第十四章一次函数

1 14 1 变量与函数变量与函数 14 1 114 1 1 变量变量 教学目标教学目标 1 1 知识与能力知识与能力 1 探索具体问题中的数量关系和变化规律 2 从具体的事例了解常量 变量的意义 3 结合实例 理解函数的概念以及自变量的意义 2 2 过程与方法过程与方法 在探究问题的过程中 体会从具体的事例中寻找常量 变量 判断两个变量之间是否 满足函数关系的过程 3 3 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 通过列举同学们身边的事例 激发同学们探究问题的兴趣 教学重点教学重点 1 探索具体问题中的数量关系和变化规律 2 从具体的事例了解常量 变量的意义 3 结合实例 理解函数的概念以及自变量的意义 教学难点教学难点 函数的概念的理解 教学方法教学方法 创设情境 主体探究 合作交流 应用提高 教学过程教学过程 一 设置问题情境 激发学生的学习兴趣和学习欲望一 设置问题情境 激发学生的学习兴趣和学习欲望 问题问题 大家都爱看侦探小说 柯南 吧 其中有这样一个故事 柯南到了一个杀人现场后 发现现场只留下一串脚印 但是柯南很快推断出了杀人嫌疑犯的身高 你知道他为什么如 此之快地推断出了嫌疑犯的身高吗 学生思考 脚的大小与身高有一定的关系 得出结论 人们的身高在一般情况下随着脚的大小的变化而变化 其实生活中还有很多类似的现象 二 探究具体问题的数量关系 感受变量和常量的含义二 探究具体问题的数量关系 感受变量和常量的含义 我们生活之中常常会遇见许多数量 这些数量之间的关系都是怎样表达的呢 让我们 看一些具体的实例 大屏幕显示 1 用 10 m 长的绳子围成一个长方形 改变长方形的长 观察长方形的面积如何变化 若设长方形的长是 x m 面积为 y m2 则 y 和 x 应当满足什么关系 y x 5 x 2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率 下表是 2002 年 7 月中国工商银 行为 整存整取 的存款方式规定的利率 2 观察上表 说说随着存期 x 的增长 相应的利率 y 是如何变化的 这是一个用表格形式表示的数量关系的例子 同学们能否再举一个类似的例子 3 一辆汽车以 60 km h 的速度行驶 行驶的路程 s 千米 和行驶的时间 t 小时 有怎样的关系 学生回答 s 60 t 板书 4 圆的面积和它的半径之间的关系是 板书 2 SR 学生活动设计 学生活动设计 在上述四个实例的解决过程中 体会在一个变化过程中各个量的变化规律 进而发现 有的量变化 有的量不变 最后在教师的引导下进行归纳 教师活动设计 教师活动设计 概括概括 在上面的问题中 我们研究了一些数量关系 出现了各种各样的量 有些量 它们始 终保持不变 我们称之为常量常量 constant 如 60 而有些量 在某一变化过程中 可以取不同数值 我们称之为变量变量 variable 三 问题引申 探索函数的概念三 问题引申 探索函数的概念 在前面研究的每个问题中 都出现了两个变量 它们之间是相互影响 相互制约的 问题问题 请同学们自己分析实例 3 中各个变量之间的关系 进而再分析上述所有实例中的各个 变量之间是否有类似的关系 学生活动设计 学生活动设计 小组活动 合作讨论 然后进行交流 学生分析 s 和 t 两个变量之间是互相关联 互相影响的 对于 t 每给定的一个值 变 量 s 都有一个唯一确定的值和它对应 如 t 1 时 s 60 t 2 时 s 120 等 对于其他问题 都有着这样一个规律 上述每个实例中的两个变量相互联系 当其中上述每个实例中的两个变量相互联系 当其中 一个变量取定一个值时 另一个变量就有一个确定的值与之对应一个变量取定一个值时 另一个变量就有一个确定的值与之对应 教师活动设计 教师活动设计 让学生体会上述两个变量之间的变化 引导学生总结 函数的概念 在一个变化过程中 有两个变量 例如 在一个变化过程中 有两个变量 例如 x y 对于 对于 x 的每一个值 的每一个值 y 都有唯一的值与都有唯一的值与 之对应 我们称之对应 我们称 y 是是 x 的函数 其中的函数 其中 x 是自变量 是自变量 例如 s 60 t 中 1 t 是自变量 s 是 t 的函数 2 函数的定义域是 t 的取值范围 0t 又如 圆的面积和它的半径之间的关系是 2 SR 1 是常量 S R 是变量 2 R 是自变量 S 是 R 的函数 3 