所A A 2 2B B 第 8 页 以 6 这时 10 即 10 因 15 而 15 或者在中 或者在中 但当A ABnAB 15 时 因 1 1 15 矛盾 当 15 时 因 10 于是有 10 15 仍AA 2 4BB 2 5 然矛盾 因此假设不真 即结论成立 赛向点拨赛向点拨 1 高中数学的第一个内容就是集合 而集合又是数学的基础 因此 深刻理解集合的概念 熟 练地进行集合运算是非常重要的 由于本节中涉及的内容较多 所以抓好概念的理解和应用尤 其重要 2 集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容 一般而言 一是考查集合本身的知识 二是考 查集合语言和集合思想的应用 3 对于给定的集合 要正确理解其含义 弄清元素是什么 具有怎样的性质 这是解决集合问题 的前提 4 集合语言涉及数学的各个领域 所以在竞赛中 集合题是普遍而又基本的题型之一 针对练习针对练习 A 组组 1 2006 年江苏预赛 设在平面上 所围成图形的面积为 xOy 2 0 xy 10 x 3 1 则集合的交集所表示的图形面 1 xyyxM 1 2 xyyxNNM 积为 A B C D 3 1 3 2 1 3 4 2 2006 年陕西预赛 为实数 集合 M 表示把集合 M 中的元ba xxfaP a b 0 1 素映射到集合 P 中仍为 则的值等于 xxba A B 0 C 1 D 1 1 3 2004 年全国联赛 已知 M N 若对于所 32 22 yxyx bmxyyx 有的 均有则的取值范围是Rm NMb A B C D 2 6 2 6 2 6 2 6 3 32 3 32 3 32 3 32 4 2005 年全国联赛 记集合 6 5 4 3 2 1 0 T 4 3 2 1 7777 4 4 3 3 2 21 iTa aaaa M i 将 M 中的元素按从大到小的顺序排列 则第 2005 个数是 A B 432 7 3 7 6 7 5 7 5 432 7 2 7 6 7 5 7 5 C D 432 7 4 7 0 7 1 7 1 432 7 3 7 0 7 1 7 1 5 集合 A B 的并集 A B a1 a2 a3 当且仅当 A B 时 A B 与 B A 视为不同的对 则这 样的 A B 对的个数有 第 9 页 A 27 B 28 C 26 D 25 6 设 A n 100 n 600 n N 则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为 7 已知 若 2 430 Ax xxxR 12 20 2 7 50 x BxaxaxxR 且 且 则实数的取值范围是 AB a 8 设 M 1 2 3 1995 A 是 M 的子集且满足条件 当 x A 时 15xA 则 A 中元素的 个数最多是 9 2006 年集训试题 设 n 是正整数 集合 M 1 2 2n 求最小的正整数 k 使得对 于 M 的任何一个 k 元子集 其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 10 设 Aa a 22 xy x yZ 求证 21k AkZ 42 kAkZ 11 2006 年江苏 设集合 若 1 2 log32Axx 2 1 a Bx xa 求实数的取值范围 AB a 12 以某些整数为元素的集合具有下列性质 中的元素有正数 有负数 中的PPP 元素有奇数 有偶数 1 若 则 试判断实数 0 和 2 与集合 PxyPxyP 的关系 P B B 组组 1 设为满足下列条件的有理数的集合 若 则 SaSbSabS 对任一个有理数 三个关系 0 有且仅有一个成立 证Sab rrSrSr 明 是由全体正有理数组成的集合 S 2 为非空集合 对于 1 2 3 的任意一个排列 若 则 321 SSSkji ji SySx k Syx 1 证明 三个集合中至少有两个相等 2 三个集合中是否可能有两个集无公共元素 3 已知集合 问 1 1 1 22 yxyxCayxyxByaxyxA 1 当取何值时 为含有两个元素的集合 aCBA 2 当取何值时 为含有三个元素的集合 aCBA 4 已知 22 4470 Ax y xyxyx yR 10 Bx y xyx yR 请根据自己对点到直线的距离 两条异面直线的距离中 距离 的认识 给集合 A 与 B 的 距离定义 依据 中的定义求出与的距离 AB 第 10 页 5 设集合 不小于 的正整数 定义 上的函数如下 若 定义为不是 PPn nf 的约数的最小正整数 例如 记函数的值域为 证明 n5 12 2 7 fff 99 19MM 6 为了搞好学校的工作 全校各班级一共提了 P条建议 已知有些班级提出了相 