大数定律在保险中的应用

论大数法则在保险业中的重要应用论大数法则在保险业中的重要应用 前言前言 研究背景及意义研究背景及意义 在现代生活中 风险无处不在 无时不有 因而只 有加强对风险的管理 才能使人们的生活更为安定 使得社会更加和谐 而保 险业就是经营风险的特殊的金融机构 它将风险从被保险人向保险人转移 从 而为被保险人提供了风险保障 当前 全球各国都非常重视保险业的发展 都在争取不断完善保险业市场 体系 不断普及全民的保险观念 稳定人民的生活 在国内 当前经济的高速 发展 人民生活水平的提高 社会保障体制改革的深化 为中国保险业的发展 提供了难得的机遇和广阔的空间 我国保险业增长迅速 保险观念日益深入人 心 保险业在国民经济中的重要性日益增强 而今 中国已经是世界上最大的潜在保险市场 但国内保险公司目前在管 理 经营理念 产品创新等方面与国际先进企业相比还有一定差距 要想持续 健康的发展 要把巨大的潜在市场转变为现实的市场 将取决于保险公司能否 提高自身的经营管理水平 所以只有具备了科学的精算理念 中国保险市场才 能真正走向成熟 而 大数法则 就是精算的基础理论之一 它对保险经营理 念的科学性起到了至关重要的作用 所以每个保险业界人士对于大数法则都应 该有个准确认识 只有深刻了解大数法则 最佳应用 才能保证保险业的稳健 经营管理 文献综述文献综述 国内外关于保险业的研究 集中从保险经营各个方面做研究 其中包括对承保风险 偿付风险以及投资风险等全方面的研究 关于保险资金 投资方面 从当代国际保险市场发展看 保险资金运用和保险业的发展己经融 为一体 很多人认为承保业务和投资业务的并驾齐驱已成为保险业发展的一种 潮流 事实上 自 20 世纪 70 年代以来 金融创新使得资本市场不断推出新的 投资工具 保险业本身的竞争日趋激烈 承保利润不断下降甚至亏损 迫使保 险监管机构与保险公司不断适应新的市场环境 全方位地加强保险资金运用业 务 来提高利润率 摩根斯坦利所说 投资是保险行业的核心任务 没有投资 就等于没有保险行业 没有保险投资 整个保险行业的经营是不能维持下去的 所以 对于保险业中承保环节以及保险资金投资环节 偿付环节中的风险管理 已经不容忽视了 张艳辉 林江 胡炳志 王兵等在相关文献中提出了大数法则对同质风险 在大量保险单之间的分摊类似于厂商理论中的规模经济性的观点 规模经济是 对生产经营成本的分摊 大数法则是风险的分散 保险经营的规模要求是保持 保险公司财务稳定性的重要条件 大数法则仍可看作规模经济性在保险领域的 特殊体现 陈正旭 黄波 2008 在研究我国保险业快速发展潜在的运营风险中 将保险业运营风险分为 承保 投资和偿付 三个环节的风险 其主要论述了 各个环节中导致风险的各个因素 这个分析框架能够较好的概括了保险业潜在 的运营风险 李恒琦在 2003 编著的 保险统计 一书中就保险中的纯保费制定 问题展开探讨 提出了观点 当被保险人很多 且达到一定数目时 保险人对 每个被保险人的将来可能支出是不确定的 但保险人的支出总额是相对确定的 保险人可以把总的赔偿金额摊到每个被保险人的头上 形成单个被保险人应交 纳的保费 于是有了简单的收支平衡 收取的纯保费总额 赔款支出总额 王建 忠 2004 在相关文献中提出偿付能力是指保险公司对保险合同规定范围内 意外事故造成的经济损失进行赔偿和给付的能力 笔者通过分析保险费结构 研究保险公司的偿付能力 杨立新 虢峰等人就责任准备金的必要性提出了见 解 考虑到了保险企业成本的不确定性 保险公司需要建立各种准备金账户来 确保其未来的偿付能力 孟良 2003 在相关文献中分析了关于财产险定价 承保 理赔的问题 并强调保险业务需要大量推销或营销 目的是达到风险单 位的高度集中 这不仅符合大数定理的要求 并且能有效提高保险公司偿付能 力 本文研究思路与结构本文研究思路与结构 本文主要从保险经营的三个环节 承保业务 投资 业务 偿付业务 的角度 论述大数法则在保险业中的重要应用 阐述了保险 