中考专题复习：关于数学隐含条件专题

1 复复 习习 总总 结结 题方法与策略题方法与策略 1 选择题 单选题 主要用直接法 验证法 排除法 特殊值法 图示法 操作法 选择题 单选题 主要用直接法 验证法 排除法 特殊值法 图示法 操作法 工具法工具法 工具法 操作法对于好一点的同学可用来检验 对于差同学提供了一个方法 工具法 操作法对于好一点的同学可用来检验 对于差同学提供了一个方法 例例 1 据媒体报道 我国因环境污染造成的巨大经济损失 每年高达 680 000 000 元 这个数用科学记数法表示正确的是 A 6 8 109元 B 6 8 108 元 C 6 8 107元 D 68 106元 直接法 直接法 例例 2 如图 在 ABC 中 BC 8cm AB 的垂直平分线交 AB 于点 D 交 AC 于点 E BCE 的周长等于 18cm 则 AC 的长等于 A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm 直接法 直接法 选 C 例例 3 下列各组数中两个数互为相反数的是 A B 2 2 2 与 33 2 2 与 C 2 与 2 D 2 1 2 与 验证法 验证法 例例 4 在 ABC 中 BC 14 AC 9 AB 13 其内切圆分别和 BC AC AB 切于点 D E F 那么 AF BD CE 的长为 A AF 4 BD 9 CE 5 B AF 4 BD 5 CE 9 C AF 5 BD 4 CE 9 D AF 9 BD 4 CE 5 验证法 验证法 画草图 因为 AF AE BD BF CE CD 将四个选项代入只有 A 项满足 即 AF BF AF BD 13 BD CD BD CE 14 所以选 A 例例 5 下列说法正确的是 A 有理数都是实数 B 实数都是有理数 C 带根号的数都是无理数 D 无理数都是开方开不尽的数 排除法 排除法 由有理数和无理数统称为实数 可知 A 正确 其它可排除掉 昌平 大兴一模都考了一道在数轴上估值问题 一般学生都能估计出在 3 和 415 之间 而选择答案 C 但这道题估值要求较高 要判断出更靠近 3 还是 4 像这样设置的选 O F E DC B A E D A B C 2 O y 1 11 O y x 择支就不能看到有一个在符合条件的范围之内 就排出其它选项 例例 6 实数 a b 满足 ab 1 记 则 M N 的大小关系 11 1 1 1 1 b b a a N ba M 是 A M N B M N C M0 0 B a 0 0 C a0 D a 0 0 b0 则下列各式中成立的是 A a b a b B a b b a C b a b a D b a a b 图示法 图示法 根据题意 在数轴上先标出 a 与 b 的位置 再标出它们的相反数 可知选 B 例例 9 如图 有两个正方形和一个等边三角形 则图中度数为 30 的角有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 工具法 工具法 一般中考作图都很精确 可用量角器对锐角进行 测量 选 D 例例 10 在平面直角坐标系中 以点 2 3 为圆心 3 为半径的圆与坐标轴的交点个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 工具法 工具法 在平面直角坐标系中 以点 2 3 为圆 心 用圆规画圆 即可知圆与坐标轴的交点个数为 3 选 C 例例 11 一副三角板 如图所示叠放在一起 则图中 的度数是 A 75 B 60 C 65 D 55 操作法与工具度量结合 操作法与工具度量结合 可先用一副三角板 摆放好 再用量角器度量 选 A 例例 12 如图 将一张正方形纸片经两次对折 并剪出一个菱形小洞后展开铺平 得 3 到的图形是 操作法 操作法 可动手折一折 可折出菱形 展开后看折痕 选 D 例例 13 把一个正方形三次对折后沿虚线剪下 则所得图形大致是 操作法 操作法 可动手折一折 观察折痕 如果能允许撕开更直观清楚 例例 14 下列矩形中 按虚线剪开后 既能拼出平行四边形和梯形 又能拼出三角形的是 图形 A B C D 此题是组合选 有多选的功能 难度比较大 要认真审题 常用直接法和分析验证法 这类形式的填空题常用直接法 例例 15 商店出售下列形状的瓷砖 正三角形 梯形 矩形 正五边形 正六边形 若只选购 其中一种瓷砖密铺地面 可供选择的瓷砖共有 种 A 1 B 2 C 3 D 4 