NP 同的建议 且任何两个班级都至少有一条建议相同 但没有两个班提出全部相同的建议 求 证该校的班级数不多于个 1 2 P 参考答案参考答案 A 组 1 解 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称 由此的图形面积只NM NM 要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得 为此 只要考虑在第一象限的面积就可以了 由题 意可得 的图形在第一象限的面积为 A 因此的图形面积为 NM 6 1 3 1 2 1 NM 3 2 所以选 B 2 解 由 M P 从而 即 故从而选 C 1 0 a a b 0 1 ba 1 ba 3 解 相当于点 0 b 在椭圆上或它的内部MN 22 23xy 故选 A 2 266 1 322 b b 4 解 用表示 k 位 p 进制数 将集合 M 中的每个数乘以 得 pk aaa 21 4 7 32 12341234 7 777 1 2 3 4 1 2 3 4 ii MaaaaaT ia a a aaT i 中的最大数为 在十进制数中 从 2400 起从大到小顺序排列的第 M 107 2400 6666 2005 个数是 2400 2004 396 而将此数除以 便得 M 中的数 10 396 7 1104 4 7 故选 C 7 4 7 0 7 1 7 1 432 5 解 A 时 有 1 种可能 A 为一元集时 B 必须含有其余 2 元 共有 6 种可能 A 为 二元集时 B 必须含有另一元 共有 12 种可能 A 为三元集时 B 可为其任一子集 共 8 种 可能 故共有 1 6 12 8 27 个 从而选 A 6 解 被 7 除余 2 的数可写为 7k 2 由 100 7k 2 600 知 14 k 85 又若某个 k 使 7k 2 能被 57 整除 则可设 7k 2 57n 即 5725622 777 8 nn nn kn 即 n 2 应为 7 的倍数 设 n 7m 2 代入 得 k 57m 16 14 57m 16 85 m 0 1 于 是所求的个数为 85 14 1 2 70 解 依题意可得 设 13 Axx 1 2 x f xa 2 2 7 5g xxax 第 11 页 要使 只需 在 1 3 上的图象均在轴的下方 则 AB f x g xx 1 0f 3 0f 由此可解得结果 1 0g 3 0g 8 解 由于 1995 15 133 所以 只要 n 133 就有 15n 1995 故取出所有大于 133 而不 超过 1995 的整数 由于这时己取出了 15 9 135 15 133 1995 故 9 至 133 的整数都不 能再取 还可取 1 至 8 这 8 个数 即共取出 1995 133 8 1870 个数 这说明所求数 1870 另一方面 把 k 与 15k 配对 k 不是 15 的倍数 且 1 k 133 共得 133 8 125 对 每对数中至多能取 1 个数为 A 的元素 这说明所求数 1870 综上可知应填 1870 9 解 考虑 M 的 n 2 元子集 P n l n n 1 2n P 中任何 4 个不同元素之和不小 于 n 1 n n 1 n 2 4 n 2 所以 k n 3 将 M 的元配为 n 对 Bi i 2 n 1 i 1 i n 对 M 的任一 n 3 元子集 A 必有三对同属于 A i1 I 2 I 3两两不同 123 iii B BB 又将 M 的元配为 n 1 对 C I i 2n i 1 i n 1 对 M 的任一 n 3 元子集 A 必有 一对同属于 A 这一对必与中至少一个无公共元素 这 4 个元素互不相 4 i C 4 i C 123 iii B BB 同 且和为 2 n 1 2 n 4 n 1 最小的正整数 k n 310 10 解 且 k1k Z21k 22 1 kk 21k A 假设 则存在 使 即 42 kA kZ x yZ 42k 22 xy 2 21 xyxyk 由于与具有相同的奇偶性 所以 式左边有且仅有两种可能 奇数或 4 的xy xy 倍数 另一方面 式右边只能被 4 除余 2 的数 故 式不能成立 由此 42 kA kZ 11 解 13Axx 30Bx xaxa 当时 由得 0a 03Bxaxa AB 03a 当时 由得 0a 30Bx axa AB 1a 当时 与不符 0a 2 0Bx x AB 综上所述 1 00 3a 12 解 由 若 则 可知 若 则xyPxyPxP NkPkx 1 由 可设 且 0 0 则 xyPxyyxyxyN 故 由 0 xyyxPyxxyP 2 2 若 2 则中的负数全为偶数 不然的话 当 PPP12 