业依据大数法则所建立的一个保险经营基本原理 即风险集合越大 相对风险 越小 还介绍了保险公司如何利用大数法则制定合理的纯保费 以及比较准确 地估计损失概率 另外强调了在保险资金投资时应考虑公司的偿付风险 运用 大数法则来确定投资限额 确保其不影响公司未来的偿付能力 最后还论及了 保险公司可应用大数法则来核算其可能的偿付金额 进而确定公司盈利的可能 性及大小 最后得出结论 大数法则是保险精算学的基础 要稳健经营保险业 必须深刻了解大数法则并加以应用 1 大数法则与保险业密切相关大数法则与保险业密切相关 什么是大数法则呢 大数法则又称大数定律和平均法则 即在随机现象的 大量重复出现中 往往呈现几乎必然的规律 这就是大数法则 它是用来说明 大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理 大 数法则揭示了随机现象内在的规律性 是概率论的基础理论之一 它是研究随 机变量和的极限行为 分为两部分 一是若干个随机变量和的平均的极限定理 大数定律 另一部分是关于独立随机变量之和的极限分布为正态分布的中 心极限定理 而保险是以经营风险为基础的 在日常生活中 风险事故是非常多的 然 而风险事故的发生是不确定的 客观存在的风险具有不确定性 它在时间 空 间和损失程度上都是不确定的 即风险是否发生 何时何地发生 人们事先都 无法确定 保险为风险提供保障 它将风险从被保险人向保险人转移 对单个 风险而言是一种随机现象 而对于风险总体 我们可以采用大数法则加以确定 将个别风险发生的不确定性转化为确定性 作为风险管理方式之一的保险 它 集中具有同类风险的众多单位和个人 以合理计算分担金的形式 实现对少数 成员因该风险事故所致经济损失的补偿行为 可见 大数法则与保险业密切相关 保险就是利用风险的不确定性在大数 中消失的规则来分散风险的 大数法则在保险经营中的主要作用在于使保险人 明白如何减少风险 可将企业和个人的若干风险转移到保险人 而由保险人集 中大量的企业和个人的风险 利用损失发生的相对稳定性 以达到消除不确定 性的功能 基于已有研究文献将保险业运营风险分为 承保 投资和偿付 三个环节 的风险 1 1 本文运用这一分析框架对大数法则在保险业中的应用进行研究 从 而揭示大数法则与保险业稳定健康发展的重要关系 2 2 保险业中常用的大数法则保险业中常用的大数法则 保险业是为被保险人提供风险保障的行业 它是以大数法则为数理依据 不仅是在纯保费和损失概率的确定上 而且它贯穿在整个保险经营运作过程中 尤其是保险的理念 保险经营的基本原理的建立均是以大数法则为其理论基础 的 所以 大数法则是保险业存在 发展的基础 下面我们先介绍保险业中常 用的一些大数法则 2 12 1 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 1 1 陈正旭 黄波 2008 中国保险业运营风险研究 保险研究 第 7 期 第 10 页 设 21n XXX 是由相互独立的随机变量构成的随机变量序列 每一 随机变量都有有限的数学期望 21n XEXEXE 和方差 21n XDXDXD 都存在 并且方差是一致有上界的 即存在常数 C 使得 2 1 niCXD i 则对于任意的正数 0 有 1 11 lim 11 n i i n i i n XE n X n P 这就是切比雪夫大数定律 关于随机变量的算术平均值趋于稳定的定理 它说明 尽管每个随机变量由于种种偶然因素取值都很随机变化 但是在某些 条件下 只要 n 足够大 n 个随机变量的算术平均就服从一个完全确定的规律 即 这个算术平均只能围绕一个固定常数取值 期望的算数平均值 它和这个 常数有显著偏差的可能性是很小的 这一法则应用于保险经营 可说明保险人 所收取的纯保费总额与赔偿金总额在数量上应是相等的 这为如何合理收取纯 保费提供了科学的依据 2 22 2 贝努里大数定律贝努里大数定律 在独立试验序列中 设事件 A 的概率 P A p