这道题也有组合选的味道 任意一种同一规格的三角形 四边形都可以密铺地面 2 填空题 主要用直接法 验证法 操作法 工具法 特殊值法 填空题 主要用直接法 验证法 操作法 工具法 特殊值法 例例 1 如图 在 ABC 中 AB BC D E F 分别是 BC AC AB 边上的中点 若 AB 12 则四边形 BDEF 的周长为 直接法 例例 2 已知圆柱的底面半径为 3cm 母线长为 4cm 则该圆柱的侧面展开图的面积为 cm2 直接法 F A D B E C 4 例例 3 函数中 自变量 x 的取值范围是 直接法 1 3 y x 例例 4 不等式组的解集是 直接法 2334 1 223 xx xx 例例 5 已知点 P 在第二象限 它的横坐标与纵坐标的和为 1 点 P 的坐标是 写出符合条件的一个即可 根据横坐标与纵坐标的和为 1 可先给出横坐标一个数值 再凑出 或解出 相应的 纵坐标的值 比如 横坐标取 1 列式 1 0 1 P 1 0 对于此类比较复杂的问题 可通 过解方程求解 验证法 例例 6 以 x 1 为根的一元一次方程是 只需填写满足条件的一个方程即可 利用方程的定义构造方程 先列一个含 1 的等式 比如 2 1 3 5 用 x 替换 1 得 2x 3 5 验证法 例例 7 写出一个以为解的二元一次方程组 7 0 y x 利用方程组的定义构造方程组先利用 0 7 列一组算式 比如 7702 770 然后用代换 得 验证法 y x 7 0 7 2 7 yx yx 例例 8 用两个全等的三角形 最多可以拼成 个不同的平行四边形 操作法 操作法 可用两个全等的含 30 角的三角板 允许的情况下可撕出两个全等三角形 拼图 这里边涉及到拼图思维的序 答案为 3 例例 9 如图 P 是 AOB 的平分线上的一点 PC OA 于 C PD OD 于 D 写出图中一 组相等的线段 只需写出一组即可 工具法 工具法 可用刻度尺度量法 PD PC 例例 10 1 将一副三角板如图叠放 则左右阴影部分面积 之比等于 1 S 2 S 2 将一副三角板如图放置 则上下两块三角板面积 之比等于 1 A 2 A C P O D B A 5 赋特殊值法 赋特殊值法 同底 三角形面积比等于其高的比 可赋特殊值 设含 30 角的 直角三角形的短直角边的长为 1 则 45 角的直角三角形的高为 2 3 3 解答题 可借助于操作法 工具法 特殊值法等帮助分析 猜想 探究 解答题 可借助于操作法 工具法 特殊值法等帮助分析 猜想 探究 1 操作法 折纸 翻动等 操作法 折纸 翻动等 例例 1 印刷一本书 为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数 可按如下方法操作 先将一张整版的纸 对折一次为 4 页 再对折一次为 8 页 连续对折三次为 16 页 然后再排页码 如果想设计一本 16 页的毕业纪念册 请你按图 1 图 2 图 3 图中的 1 16 表示页码 的方法折叠 在图 4 中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置 上的页码 操作法 操作法 答案 2 工具法 探索线段之间 角之间的数量关系 工具法 探索线段之间 角之间的数量关系 例例 2 如图 正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上 连结 BE DG 1 观察猜想 BE 与 DG 之间的大小关系 并证明你的结 论 2 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形 若 存在 请说出旋转过程 若不存在 请说明理由 工具法 工具法 可用刻度尺度量 BE 与 DG 的大小 例例 3 已知 y x2 5x n 过点 A 1 0 与 y 轴交于点 B 1 求抛物线的解析式 89161 512134 4 1 OA B y x 6 2 若点 P 在坐标轴上 且 ABP 是等腰三角形 求 P 点的坐标 工具法 第 工具法 第 2 问 问可用圆规度量 观察到满足要求的 P 点有 5 个 例例 4 如图 ABO 中 OA OB C 是 AB 中点 O 分别交 OA OB 于点 E F 1 若 OF FB B 30 求证 AB 是 O 的切线 2 若 O 经过点 C 在 ABO 腰上的高等于底边的 一半 且 AB 求的长 34 A ECF 第 2 问 如果知道求弧长需知圆心角的度数 即便 不会推理 