kP 时 1 与 矛盾 于是 由 知中必有正奇数 设Nk 12 kk2PP 我们取适当正整数 使 12 2NnmPnm q 则负奇数 前后矛盾12 2 nmqPnqm 12 2 B 组 第 12 页 1 证明 设任意的 0 由 知 或 之一成立 再由 若rQrrSrS 则 若 则 总之 rSSr 2 rSSrrr 2 Sr 2 取 1 则 1 再由 2 1 1 3 1 2 可知全体正整数都属于 rSSSS 设 由 又由前证知 所以 因此 含有全Sqp Spq S q 2 1 2 1 q pq q p SS 体正有理数 再由 知 0 及全体负有理数不属于 即是由全体正有理数组成的集合 SS 2 证明 1 若 则 所以每个集合中 ji SySx ik SxyxySxy 均有非负元素 当三个集合中的元素都为零时 命题显然成立 否则 设中的最小正元素为 不妨设 设为中最小的非负元素 321 SSSa 1 Sa b 32 S S 不妨设则 2 Sb ba 3 S 若 0 则 0 与的取法矛盾 所以 0 bbabbb 任取因 0 故 0 所以 同理 1 Sx 2 Sxx 3 S 1 S 3 S 3 S 1 S 所以 1 S 3 S 可能 例如 奇数 偶数 显然满足条件 和与都无公共元素 1 S 2 S 3 S 1 S 2 S 3 S 3 解 与分别为方程组CBA CBCA CA CB 1 1 22 yx yax 1 1 22 yx ayx 的解集 由 解得 0 1 由 解得yx 2 1 2 a a 2 2 1 1 a a 1 0 yx 2 2 1 1 a a 2 1 2 a a 1 使恰有两个元素的情况只有两种可能 CBA 1 1 1 0 1 2 2 2 2 a a a a 0 1 1 1 1 2 2 2 2 a a a a 由 解得 0 由 解得 1 aa 故 0 或 1 时 恰有两个元素 aCBA 第 13 页 2 使恰有三个元素的情况是 CBA 2 1 2 a a 2 2 1 1 a a 解得 故当时 恰有三个元素 21 a21 aCBA 4 解 1 设 即集合 A 中的点与集合 B 中的点的距离的最小值 12 12 min PA PB dP P 则称为 A 与 B 的距离 d 解法一 中点的集合为圆圆心为 令是A 22 2 2 1 xy 2 2 M P x y 双曲线上的任一点 则 2 MP 22 2 2 xy 22 4 8xyxy 8 2 24 xyxyxy 2 4 28xyxy 令 则 txy 2 MP 22 428 2 24ttt 当时 即有解 2t 10 2 xy xy min 2 6MP 2 61d 解法二 如图 是双曲线上的任一点 Q 为圆P 上任一点 圆心为 显然 22 2 2 1xy M 当三点共线时取等号 PMMP QQ PM Q min 1dMP 5 解 记时 由于 1 2 18 都是的约数 故此时从而 18 nn 19 nf 19M 若存在 使 则对于小于 99 的正整数 均有 从而 Pn 99 nfknk nn 11 9 但是 由整数理论中的性质 9 11 99 是的一个约数 这是一个矛盾 从而1 11 9 n 99M 6 证明 假设该校共有个班级 他们的建议分别组成集合 这些集合中m m AAA 21 没有两个相同 因为没有两个班级提出全部相同的建议 而任何两个集合都有相同的元素 因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集 这样在中至多有 A 所有 P m AAA 21 条建议所组成的集合 的个子集 所以 1 22 2 1 PP 2 1 P m 第 14 页 第二章 函数 2 1 函数及其性质函数及其性质 一 函数的基本性质 1 函数图像的对称性 1 奇函数与偶函数 奇函数图像关于坐标原点对称 对于任意 都有成立 xD fxf x 偶函数的图像关于轴对称 对于任意 都有成立 yxD fxf x 2 原函数与其反函数 原函数与其反函数的图像关于直线对称 若某一函数与其反函数表yx 示同一函数时 那么此函数的图像就关于直线对称 yx 3 若函数满足 则的图像就关于直线对称 若函数满足 2 f xfax f xxa 则的图像就关于点对称 2 f xfax f x 0 a 4 互对称知识 函数的图像关于直线对称 yf xayf ax 与xa 2 函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的 判断一个函数的单调性一般采用定义法 导 数法或借助其他函数结合单调性的性质 如复合函数的单调性 特别提示 函数的图像和单调区间 0 a yxa x 3 函数的周期性 对于函数 若存在一个非零常数 使得当为定义域中的每一个值时 都有 yf x