Afn 是事件 A 在 n 次贝 努力试验中发生的频率则对于任意的 0 当试验的次数 n 时 有 1 lim pAfP n n 贝努里试验 只有两个可能结果的试验称为贝努里试验 如试验结果只 有事件 A 发生与事件 A 不发生的试验 贝努里大数定律说明只要 n 足够大 事件 A 发生的频率 Afn 就会以相当 接近于 1 的概率逼近概率 p 这正是在重复试验的次数较大时 可以用事件发 生的频率近似地代替概率的理论依据 由贝努里大数定理分析可知 若事件发 生的概率很小 说明事件发生的频率也很小 即事件很少发生 在实际中概率 很小的随机事件在个别试验中几乎不可能发生的 因此常常忽略那些概率很小 的事件发生的可能性 这就是小概率事件原理 贝努里大数定律对于保险经营 即风险管理中如何利用统计资料来估计损失概率是极其重要的 假设某一类标 的具有相同的损失概率 为了估计这个概率的值 一般会通过以往有关结果的 经验求出一个频率 这类标的发生损失的频率 在观察次数很多或观察周期 很长的情况下 这一频率将与实际损失概率很接近 2 32 3 普阿松大数定律普阿松大数定律 贝努里大数定律要求事件在每一次实验中事件都以一固定的概率发生 这 就限制了大数法则的使用灵活性 设某一事件可能在第一次试验中以概率 p1发生 第二次试验以概率 p2 发生 第 n 次试验以概率 pn 发生 用 Afn 表示 n 次试验中事件发生 的频率 则对于任意的 0 有 1 21 lim n AP ppp f n n n 这就是普阿松大数定律 它说明当试验次数无限增加时 其平均概率与观 察结果所得的频率两者差异的数值将小于任何充分小的正数 e 的概率为 1 普 阿松大数定律在保险经营中应用 可以说明尽管各个相互独立的风险单位的损 失概率可能各不相同 但只要有足够多的标的 仍可以在平均意义上求出相同 的损失概率 为了有足够多的标的 可以把性质相近的各分类标的集中在一起 分别求出各类标的的损失概率 然后求出一个整体的费率 再用调整法给以调 整 使各分类费率更加科学 同时又在整体上保证收支平衡 2 42 4 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 2 4 12 4 1 林德贝格林德贝格 勒维定理勒维定理 设 21n XXX 为一系列独立同分布随机变量 且有 E Xk D Xk 2 0 0 k 1 2 n 令 n k kX S 1 则随机变量之和 S 的标准化变量极限概率分布服从标准正态分布 即 2 1 n lim 2 2 xdtex nS P xt n 这一定理表明 若 S 是 n 个同样分布的独立随机变量的总和 且每个独立 随机变量的均值为 标准差为 那么 随着 n 趋于无穷大 标准化的变量 T n nS 近似于标准正态分布 而无论 n 个独立随机变量中的每一个变量的 分布是否服从正态分布 如果一个随机变量由众多的随机因素引起 每一因素 在总的变化里起着不显著的作用 就可以推断这些随机因素的随机变量的和近 似服从正态分布 2 4 22 4 2 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 设随机变量 n X 服从二项分布 B n p n 1 2 0 p 1 则对于任 意实数 x 有 2 1 npq lim 2 2 xdtex npX P xt n n 这个定理说明 当 n 时 二项分布 B n p 以正态分布 N np npq 为其极限分布 当 n 较大时 有 npq npa npq npb npq npb npq npX npq npa PbXap n n 中心极限定理解释了 至少是部分解释了 为什么正态分布在统计理论中 居核心的地位 对于一般保险业务的大多数险种来说 赔款额的分布都具有明 显的偏性 分布的尾巴往往向右延伸较长 若保险公司的某一险种业务要经历 很多次的赔款 我们就可以预期 作为众多个别项赔款支出总和的该业务总支 出额是近似服从正态分布的 