亦可通过度量得到圆心角的度数 计算出 弧长 也能得一步分 3 特殊法 有些几何猜想问题可借助于特殊值或特殊位置猜想 特殊法 有些几何猜想问题可借助于特殊值或特殊位置猜想 例例 5 已知 ABC 是等边三角形 将一块含 30 角的直角 三角板 DEF 如图放置 让三角板在 BC 所在的直线 L 上向右平 移 当点 E 与点 B 重合时 点 A 恰好落在三角板的斜边 DF 上 问 在三角板平移过程中 图中是否存在与线段 EB 始终 相等的线段 假定 AB AC 与三角板斜边的交点为 G H 如果 存在 请指出这条线段 并证明 如果不存在 请说明理由 说明 结论中不得含有图中未标识的字母说明 结论中不得含有图中未标识的字母 几何猜想问题几何猜想问题 测量法 测量法 由于图形规范 可测量检验 由于图形规范 可测量检验 操作法操作法 可画一个边长等于三 可画一个边长等于三 角板斜边上的高的等边三角形 让三角板移动 观察 角板斜边上的高的等边三角形 让三角板移动 观察 特殊法 特殊法 可从特殊位置入手分析 可从特殊位置入手分析 当点当点 E 与点与点 B 重合时重合时 此时此时 EB GH 0 可画几个不同位置的图形分析可画几个不同位置的图形分析 FE C B O A 4 1 OA B y x 7 BC A 立意 在先观察的基础上 提出一个可能性的猜想 再尝试能够证明它 观察易发现 与线段 EB 相等的线段只可能是 AH 或 GH 在此基础上 进行探究性的推理 我们先把有关能直接得到的角的度数直接在图形上标出来 例如 CFH 30 BCH 60 便可发现 CHF 30 于是 CF CH 其次 我们再根据题目中的其 它条件作探究性推理 由条件 点 A 且恰好落在三角板的斜边 DF 上 条件 三角形是含 30 角的直角三角性 和条件 ABC 是等边三角形 出发 设 DE a 则 DF 2a EF AB AC BC 在这两个结论的基础上 便可发现 3 2 3 2 EB CF CH AH 于是就有 EB AH 了 此题没有给边长 通过特殊角发现边的关此题没有给边长 通过特殊角发现边的关 3 2 系 从而通过计算推得边等系 从而通过计算推得边等 五 关注变化五 关注变化 中考新题型中考新题型 1 以网格为背景的中考题 以网格为背景的中考题 此类问题关键抓住网格中边 特殊角 各类对角线这些基本量以及对称关系 此类题经 常出现在区统练中 多以研究基本量关系出现 对于学生不陌生 现举一有关对称的例子 例例 1 1 如图 是由大小一样的小正方形组成的网格 ABC 的三个顶点落 在小正方形的顶点上 在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上 且与 ABC 成轴对称的三角形共 A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 答案 选 A 从对称轴思考或从可画出的三角形思考 这里面运到分类讨论思想 符合要求的三角形 如下 例例 2 如图 1 是一个 10 10 格点正方形组成的网格 ABC 是格点三角形 顶点在 网格交点处 请你完成下面两个问题 1 在图 1 中画出与 ABC 相似的格点 A1B1C1和 A2B2C2 且 A1B1C1和 ABC 的相似比是 2 A2B2C2和 ABC 的相似比是 2 2 2 在图 2 中用与 ABC A1B1C1 A2B2C2全等的格点三角形 每个三角形 至少使用一次 拼出一个你熟悉的图案 并为你设计的图案配一句贴切的解说词 A CB A C B A CB A B C A BC 8 图 1 图 2 关键是利用好网格中特殊的边角关系 因为所画出的图形的位置没有特殊要求 所以 可在网格中自由地选取一点作为 ABC 中的一点 如点 C 的对应点 当相似比为整数时 可在保持平行 如 BC B1C1 的意义下先确定第二点 如点 B 再以相同的方法确定第 三点 此问若选 B 点为位似中心 利用位似变换亦可 当相似比为无理数时 先画出长度易 于确定的一条边 如 A1C1 因为 A1C1 AC BC 再根据等腰直角三角形的特性确定 2 2 第三点就可以了 2 生活中的数学问题 生活中的数学问题 注意发现生活中蕴涵数学知识 数学规律的问题注意发现生活中蕴涵数学知识 数学规律的问题 例例 1 上学期期末考题第 12 题 地砖阴影面积 例例 2 综合复习 二 有关菠萝两种卖法问题 例例 3 两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上 