函数的定义域是 0R 3 四 应用提高 拓展创新四 应用提高 拓展创新 探究探究 1 1 在计算器上按照下面的程序进行操作 输入 x 任意一个数 按键 2 5 显示 y 根据你的操作 你能发现 y 是 x 的函数吗 若是请写出它的表达式 学生活动设计 学生活动设计 学生独立完成探究 1 并交流 教师活动设计 教师活动设计 引导学生发现 表达函数关系式 y 2x 5 探究探究 2 拖拉机的油箱最多装油 56 千克 装满油后 犁地平均每小时消耗 6 千克的油 1 写出剩油量 y kg 和时间 x h 之间的函数关系的式子 2 求出自变量 x 的取值范围 3 工作 4 小时 20 分钟后 油箱剩油多少 学生活动设计 学生活动设计 学生独立思考 必要时进行适当的讨论 然后进行交流 经过思考可以发现 1 y 56 6x 2 对于自变量 x 的取值范围 从关系式上看 可以发现 x 可以取任意实数 但是这 个是实际问题 x 必须使实际问题有意义 x 代表的实际意义是时间 因此 x 不能取负数 同时 6x 56 得到 x 所以 x 的取值范围是 0 x 3 28 3 28 3 工作 4 小时 20 分 相当于 x 代入到关系式求出 y 的值即可 3 1 4 教师活动设计 教师活动设计 鼓励学生独立思考 自主探索 自己寻找问题的答案 在交流中完善自己的结果 五 归纳总结 布置作业五 归纳总结 布置作业 小结 1 变量与常量 2 函数定义 3 函数的初步应用 六 教学反思 六 教学反思 14 1 214 1 2 函数函数 教学目标教学目标 经过回顾思考认识变量中的自变量与函数 进一步理解掌握确定函数关系式 会确定自变量取值范围 教学重点教学重点 4 进一步掌握确定函数关系的方法 确定自变量的取值范围 教学难点教学难点 认识函数 领会函数的意义 教学过程教学过程 一 提出问题 创设情境一 提出问题 创设情境 我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化 同一问题中的变量之 间有什么联系 也就是说当其中一个变量确定一个值时 另一个变量是否随之确定一个值 呢 这将是我们这节研究的内容 二 导入新课二 导入新课 首先回顾一下上节活动一中的两个问题 思考它们每个问题中是否有两个变量 变量 间存在什么联系 活动一两个问题都有两个变量 问题 1 中 经计算可以发现 每当售票数量 x 取 定一个值时 票房收入 y 就随之确定一个值 例如早场 x 150 则 y 1500 日场 x 205 则 y 2050 晚场 x 310 则 y 3100 问题 2 中 通过试验可以看出 每当重物质量 m 确定一个值时 弹簧长度 L 就随 之确定一个值 如果弹簧原长 10cm 每 1kg 重物使弹簧伸长 0 5cm 当 m 10 时 则 L 15 当 m 20 时 则 L 20 再来回顾活动二中的两个问题 看看它们中的变量又怎样呢 问题 1 中 很容易算出 当 S 10cm2时 r 1 78cm 当 S 20cm2时 r 2 52cm 每当 S 取定一个值时 r 随之确定一个值 它们的关系为 r S 问题 2 中 我们可以根据题意 每确定一个矩形的一边长 即可得出另一边长 再计算出矩形的面积 如 当 x 1cm 时 则 1 5 1 4cm2 当 x 2cm 时 则 2 5 2 6cm2 它们之间存在关系 S x 5 x 5x x2 因此可知 每当矩形长 度 x 取定一个值时 面积 就随之确定一个值 由以上回顾我们可以归纳这样的结论 上面每个问题中的两个变量互相联系 当其中一个变量取定一个值时 另一个变量随 之就有唯一确定的值与它对应 其实 在一些用图或表格表达的问题中 也能看到两个变量间的关系 我们来看下面 两个问题 通过观察 思考 讨论后回答 1 下图是体检时的心电图 其中横坐标 x 表示时间 纵坐标 y 表示心脏部位的生 物电流 它们是两个变量 在心电图中 对于 x 的每个确定的值 y 都有唯一确定的对应 值吗 2 在下面的我国人口数统计表中 年份与人口数可以记作两个变量 x 与 y 对于 5 表中每个确定的年份 x 都对应着个确定的人口数 y 吗 中国人口数统计表 年份人口数 亿 1984 10 34 1989 11 06 1994 11 76 1999 12 52 通过观察不难发现在问题 1 的心电图中 对于 x 的每个确定值 y 都有唯一确定的 值与其对应 在问题 2 中 对于表中每个确定的年份 x 都对应着一个确定的人口数 y 