初中数学_旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积

旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积 湖北省黄石市下陆中学 周国强 教学中常遇见旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积类问题 其中的阴影部分或成 一个整体或是零散分布 其形状或是规则图形或是不规则图形 其状态往往是动态的 解 决此类问题的关键是以静制动 化不规则图形为规则图形 再用相应规则图形的面积公式 求解 一 点旋转一 点旋转 例例 1 如图 1 直角梯形 ABCD 中 AD BC AB BC 将点 C 绕点 D 逆时针旋 90 至点 E 连接 AE 若 AD 3 BC 5 则 ADE 的面积是 析解析解 已知梯形的上下底长 这个梯形的形状 大小是不能确定的 所以腰长也不能 确定 从而 ADE 的形状 大小亦不能确定 似乎 ADE 的面积不可求 但据 点 E 是 点 C 绕点 D 逆时针旋 90 得到 且梯形是直角梯形 在这样的特定条件下 考虑到梯形的 上下底之差为一定值 2 作 EF AD 交 AD 的延长线于 F 作 CG AD 交 AD 的延长 线于 G 则四边形 ABCG 是矩形 DG 2 易证 Rt DEF Rt CDG 角 角 边 所以 EF DG 2 故 ADE 的面积等于 AD EF 3 2 3 二 点平移二 点平移 例例 2 如图 2 半圆 O 的直径为 10 C D 是半圆的三分点 点 P 是直径 AB 上任一 点 则阴影部分的面积是 析解 析解 由于点 P 在直径 AB 上平移 C D 点的位置不动 阴影部分的形状不规则 且是不确定 考虑到当点 P 运动到圆心 O 这一特殊位置时 所求图形面积是一扇形面积 故可将阴影部分的面积转化为扇形的面积来求 于是连 OC OD CD 因 C D 是半圆的 三等分点 所以 AOC COD DOB 60 所以 OCD 是等边三角形 所以 CD AB 所以 S S 从而 S S 故阴影部分的面积 扇形 OCD 的 面积 三 线段旋转三 线段旋转 例例 3 如图 3 矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交点 O 过点 O 的直线绕点 O 旋转 分别交 AD 和 BC 于点 E F 若 AB 4 BC 7 则图中阴影部分的面积是 析解 析解 乍看 随着直线 EF 绕点 O 旋转 阴影部分总是零散分布且 AOE 和 BOF 的 形状 大小都未确定 但因矩形对边平行 不难看出 只要点 E 不与点 A 或 D 重合 点 F 不与点 B 或 C 重合 总有 S S或 S S 因为 BOF DOE AOE COF 故可将零散分布的三块 阴影部分 集中到同一三角形 ACD 或 BCD 中去 即图中阴影部分的面积等于矩形面积的一半 7 4 14 事实上 当点 E 或 F 与矩形端点重合时 三块阴影部分变成两块阴影部分 其面积正好也等于 ACD 或 BCD 面积 四 线段平移四 线段平移 例例 4 如图 4 在菱形 ABCD 中 对角线 AC 和 BD 的长分别为 8 和 6 将 BD 沿 CB 方向平移 使 D 与 A 重合 B 与 CB 延长线上的 E 点重合 求阴影部分的面积 析解析解 本题虽有动态条件 但因菱形是确定的 所以阴影部分的形状 大小是确定 的 若整体求之 需知其形状到底是哪类四边形 由平移知 AE BD AD EB 且 AE BD 6 因为 AC BD 所以 AD BC 5 又 AE BD 所以阴影部分的形状实际上是一个直角梯形 故其面积 3 6 4 18 若分割求之 则可分别求得两个三角形的面积后 再相加 同学们不妨试试 五 图形的旋转五 图形的旋转 例例 5 如图 5 汽车在雨中行驶时 司机为看清前方的道路 要启动挡风玻璃前的雨 刷 图是一个汽车雨刷示意图 雨刷杆 AB 与雨刷 CD 在 B 处固定连接 不能转动 当 杆 AB 绕 A 点转动 90 时 雨刷 CD 扫过的面积是多少呢 某同学仔细观察了雨刷的转动 情况 量得 CD 8cm DBA 20 端点 C 和 D 与 A 的距离是 115cm 和 35cm 他经认真 考虑 只选用了其中部分数据就求得了结果 请你也帮助他算一算雨刷扫过的面积 析解析解 雨刷扫过的面积是一个不规则图形的面积 需转化为规则图形面积来计算 连 AC AD 不难看出 阴影部分的面积 扇形 ACC 的面积 AD C 的面积 ADC 的 面积 扇形 ADD 的面积 由于 AD C 是 ADC 绕点 A 旋转 90 得到的 所以 AD C 的面积 ADC 的面积 故阴影部分的面积 扇形 ACC 的面积 扇形 ADD 的面积 115 32 300 六 图形平移六 图形平移 例例 6 如图 6 将 O 沿直线 L 平移得到 O 和 O 且其中一个圆经过另一个圆 的圆心 若 O 的半径为 4 求图中阴影部分的面积 析解析解 显然 由 O 平移知 图中阴影部分的面积等于一个圆的面积减去空白部分 AO B O 的面积的 2 倍 空白部分是对称的 连 AB O O O A O B 则 AB 与 O O 互相垂直平分 设垂足为 C 因为 O C O A 所以 O AC 30 从而 A O B 120 那么这个空白部分的面