请根据图 中给出的数据信息 解答问题 1 求整齐叠放在桌面上饭碗的高度 y cm 与饭碗数 x 个 之 间的一次函数关系式 不要求写出自变量 I 的取值范围 2 若桌面上有 12 个饭碗 整齐叠放成一摞 求出它的高 度 此类题给学生有益的启示 数学就在我们身边 只要我们去观察 去思考 便能找到 数学的踪影 数学是有用的 它可以解决实际生活中的不少问题 经常性选用这样情景自 然 又有价值的试题给学生练习 其潜移默化的影响是不可忽视的 教学中应当注意编制 这类问题 3 3 图表信息类 图表信息类 例例 1 小明骑车上学 一开始以某一速度前进 途中车子发生故障 只好停下来修理 车子修好后 因怕耽误上学时间 于是加快了车速 图中哪个符合上述情况 A B C D 例例 2 某市甲 乙两个汽车销售公司 去年一至十月份每月销售同种品牌汽车的情况 如图所示 9 E D D C B A 1 请你根据上图填写下表 2 请你从以下两个不同的方面对甲 乙两 个汽车销售公司去年一至十月份的销售情况 进行分析 从平均数和方差结合看 从折线图上甲 乙两个汽车销售公司销售 数量的趋势看 分析哪个汽车销售公司较有 潜力 此类试题可避免试卷的整体表达方式有 利于一种认知风格的学生 而不利于另一种 认知风格的学生 实际上 对于一道试题 也可以力求这一点 如果一道试题 能让不同 认知风格的学生都能较好地理解题意 切入解题 这无疑是对每一个学生更公平 例例 3 毕业考试 8 题 22 题 4 探究数式规律与定义新运算 探究数式规律与定义新运算 探究数式规律见综合问题 二 相关内容 定义新运算见总复习 数与式 部分 特别要注意有序性 5 操作设计题操作设计题 图形割拼 图形折叠与变换 图案与设计 作图题图形割拼 图形折叠与变换 图案与设计 作图题 例例 1 右图是用 12 个全等的等腰梯形镶嵌 密铺 成的 图形 这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是 1 2 例例 2 图 1 中的梯形符合 条件时 可以经过旋转和翻折形成图 2 1 2 底角为底角为 60 且上底与两腰相等的等腰梯形 且上底与两腰相等的等腰梯形 例例 3 将矩形 ABCD 沿 AE 折叠 得到如图所示的图形 已知 CED 60 则 AED 的大小是 A 60 B 50 C 75 D 55 选 A 销售公司平均数方差中位数众数 甲9 乙917 08 一 三二四六五八九七 2 7 11 14 16 辆 月份 甲 乙 十 1 4 8 10 13 3 6 9 12 15 5 10 例例 4 1 观察图 中阴影部分构成的图案 请写出这四个图案都具有的两个共同 特征 2 借助图中 的网格 设计一个新的图案 使该图案同时具有你在解答 1 中所 写的两个共同特征 两个特征 四个图形面积相等 都是轴对称图形 设计略 例例 5 蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室 计划做长 120cm 宽 30cm 的长条形桌 面 现只有长 80 cm 宽 45cm 的木板 请你为该校设计不同的拼接方案 使拼起来的桌面 符合要求 只要求画出裁剪 拼接图形 并标上尺寸 根据桌面的尺寸 横向分割比较好实现 比如 例例 6 如图 Rt ABC 中 C 90 CAB 30 用圆规和直尺作图 用两种方法把 它分成两个三角形 且其中一个是等腰三角形 保留作图痕迹 不要求写作法和证明 45cm 80cm 15cm 15cm 40cm80cm 15cm 45cm 40cm40cm 80cm 15cm 15cm 40cm 15cm 15cm 80cm 40cm 30cm 80cm 45cm 15cm 15cm 40cm 15cm 15cm 80cm 40cm 30cm 80cm 45cm 11 DC B A 可利用角平分线或中垂线性质作图 如 6 开放探究题开放探究题 例例 1 如图 已知 AB DE AB DE AF DC 请问图中有哪 几对全等三角形 并任选其中一对给予证明 此题是结论开放性试题 例例 2 如图 已知在 Rt ABC 中 C 90 BD 平分 ABC 交 AC 于 D 1 若 BAC 30 则 AD 与 BD 之间有何数量关系 说明你的理由 2 若 AP 平分 BAC 交 BD 于 P 求 BPA 的度数 例例 3 如图 已知正方形 ABCD 的面积为 S 1 求作 四边形 A1B1C1D1 