一般地 在一个变化过程中 如果有两个变量 x 与 y 并且对于 x 的每个确定的值 y 都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说 x 是自变量 independentvariable y 是 x 的函数 function 如果当 x a 时 y b 那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数 值 据此可以认为 上节情景问题中时间 t 是自变量 里程 s 是 t 的函数 t 1 时的函数 值 s 60 t 2 时的函数值 s 120 t 2 5 时的函数值 s 150 同样地 在以上心电图 问题中 时间 x 是自变量 心脏电流 y 是 x 的函数 人口数统计表中 年份 x 是自变量 人口数 y 是 x 的函数 当 x 1999 时 函数值 y 12 52 亿 从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系 活动一活动一 在计算器上按照下面的程序进行操作 填表 x13 40101 y 显示的数 y 是输入的数 x 的函数吗 为什么 在计算器上按照下面的程序进行操作 下表中的 x 与 y 是输入的 5 个数与相应的计算结果 x 1230 1 y 3572 1 所按的第三 四两个键是哪两个键 y 是 x 的函数吗 如果是 写出它的表达式 用 含有 x 的式子表示 y 活动结论 从计算结果完全可以看出 每输入一个 x 的值 操作后都有一个唯五的 y 值与其 对应 所以在这两个变量中 x 是自变量 y 是 x 的函数 6 从表中两行数据中不难看出第三 四按键是这两个键 且每个 x 的值都有1 唯一一个 y 值与其对应 所以在这两个变量中 x 是自变量 y 是 x 的函数 关系式是 y 2x 1 活动二活动二 例 1 一辆汽车油箱现有汽油 50L 如果不再加油 那么油箱中的油量 y L 随行驶里程 x km 的增加而减少 平均耗油量为 0 1L km 写出表示 y 与 x 的函数关系式 指出自变量 x 的取值范围 汽车行驶 200km 时 油桶中还有多少汽油 结论 行驶里程 x 是自变量 油箱中的油量 y 是 x 的函数 行驶里程 x 时耗油为 0 1x 油箱中剩余油量为 50 0 1x 所以函数关系式为 y 50 0 1x 仅从式子 y 50 0 1x 上看 x 可以取任意实数 但是考虑到 x 代表的实际意义是 行驶里程 所以不能取负数 并且行驶中耗油量为 0 1x 它不能超过油箱中现有汽油 50L 即 0 1x 50 x 500 因此自变量 x 的取值范围是 0 x 500 汽车行驶 200km 时 油箱中的汽油量是函数 y 50 0 1x 在 x 200 时的函数值 将 x 200 代入 y 50 0 1x 得 y 50 0 1 200 30 汽车行驶 200km 时 油箱中还有 30 升汽油 关于函数自变量的取值范围关于函数自变量的取值范围 1 实际问题中的自变量取值范围 问题 1 在上面的联系中所出现的各个函数中 自变量的取值有限制吗 如果有 各是 什么样的限制 问题 2 某剧场共有 30 排座位 第 l 排有 18 个座位 后面每排比前一排多 1 个座位 写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式 自变量的取值有什么限制 2 用数学式子表示的函数的自变量取值范围 例 求下列函数中自变量 x 的取值范围 1 y 3x l 2 y 2x2 7 3 y 4 y 1 x 2x 2 分析 用数学表示的函数 一般来说 自变量的取值范围是使式子有意义的值 对于 上述的第 1 2 两题 x 取任意实数 这两个式子都有意义 而对于第 3 题 x 2 必须 不等于 0 式子才有意义 对于第 4 题 x 2 必须是非负数式子才有意义 我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上 又该学会如何确定自变量取值 范围和求函数值的方法 知道了自变量取值范围的确定 不仅要考虑函数关系式的意义 而且还要注意问题的实际意义 三 随堂练习三 随堂练习 下列问题中哪些量是自变量 哪些量是自变量的函数 试写出用自变量表示函数的式 子 改变正方形的边长 x 正方形的面积 随之改变 秀水村的耕地面积是 106m2 这个村人均占有耕地面积 y 随这个村人数 n 的变化 7 