3 3 保险业务环节中大数法则的应用保险业务环节中大数法则的应用 3 13 1 承保业务环节中大数法则的应用承保业务环节中大数法则的应用 在保险经济活动中 保险人作为组织者和经营者 通过与投保人订立保险 合同的方式 集合众多遭受同样风险威胁的被保险人 按损失分摊原则向每个 投保人收取保险费 建立保险基金 用于对某些被保险人因约定保险事故造成 的损失给与经济补偿 从而实现保险独特的社会职能 而这个过程的起始阶段 就是保险业所谓的承保业务 即与被保险人订立保险合同 建立权利与义务的 经济关系和契约关系 我们知道 保险业是以商业经营为目的的 专门从事保 险业务的行业 而保险公司以承保业务来保证企业盈利 几乎成为全球保险业 的共识 那么 在承保业务中 保险公司应该注意些什么事宜 使得其公司可 以稳定健康的发展呢 本文从大数法则角度来谈论保险业的稳健经营 3 1 13 1 1 保险业的大数法则类比厂商的规模经济性保险业的大数法则类比厂商的规模经济性 保险公司在经营保险业务时包含一个基本原理 随着承保业务量的增加 风险集合包含的个体风险越多 其相对风险越小 表明 个体风险通常有较大 的变异性 但是将大量的个体风险集中在一起 风险集合的相对变异性会大大 减少 这一特性正是保险赖以存在和发展的基础 与规模经济相比较 大数法 则建立在 大数 的基础上 即要求同质风险单位的大量性 这种大量性类似 于厂商经济行为中的规模经济性 不同之处在于 规模经济性一般是基于厂商 层面而言 是以企业为分析载体 通过对生产经营成本的摊薄而获取的收益 大数法则是基于产品层面而言 通过风险承担主体的增多 将保险产品承担的 成本与风险在更多风险单位中的摊薄 当然 大数法则中所体现的保险经营的 规模经济性是受可保风险单位数制约的 假设保险人承保了 n 个危险相同 相互独立的风险单位 相互独立且同分 布的随机变量 21n XXX 表示每个保险单位的损失量 对单个被保险人而 言 面临的损失是实际损失xi与期望损失 EX 的偏差 用 X 的标准差 x 表示 平均每个被保险人的损失与损失偏差分别为 n X xxx n 21 X n x var 1 在上式中 保险人面临的总体损失为 xn 其方差为 2 x n 标准差为 x n 而 所有单个被保险人面临的危险总和的标准差为 x n 显然 x n x n 即保险 人面临的整体危险小于所有单个被保险人面临的危险总和 所以 如果将 n 个 被保险人看成一个整体 则每个被保险人面临的平均危险随着被保险人数的增 加而减少 当然 由于保险公司风险控制技术的局限性及保险双方的信息不对 称 会出现一些异常风险单位 经营规模的扩大反而导致了经营风险的增加或 成本的提升 为使大数法则充分发挥其作用 在技术上应注意包括尽量多的相 似性质的风险单位 各风险单位价值不应过分县殊 应力求接近 各风险单位 力求相互独立 减少连锁反应损失的发生 此外 厂商扩大规模超过一定限度会产生由于管理费用等增加而带来的规 模不经济 这一物极必反的规律在大数法则中是不存在的 这也是大数法则与 规模经济的相异之处 但在某种程度上 大数法则仍可看作规模经济性在保险 领域的特殊体现 此外 从进入壁垒角度看 保险公司的规模经济是指保险业 对于行业潜在进入者的绝对资本要求 2 2 一个保险公司 要求其有足够的承保 业务规模 从而来降低风险集合的相对风险 才能使公司得以健康发展 3 1 23 1 2 纯保费以及损失概率的确定纯保费以及损失概率的确定 3 1 2 13 1 2 1 纯保费的确定纯保费的确定 保险经营过程中的收支平衡原则是根据大数法则而制定的 个别风险发生 的不确定性将在大数中消失 转为确定性的 当被保险人很多 且达到一定数 目时 保险人对每个被保险人的将来可能支出是不确定的 但保险人的支出总 额是相对确定的 保险人可以把总的赔偿金额摊到每个被保险人的头上 形成 单个被保险人应交纳的保费 于是有了简单的收支平衡 收取的纯保费总额 赔 款支出总额 这里我们就用到了大数法则的切比雪夫大数定律 