Tx 成立 则称是周期函数 称为该函数的一个周期 若在所有的周期 f xTf x yf x T 中存在一个最小的正数 就称其为最小正周期 1 若是的周期 那么也是它的周期 T yf x nT nZ 2 若是周期为的函数 则是周期为的周期函数 yf x T 0 yf axba T a 3 若函数的图像关于直线对称 则是周期为的函数 yf x xaxb 和 yf x 2 ab 4 若函数满足 则是周期为的函数 yf x 0 f xaf xa yf x 2a 4 函数的最值 常规求法 配方法 判别式法 不等式法 换元法 构造法 5 Gauss 高斯 函数 对于任意实数 我们记不超过的最大整数为 通常称函数为取整函数 又称高斯xx x yx 函数 又记 则函数称为小数部分函数 它表示的是的小数部分 xxx yx x 高斯函数的常用性质 1 对任意 2 对任意 函数的值域为 1 1xRxxxx 均有xR yx 0 1 3 高斯函数是一个不减函数 即对于任意 121212 xxRxxxx 若则 第 15 页 4 若 后一个式子表明是周期为 1 的函数 nZ xRxnnxnxx 则有 yx 5 若 6 若 1x yRxyxyxy 则 nNxRnxn x 则 二 应用举例 二 应用举例 例 1 已知是一次函数 且 求的解析式 xf10231024 10 xxf xf 例 2 已知 2 1 2 1 1 2 2 1 ba k ffkk x fxfabba ax bx xf求若求且是常数 例 3 函数 求 1000 5 10003 nnff nn nf 84 f 函数迭代中的函数迭代中的 穿脱穿脱 技巧技巧 设函数y f x 并记fn x f f f fx 其中n是正整数 fn x 叫做函数f x 的n次迭代 函 数迭代是一种特殊的函数复合形式 在现代数学中占有很重要的地位 尤其是近年来在国内外 数学竞赛屡次出现 成为热点问题之一 以引起广在数学爱好者的关注 由f x 或fn x 的表达 式 穿上 或 脱去 n 1个函数符号得出fn x 或f x 的函数迭代问题 这里我们对数学竞赛中 穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索 1 程序化穿脱 穿 脱 函数符号是一种有序的过程 由内至外一层层穿上f 或从外至内一层层脱 去f 往往是一种程序化的模式 例 已知f x 求fn x 2 1x x 2 实验法穿脱 许多情况下 求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作 还需要用敏锐的思维和眼光去 发现穿脱过程所蕴含的规律性 实验是发现的源泉 是发现规律的金钥匙 例函数定义在整数集上 且满足 f n n 3 n 1000 f f n 5 n 1000求f 84 例21 对任意的正整数k 令f1 k 定义为k的各位数字和的平方 对于n 2令fn k f1 fn 1 k 求f1988 11 第 16 页 3 周期性穿脱 在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性 利用周期性穿脱要能达 到进退自如 做到需穿插则穿 需脱则脱 从而优化解题过程 例定义域为正整数的函数 满足 f n n 3 n 1000 f f n 7 n 1000 试求f 90 练习 1 设n是自然数 f n 为n2 1 十进制 的数字之和 f1 n f n 求的f100 1990 值 2 已知f x 设f35 x f5 x 求f28 x 1 12 x x 例 4 求函数的值域 23 2 xxxy 02323 22 xyxxxxxy 两边平方得 从而且 2 32 2 yxy 2 3 y 32 2 2 y y x 由或y 2 2 3 10 32 23 0 32 2 22 y y yy y y yxy 任取y 2 由 易知x 2 于是 32 2 2 y y x023 2 xx 任取 同样由 易知x 1 2 3 1 y 32 2 2 y y x 于是 023 2 xx 因此 所求函数的值域为 2 2 3 1 例 5 1 设 x y 是实数 且满足 求 x y 的值 1 1 2004 1 1 1 2004 1 3 3 yy xx 2 若方程有唯一解 求 a0 sin cos2 22 axax 例 6 解方程 不等式 1 2 x 8 2007 x2007 2x 8 0 2 log 231 5 x x 第 17 页 3 2323 2038 415284xxxxx Ex1 求的图象与轴交点坐 22 31 9651 23 412131 yxxxxxx x 标 解 22 31 31 41 23 23 41 yxxxx 令 可知是奇函数 且严格单调 所以 2 41 