而变化 解答 正方形边长 x 是自变量 正方形面积 是 x 的函数 函数关系式 S x2 这个村人口数 n 是自变量 人均占有耕地面积 y 是 n 的函数 函数关系式 y 6 10 n 四 小结四 小结 本节课我们通过回顾思考 观察讨论 认识了自变量 函数及函数值的概念 并通过 两个活动加深了对函数意义的理解 学会了确立函数关系式 自变量取值范围的方法 会 求函数值 提高了用函数解决实际问题的能力 五 作业五 作业 1 习题 11 1 1 1 2 3 4 题 2 课堂感悟与探究 六 活动与探究六 活动与探究 1 小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔 宣纸每张 元 毛笔每支 元 商店正搞优惠 活动 买一支毛笔赠一张宣纸 小明买了 10 支毛笔和 x 张宣纸 则小明用钱总数 y 元 与宣纸数 x 之间的函数关系是什么 过程 根据题意可知 当小明所买宣纸数 x 小于等于 10 张时 所用钱数为 y 5 10 50 元 当小明所买宣纸数 x 大于 10 张时 所用钱数为 y 50 x 10 3 3x 20 元 结果 当 010 时 y 3x 20 2 为了加强公民的节水意识 某市制定了如下用水收费标准 每户每月的用 水不超过 10 吨时 水价为每吨 1 2 元 超过 10 吨时 超过的部分按每吨 1 8 元收费 该 市某户居民 5 月份用水 x 吨 x 10 应交水费 y 元 请用方程的知识来求有关 x 和 y 的 关系式 并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数 参考答案 Y 1 8x 6 或 3 10 9 5 yx 2 如图 二 请写出等腰三角形的顶角 y 与底角 x 之间的函数关系式 3 如图 三 等腰直角三角形 ABC 边长与正方形 MNPQ 的边长均为 l0cm AC 与 MN 在同一 直线上 开始时 A 点与 M 点重合 让 ABC 向右运动 最后 A 点与 N 点重合 试写出重叠 部分面积 y 与长度 x 之间的函数关系式 8 板书设计 14 1 2 函数 一 自变量 函数及函数值 二 自变量取值范围 三 课堂练习 备课资料 校园里栽下一棵小树高 1 8 米 以后每年长 0 3 米 则 n 年后的树高 L 与年数 n 之间的函数关系式 在男子 1500 米赛跑中 运动员的平均速度 v 则这个关系式中 是 1500 t 自变量 函数 已知 2x 3y 1 若把 y 看成 x 的函数 则可以表示为 ABC 中 AB AC 设 B x A y 试写出 y 与 x 的函数关系式 到邮局投寄平信 每封信的重量不超过 20 克时付邮费 0 80 元 超过 20 克而不 超过 40 克时付邮费 1 60 元 依此类推 每增加 20 克须增加邮费 0 80 元 信重量在 100 克内 如果某人所寄一封信的质量为 78 5 克 则他应付邮费 元 七 教学反思七 教学反思 14 1 3 函数图象函数图象 知识目标 学会用图表描述变量的变化规律 会准确地画出函数图象 能力目标 结合函数图象 能体会出函数的变化情况 情感目标 增强动手意识和合作精神 重点 函数的图象 难点 函数图象的画法 教学媒体 多媒体电脑 直尺 教学说明 在画图象中体会函数的规律 教学设计 引入 信息 1 下图是一张心电图 信息 2 下图是自动测温仪记录的图象 他反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 的变化二变化 你从图象中得到了什么信息 9 新课 问题 正方形的边长 x 与面积 S 的函数关系为 S x2 你能想到更直观地表示 S 与 x 的 关系的方法吗 一般地 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横 纵坐一般地 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横 纵坐 标 那么坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函数的图象 标 那么坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函数的图象 graph 范例 例 1 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水 