使得点 A1和点 A 关于点 B 对称 点 B1和点 B 关于点 C 对称 点 C1和点 C 关于点 D 对称 点 D1和点 D 关于点 A 对称 只要求画出图形 不 要求写作法 2 用 S 表示 1 中作出的四边形 A1B1C1D1的面积 S1 3 若将已知条件中的正方形改为任意四边形 面积仍为 S 并 按 1 的要求作出一个新的四边形 面积为 S2 试探究 S1 与 S2之间 有什么关系 本题把倍长线段改编成了用关于点对称来叙述 1 如图 D A B CA B C D A B C C B A P A BC D 12 2 S1 5S 提示 设正方形 ABCD 的边长为 a 计算直角三角形的面积 再求面积和 3 S1 S2 提示 连接 BD1 BD 由 AB 是 BDD1的中线 可得 S ABD1 S ABD BD1是 AA1D1的中线 可得 S ABD1 S A1BD1 所以 S A A1D1 2 S ABD 同理可求得 S CC1B1 2 S ABD S BA1B1 S DD1C1 2 S ABD 从而易得 S1 5S 所以 S1 S2 7 阅读理解问题 阅读理解问题 基本上每次区统练都有这类题 关键是提取知识信息并加以运用 重点考查学习过程 例例 1 已知下列 n n 为正整数 个关于 x 的一元二次方程 x2 1 0 x2 x 2 0 x2 2x 3 0 x2 n 1 x n 0 1 请你用因式分解法因式分解法解上述一元二次方程 并指出这 n 个方 程的根具有什么共同 特点 请你写出一条即可 2 请你也类似地构造出 n 个一元二次方程 使每一个方程都有一个根为 1 另一 个根为分母依次为连续正整数的真分数 要求写成要求写成 ax2 bx c 0 a 0 的形式的形式 最初设计的毕业考题 实际也有阅读理解的味道 第 1 问的解法暗示了第 2 问 构造方程的方法 例例 2 下面是数学课堂的一个学习片段 阅读后 请回答下面的问题 学习等腰三角形有关内容后 张老师请同学们交流讨论这样一个问题 已知等腰三角形 ABC 的角 A 等于 30 请你求出其余两角 同学们经片刻的思考与交流后 李明同学举手说 其余两角是 30 和 120 王华同学说 其余两角是 75 和 75 还有一些同学也提出了不同的看法 1 假如你也在课堂中 你的意见如何 为什么 2 通过上面数学问题的讨论 你有什么感受 用一句话表示 B1 C1 D1 A1 DC B A B1 C1 D1 A D C B A1 n n 13 以课堂学习的真实情境为背景所编的题目以课堂学习的真实情境为背景所编的题目 例例 3 阅读以下短文 然后解决下列问题 如果一个三角形和一个矩形满足条件 三角形的一边与矩形的一边重合 且三角 形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上 则称这样的矩形为三角形的 友好矩形 如图 所示 矩形 ABEF 即为 ABC 的 友好矩形 显然 当 ABC 是钝角三角形时 其 友好矩形 只有一个 1 仿照以上叙述 说明什么是一个三角形的 友好平行四边形 2 如图 若 ABC 为直角三角形 且 C 90 在图 中画出 ABC 的所有 友好 矩形 并比较这些矩形面积的大小 3 若 ABC 是锐角三角形 且 BC AC AB 在图 中画出 ABC 的所有 友好矩形 指出其中周长最小的矩形 并加以证明 解 1 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件 三角形的一边与平行四边形的 一边重合 三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上 则称这样的平行 四边形为三角形的 友好平行四边形 2 此时共有 2 个友好矩形 如图的矩形 BCAD 矩形 ABEF 矩形 BCAD 矩形 ABEF 的面积都等于 ABC 面积的 2 倍 ABC 的 友好矩形 的面积相等 3 此时共有 3 个友好矩形 如图的矩形 BCDE 矩形 CAFG 及矩形 ABHK 其中的矩 形 ABHK 的周长最小 证明如下 这三个矩形的面积相等 令其为 S 设矩形 BCDE 矩形 CAFG 及矩形 ABHK 的周 长分别为 L1 L2 L3 ABC 的边长 BC a CA b AB c 则 L1 2a L2 2b L3 2c 2S a 2S b 2S c L1 L2 2a 2b 2 a b 2S a 2S b abS ab A 而 ab S a b L1 L2