f ttt f t 当时 31 23 yfxfx 0y 31 23 32 fxfxfx 所以 故 即图象和轴交点坐标为3132xx 4 5 x x 4 0 5 若函数为单调的奇函数 且 则 若遇两个式 f x 12 0f xf x 12 0 xx 子结构相同 不妨依此构造函数 若刚好函数能满足上述性质 则可解之 Ex2 设函数 则对任意实数 a b 是 1 log 2 2 3 xxxxf0 ba 的 0 bfaf A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 探求讨论函数的有关性质 历年来都是数学竞赛的命题热点之一 例如探求函数的周 期性 函数的不等式证明 以及解反函数的不等式等问题 而解决这类问题 的办法就是 要 穿脱 函数符号 f 下面我们从具体的例子谈一谈 穿脱 的技巧与方法 1 单调性穿脱法 对于特殊函数的单调性 我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数 f 进行 穿 脱 进而达到化简的目的 由此使问题获得解答 已知函数f x 在区间 上是增函数 a和b是实数 试证 证明命题 如果a b 0那么f a f b f a f b 判断 中的逆命题是否正确 并证明你的结论 2 反函数穿脱法 灵活自如地处理原函数f x 与反函数f 1 x 并能熟练地运用 f 1 f x x f f 1 x x进行穿脱函数符号 f 这是极为常用而又重要的方法 引理 若f x g x 互为反函数 且f a b f a f b 则g mn g m g n 例 已知函数f x 满足 f 1 函数的值域为 1 1 严格递减 f xy f x f y 2 1 试求 求证 不在f x 的定义域内 求不等式f 1 x f 1 的解集 4 1 x 1 1 2 1 第 18 页 3定义探求法 在求解有关函数方程的问题时 我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数 此时我们一 般采用周期函数的定义来求解 探求函数的有关性质 例 设a 0 f x 是定义在实数集上的一个实值函数 且对每一实数x 有 f x a 2 1 2 xfxf 证明 f x 是周期函数 对a 1 具体给出一个这样的非常数的函数f x 例 7 设 均为实数 试求当变化时 函数的最小1 a a sin1 sin4 sin a y 值 例 8 设是定义在 Z 上的一个实值函数 满足 f x f x 求证 是周期为 4 的周期函数 2 1 0 f xyf xyf x f y f f x 例 9 已知函数 f x 对任意实数 x 都有 f x m 求证 f x 是周期函数 x f1 x f1 三 练习三 练习 1 集合由满足如下条件的函数组成 当时 有 M f x 12 1 1 xx 对于两个函数 以下关系 1212 4f xf xxx 2 1 25 fxxx 2 fxx 中成立的是 12 A fM fM 12 B fM fM 12 C fM fM 12 D fM fM 第 19 页 2 设 记 若 则 x x xf 1 1 1 fxf x xffxf nn 1 xf 2006 AxB x 1 C x x 1 1 D 1 1 x x 3 若 log23 x log53 x log23 log53 则 y y A x y 0 B x y 0 C x y 0 D x y 0 4 定义在实数集上的函数 f x 对一切实数 x 都有 f x 1 f 2 x 成立 若 f x 0 仅有 101 个不同的实数根 那么所有实数根的和为 A 150 B C 152 D 2 303 2 305 5 已知 a b 实数 且 则的值是 4sin 3 xbxaxf5 10log lg 3 f 3lg lgf A B C 3 D 随 a b 取不同值而取不同值5 3 6 函数的奇偶性是 2 2 1lg 2 x x xf A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 不是奇函数又不是偶函数 7 已知函数在 1 2 上恒正 则实数 a 的取值范围是 2 1 log 2 xaxxf a A B C 8 5 2 1 2 3 2 3 8 5 2 1 D 2 1 8 函数的值域为 3123f xxx 3 1 2 1 3 C 1 D 1 2 2 AB 9 给定实数 定义为不大于 x 的最大整数 则下列结论中不正确的序号是 x x 0 1 xxxxf xxxf xxx 是周期函数 是偶函数 10 函数 则 10 10 3sin10 3 xxxxxf maxmin xfxf 11 实数 x y 满足 x2 2xsin xy 1 