有去玉米地锄草 然后回家 其中 x 表示时间 y 表示小名离家的距离 根据图象回答问题 1 菜地离小明家多远 小明走到菜地用了多少时间 2 小明给菜地浇水用了多少时间 3 菜地离玉米地多远 小明从菜地到玉米地用了多少时间 4 小明给玉米锄草用了多少时间 5 玉米地离小名家多远 小明从玉米地走回家的平均速度是多少 例 2 在下列式子中 对于 x 的每一确定的值 y 有唯一的对应值 即 y 是 x 的函数 画出 这些函数的图象 1 y x 0 5 2 y x 0 x 6 解 10 活动 1 教材练习 1 2 题 思考 画函数图象的一般步骤是什么 小结 1 什么是函数图象 2 画函数图象的一般步骤 作业 5 7 题 教学反思 14 2 1 正比例函数正比例函数 教学目标 认识正比例函数的意义 掌握正比例函数解析式特点 理解正比例函数图象性质及特点 能利用所学知识解决相关实际问题 教学重点 理解正比例函数意义及解析式特点 掌握正比例函数图象的性质特点 能根据要求完成转化 解决问题 教学难点 正比例函数图象性质特点的掌握 教学过程 一 提出问题 创设情境 一九九六年 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥 候鸟 套上标志环 个月零 周后人 们在 2 56 万千米外的澳大利亚发现了它 这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米 精确到 10 千米 这只燕鸥的行程 y 千米 与飞行时间 x 天 之间有什么关系 这只燕鸥飞行 个半月的行程大约是多少千米 我们来共同分析 一个月按 30 天计算 这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于 25600 30 4 7 200 km 11 若设这只燕鸥每天飞行的路程为 200km 那么它的行程 y 千米 就是飞行时间 x 天 的函数 函数解析式为 y 200 x 0 x 127 这只燕鸥飞行 个半月的行程 大约是 x 45 时函数 y 200 x 的值 即 y 200 45 9000 km 以上我们用 y 200 x 对燕鸥在 个月零 周的飞行路程问题进行了刻画 尽管这只是近 似的 但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型 类似于 y 200 x 这种形式的函数在现实世界中还有很多 它们都具备什么样的特征呢 我们这节课就来学习 二 导入新课 首先我们来思考这样一些问题 看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示 这 些函数有什么共同特点 圆的周长 L 随半径 r 的大小变化而变化 铁的密度为 7 8g cm3 铁块的质量 m g 随它的体积 V cm3 的大小变化而 变化 每个练习本的厚度为 0 5cm 一些练习本摞在一些的总厚度 h cm 随这些练习 本的本数 n 的变化而变化 冷冻一个 0 的物体 使它每分钟下降 2 物体的温度 随冷冻时间 t 分 的变化而变化 答应 根据圆的周长公式可得 L 2r 依据密度公式 p 可得 m 7 8V m V 据题意可知 h 0 5n 据题意可知 T 2t 我们观察这些函数关系式 不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式 和 y 200 x 的形式一样 一般地 形如 y kx k 是常数 k 0 的函数 叫做正比例函数 proportional func tion 其中 k 叫做比例系数 我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点 那么它的图象有什么特征呢 活动一 画出下列正比例函数的图象 并进行比较 寻找两个函数图象的相同点与不同点 考 虑两个函数的变化规律 y 2x y 2x 结论 函数 y 2x 中自变量 x 可以是任意实数 列表表示几组对应值 x 3 2 10123 y 6 4 20246 12 画出图象如图 1 y 2x 的自变量取值范围可以是全体实数 列表表示几组对应值 x 3 2 10123 y6420 2 4 6 画出图象如图 2 两个图象的共同点 都是经过原点的直线 不同点 函数 y 2x 的图象从左向右呈上升状态 即随着 x 的增大 y 也增大 经过第一 三象限 函数 y 2x 的图象从左向右呈下降状态 