即关于大量随 机变量取值其算术平均值的稳定性 设有 n 个被保险人 同时投保 n 个相互独 立的标的 假定每个标的发生都有发生损失的可能 则每个被保险人都有获得 赔款的可能 其金额是一个随机变量 分别用 21n XXX 来表示 所以 n 个被保险人实际获得的赔款总额是 n k k X 1 平均每个被保险人获得的赔款为 2 2 张艳辉 2003 保险经营过程中的大数法则与规模经济性 财贸研究 第 3 期 第 34 页 n k k X n 1 1 由于每个标的是相互独立的 所以这些随机变量都是相互独立的 21n XXX 的期望值为 E 1 X E 2 X E n X 赔款额期望的算术平 均值为 n k k X n 1 1 这样 代表金额的随机变量满足了切比雪夫大数定律的条件 所以 当 n 足够大时 平均每个被保险人实际获得赔款金额与每个被保险人获 得赔款金额的期望值的的算术平均值相等 当然任何保险公司都不可能承保无 限多个标的 但一家保险公司只要承保足够多的标的 平均被保险人实际获得 的赔款金额与每个被保险人获得的赔款金额的期望值的算术平均值之间的差异 就很小 如果把这种非常小的差异忽略不计 就可以认为二者相等 这说明 每个被保险人都要缴纳相当于其所获得赔款的期望值的纯保费 每一个保险产品的保费都是根据保险金额和一些定价假设计算出来的 我 们知道 保险公司所收取的保费 纯保费 附加费 纯保费 排除时间利息等因 素 是针对未来所有赔偿总额制定的 即纯保费总额 未来赔偿支出总额 而附 加费是以保险人经营保险业务的各种营业费用支出和保险利润为基础的 而我 们前面介绍过 大数法则的切比雪夫大数定律为纯保费的制定提供了科学方法 基础 假设某保险公司有 10000 个同阶层的人参加人寿保险 根据生命表以及 公司的以往有关经验 该公司确定一个人在一年内死亡的概率为 0 006 先拟 定一个人死亡时可获得的保险金额为 1000 元 那公司应该怎样制定其保费呢 此时 我们可以假定 i X 表示保险公司支付给第 i 户的赔偿金 则 我们知道 i X 的分布律如下图所示 计算可得 i XE 0 0 994 1000 0 006 6 i 1 2 10000 诸 i X 相互 独立 则 10000 1 10000 1 i i XX 表示的是保险公司平均对每户的赔偿额 10000 1 10000 1 10000 1 10000 1 i i i i XEXEXE 6 那么 根据切比雪夫大数定 律得 保险公司在制定保费时可取的纯保费值即为 6 元 当然 这个例子简单化了现实中的保险的风险集合 使得全部个别风险之 间独立同分布 而实际保险问题中 一般风险集合内的个别风险之间独立但不 同分布 所以 保险公司对个别风险的未来赔偿额的各自期望值有差异 这时 保险人分摊损失的方式是不同的 即当被保险人发生损失的多少和概率大致相 近时 保险人可以采取平均分摊损失总额 当被保险人发生损失的多少和概率 存在相当大的个体差异时 保险人不能简单的均摊 而是根据被保险人实际的 风险水平 风险大则多交保费 风险小则少交保费 实行差别费率 这样的做 法依然是以大数定律为基础的 3 1 2 23 1 2 2 损失概率的确定损失概率的确定 上面我们已经介绍了切比雪夫大数定律为制定纯保费提供了科学的计算方 法 而关于对损失概率的估计 又跟大数法则之间有什么联系呢 损失频率亦称损失机会 是指在一定时间内一定数目的危险单位中可能受 到损失的次数或程度 通常以分数或百分率来表示 即 损失频率 损失次数 危险单位数 根据贝努里大数定理以及普阿松大数定律 我们知道 当保险标 的数目 n 足够大时 损失频率会趋于一个稳定值 即所谓的损失概率 关于损 失概率的估计 也是保险业的一个重点内容 贝努力大数定理是关于对随机变 量的频率稳定性给出了一种数学表示形式 并论证了结论的正确性 其对于保 险经营及风险管理中如何利用统计资料来估计损失概率是极其重要的 假定某 一类的标的具有相同的损失概率 