则 x2006 6sin5y 12 方程 ln x ln 2x 3x 0 的解集是 1 2 x14 2 x 第 20 页 13 已知 且 则 Rayx 4 4 0cossin4 02sin 3 3 ayyy axx 2cos yx 14 下列说法正确的是 1 函数与关于直线对称 xafy xafy ax 2 函数与关于 y 轴对称 xafy xafy 3 若函数满足 则关于直线对称 xf xaf xaf xfax 4 若函数满足 则关于 y 轴对称 xf xaf xaf xf 15 若函数的定义域为 R 且对于的任意值都有 f xx 2005 2004 2006 f xf xf x 则函数的周期为 f x 16 设方程的根为 方程的根为 则 03log3 xx 1 x033 x x 2 x 21 xx 17 函数 则 42 2 14min xxxxf max xf 18 设则 S 的最大值为 2 2 1 1 log 2 log log 8 xy xySyx 19 设函数 求函数的图象与轴2 1 12010 xfxfxfxfxxf 2 xfy x 所围成的封闭部分的面积 20 为何实数时 方程有四个互不相等的实数根 kkxx 32 2 21 1 若函数满足 求证的图像就关于直线对称 xafxaf f xxa 2 函数的图像关于某条垂直于 x 轴的直线对称 求实数 c 的cxxxxxf 234 42 值 22 已知 定义 1 2 1 1 2 2 1 0 2 1 xx xx xf Nnxfffxf n n 个 求 设 求证 中至少含有个元素 15 2 2001 f 1 0 15 xxxfxBB9 函数的定义域关于原点对称 但不包括数 对定义域中的任何实数 在定义域中 xf0 x 存在 使得 且满足以下三个条件 是定义域 21 x x 2121 xfxfxxx 21 x x 中的数 第 21 页 或 则 是 21 xfxf axx20 21 1 12 21 21 xfxf xfxf xxf 1 afa 一个正常数 当时 求证 是奇函数 ax20 0 xf xf 是周期函数 并求出其周期 在内为减函数 xf xf 4 0 a 2 2 二次函数二次函数 一 基础知识 1 二次函数的解析式 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 顶点为 2 f xa xhk h k 3 两根式 12 f xa xxxx 4 三点式 132312 321 313221231213 xxxxxxxxxxxx f xf xf xf x xxxxxxxxxxxx 2 二次函数的图像和性质 1 的图像是一条抛物线 顶点坐标是 对称轴方程为 2 0 f xaxbxc a 2 4 24 bacb aa 开口与有关 2 b x a a 2 单调性 当时 在上为减函数 在上为增函数 时相反 0a f x 2 b a 2 b a 0a 3 奇偶性 当时 为偶函数 若对恒成立 则为的0b f x f axf ax xR xa f x 对称轴 4 最值 当时 的最值为 当时 的最值可从xR f x 2 4 4 acb a 2 b xm nm n a f x 中选取 当时 的最值可从中选取 常依 2 b f mf nf a 2 b xm nm n a f x f mf n 轴与区间的位置分类讨论 m n 3 三个二次之间的关联及根的分布理论 二次方程的区间根问题 一般情况需要从三个方面考虑 判别式 区间端 2 0 0 f xaxbxca 点函数值的符号 对称轴与区间端点的关系 二 综合应用 例 1 已知 若时 恒成立 求的取值范围 2 3f xxaxa 2 2 x 0f x a 例 2 设满足条件 1 当时 2 2 0 f xaxbxc a xR 4 2 f xfxf xx 且 当 3 在 R 上的最小值为 0 求的解析式 求最大的 2 1 0 2 2 x xf x 时 f x f x 使得存在 只要就有 1 m m tR 1 xm f xtx 设实数 a b c 满足 a2 bc 8a 7 0 第 22 页 b2 c2 bc 6a 6 0 求 a 的取值范围 分析 如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题 转化为只含有a的不等式 是解决本题的关键 仔细分析观察方程组的特点 发现可以利用a来表示bc及b c 从而用韦达定理构造出a为变量的一元 二次方程 由 0建立a的不等式 解 由 得 bc a2 8a 7 由 得 b c 2 a2 2a 1 即b c a 1 由 得b c为方程x2 a 1 x a2 8a 7 0的两个实数根 由于b c R 所以 0即 a 1 2 4 a2 8a 7 0