即随 x 增大 y 反而减小 经过第二 四象限 尝试练习 在同一坐标系中 画出下列函数的图象 并对它们进行比较 y x y x 1 2 1 2 x 6 4 20246 y x 1 2 3 2 10123 Y x 1 2 3210 1 2 3 比较两个函数图象可以看出 两个图象都是经过原点的直线 函数 y x 的图象从 1 2 左向右上升 经过三 一象限 即随 x 增大 y 也增大 函数 y x 的图象从左向右下降 1 2 经过二 四象限 即随 x 增大 y 反而减小 13 让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律 正比例函数 y kx k 是常数 k 0 的图象是一条经过原点的直线 当 x 0 时 图象经过 三 一象限 从左向右上升 即随 x 的增大 y 也增大 当 k0 直线与 y 轴交于正半轴 当 b 0 时 直线与 y 轴交于负半轴 当 b 0 时 直线 与 y 轴交于坐标原点 2 k 0 b 0 时 直线经过一 二 三象限 k 0 b 0 时 直线经过一 三 四象限 k 0 b 0 时 直线经过一 二 四象限 28 k 0 b 0 时 直线经过二 三 四象限 五 课后作业 1 已知函数 当 m 为何值时 这个函数是一次函数 并且图象经过第mxmy mm 1 2 1 二 三 四象限 2 已知关于 x 的一次函数 y 2m 1 x 2m2 m 3 1 若一次函数为正比例函数 且图象经过第一 第三象限 求 m 的值 2 若一次函数的图象经过点 1 2 求 m 的值 3 已知函数 3 2 3 xmy 1 当 m 取何值时 y 随 x 的增大而增大 2 当 m 取何值时 y 随 x 的增大而减小 4 已知点 1 a 和都在直线上 试比较 a 和 b 的大小 你能想出几种判断 b 2 1 3 3 2 xy 的方法 5 某个一次函数的图象位置大致如下图所示 试分别确定 k b 的符号 并说出函数的性质 六 教学反思 14 3 1 一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程 教学目标教学目标 1 理解一次函数与一元一次方程的关系 会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解 29 问题 2 学习用函数的观点看待方程的方法 初步感受用全面的观点处理局部问题的思想 3 经历方程与函数关系问题的探究过程学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想 教学重点教学重点 一次函数与一元一次方程的关系的理解 教学难点教学难点 一次函数与一元一次方程的关系的理解 教学过程教学过程 一 一 导入导入 前面我们学习了一次函数 实际上一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相 对应 互相依存 它与我们七年级学过的一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程 组有着必然的联系 这节课开始 我们就学着用函数的观点去看待方程 组 与不等式 并 充分利用函数图象的直观性 形象地看待方程 组 不等式的求解问题 这是我们学习数学 的一种很好的思想方法 二 新课二 新课 我们先来看下而的问题有什么关系 1 解方程0202 x 2 当自变量为何值时 函数202 xy的值为零 提出问题 对于0202 x和202 xy 从形式上看 有什么相同和不同的地方 从问题本质上看 1 和 2 有什么关系 作出直线202 xy 从数上看 方程 2x 20 0 的解 是函数 y 2x 20 的值为 0 时 对应自变量的值 从形上看 函数 y 2x 20 与 x 轴交点的横坐标即为方程 2x 20 0 的 解 关系 由于任何一元一次方程都可转化为 kx b 0 k b 为常数 k 0 的形式 所以解一元一次方程可以转化为 当一次函数值为 0 时 求相应的自变量的 30 值 从图象上看 这相当于已知直线 y kx b 确定它与 x 轴交点的横坐标值 例 1 一个物体现在的速度是 5m s 其速度每秒增加 2m s 再过几秒它的速度为 17m s 用两种方法求解 解法一 设再过 x 秒物体速度为 17m s 由题意可知 2x 5 17 解之得 x 6 解法二 速度 y m s 是时间 x s 的函数 关系式为 y 2x 5 当函数值为 17 时 对应的自变量 x 值可通过解方程 2x 5 17 得到 x 6 解法三 由 2x 5 17 可变形得到 2x 12 0 从图象上看 直线 y 2x 12 与 x 轴的交点为 6 0 得 x 6 例 2 利用图象求方程 6x 3 x 2 的解 并笔算检验 解法一 由图可知直线 y 5x 5 与 x 轴交点为 1 0 故可得 x 1 我们可以把方程 6x 3 x 2 看作函数 y 6x 3 与 y x 2 在何时两函数 值相等 即可从两个函数图象上看出 直线 y 6x 3 与 y x 2 的 交点 交点的横坐标即是方程的解 解法二 由图象可以看出直线 y 6x 3 与 y x 2 交于点 1 3 所以 x 1 三 三 小结小结 本节课从解具体一元一次方程与当自变量 x 为何值时一次函数的值为 0 这两个问题入 手 发现这两个问题实际上是同一个问题 进而得到解方程 kx b 0 与求自变量 x 为何值 时 一次函数 y kx b 值为 0 的关系 并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反 映 经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法 虽然用函数解决方程问题未必 简单 但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用 四 四 练习练习 用不同种方法解下列方程 1 2x 3 x 2 2 x 3 2x 1 3 某单位急需用车 但又不准备买车 他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中 31 一家签让合同 设汽车每月行驶 x 千米 应付给个体车主的月费用是 y1元 应付给出租车 公司的月费用是 y2元 y1 y2分别是 x 之间函数关系如下图所示 每月行驶的路程等于多 少时 租两家车的费用相同 是多少元 4 P42 练习 1 1 2 5 根据下列图象 你能说出哪些一元一次方程的解 并直接写出相应方程的解 五 课后作业五 课后作业 1 习题 11 3 1 2 5 8 题 2 课堂感悟与探究 六 教学反思 六 教学反思 14 3 2 一次函数与一次不等式一次函数与一次不等式 教学目标教学目标 理解一次函数与一元一次不等式的关系 会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求 解问题 学习用函数的观点看待不等式的方法 初步形成用全面的观点处理局部问题的思想 经历不等式与函数关系问题的探究过程 学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想 教学重点教学重点 一次函数与一元一次不等式的关系的理解 教学难点教学难点 一次函数图象确定一元一次不等式的解集 x yy 5x o x yy x 2 o 2 2 x y y 3x 6 o 2 x yy x 1 o 1 1 32 教学过程教学过程 一 提出问题 引入新课 通过上节课的学习 我们已经知道 解一元一次方程0 bax 与 求当x为何值时 baxy 的值为0 是同一个问题 现在我们来看看 1 以下两个问题是不是同一个问题 解不等式 042 x 当为何值时 函数42 xy的值大于0 2 你如何利用图象来说明 3 解不等式042 x 可以与怎样的一次函数问题是同一的 怎样在图象上加以说明 二 讲解例题 讲解例题 1 根据下列一次函数的图象 你能求出哪些不等式解集 并直接写出相应不等式的解集 1 对每一题都能写出四种情况 大于 0 小于 0 大于等于 0 小于等于 0 让学生在充分 理解的基础和写出对应的 x 的取值范围 先小组内交流 然后反馈矫正 解 1 略 2 由图象可以得出 03x 的解集是3 x 03x 的解集是3 x 03x 的解集是3 x 03x 的解集是3 x 例 2 P41 例题 解法 1 分析 将不等式转化为一般形式 再画出对应的一次函数的图象 就是我们已会的求 解了 解法 2 分析 1 如果不将原不等式转化 能否用图象法解决呢 2 不等式两边都是一次函数的表达式 因而实际上是比较两个一次函数在 x 取相同值 y x 2 y 3x 6 O x y x 3 O 3 33 时谁大的问题 3 如何在图象上比较两个一次函数的大小呢 4 如何确定不等式的解集呢 三 总结 由学生总结 四 教学反思 14 3