为了估计这个概率的值 一般通过以往有关 结果的经验求出一个频率 这类标的发生损失的频率 在观察次数很多或观 察周期很长的情况下 这一频率将与实际损失概率很接近 可以作为损失概率 的近似估计值 然而贝努里大数定理要求事件在每一次试验中都以一固定概率发生 这就 限制了大数法则使用的灵活性 我们知道 我们可以把贝努里大数定理看成是 普阿松大数定理的特殊情况 当且仅当事件在每次试验中都以固定概率发生 所以 这时我们可以进一步用普阿松大数定理来确定损失概率 其在保险经营 中的应用 可以说明尽管各个相互独立的风险单位的损失概率可能各不相同 但只要有足够多的标的 仍可以在平均意义上求出相同的损失概率 为了有足 够多的标的 可以把性质相近的各分类标的集中在一块 分别求出各类标的的 损失概率 然后求出一个整体的费率 再用调整法给以调整 使各分类费率更 加科学 对风险不同的各个个体风险更具有公平性 同时又在整体上保证收支 平衡 3 23 2 投资业务环节中的大数法则的应用投资业务环节中的大数法则的应用 保险公司的投资业务即保险资金的应用 是指保险公司在经营保险业务中 将积累的部分资金用于投资 使资金保值增值的活动 通过资金的应用 既可 以防止因货币贬值而影响保险公司的偿付能力 又可以使保险公司增加资产 从保险公司来看 由于保险业务竞争加剧 保险公司的承保利润实际上在不断 下降 因此 通过保险资金的有效运用可以提高保险公司的总体收益 投资业 务是保险业稳健发展不可或缺的环节 所以保险公司要考虑到保险行业的特殊 性质 包括保险企业成本的不确定性以及需要建立的保险准备金账户等 努力 做好投资环节的每一步工作 3 2 13 2 1 与厂商成本相比 保险企业成本具有不确定性与厂商成本相比 保险企业成本具有不确定性 众所周知 保险公司同一般的经营企业不同 关于企业成本的计算 一般 企业成本发生在销售以前 容易取得 再通过销售额的计算就可以得到利润 再与旅游 文化之类的服务形态的商品做比较 旅游等形成的商品生产过程和 消费过程几乎是同步进行的 生产过程的完成往往就是消费过程的结束 而保险 商品则不是这样 消费者购买的是一个对未来不确定事件的承诺 提供赔偿或保 障 这种承诺是一种信用 被保险人交纳保费在前 而未来风险及其赔偿具有 不确定性 所以保险公司是在销售产品以后 在保险事故发生时才产生成本的 即成本是在赔付时产生的 因此 保险公司的成本发生就具有不确定性 既不 知道赔付何时发生 也不知道赔付为多大 那么就产生了保险公司同一般企业 的第二个不同 即有这各种准备金账户 以满足各种成本发生时的支付 3 3 3 2 23 2 2 建立准备金账户 确定投资资金限额建立准备金账户 确定投资资金限额 我们知道 保险业是个负债经营的行业 其承保所收的资金最终都是要用 来支付赔款 或是用于未来支付 这是保险行业的特殊性质 如果只是一味地 强调资金运用 那就应该去从事信托投资 而不是经营保险业 4 4 所以保险资 金运用的基本原则之一是要明确其未来偿付义务 不管在投资业务中收益如何 要首先保证承保业务不受到影响 即保证保险的偿付能力不受影响 然而 一 些中资保险公司会出现偿付能力不足的现象 这就与过分强调保险资金运用有 关 导致公司经营的不稳健 那么 保险公司要怎样来确定公司的投资资金限 额呢 根据上面考虑到了保险企业成本的不确定性 我们需要建立各种准备金 账户来确保其未来的偿付能力 那么准备金是怎样产生的呢 怎样才能既不影 响赔付的支出 也不影响到公司的投资呢 这其中又是什么原理使其稳定经营 的呢 一样的 我们还是用大数法则来确定准备金的多少 进而可以放心经营 3 3 李恒琦 2003 保险统计 M 成都 西南财经大学出版社 第 40 页 4 4 李亚敏 2007 我国保险资金运用问题研究 复旦大学博士论文 第 15 页 公司的投资业务 保险准备金是指保险公司为承担未到期责任和处理未决赔款而从保险费收 入中所提取的资金 提取保险准备金的目的实际上也是为了确保保险公司具有 最低的偿付能力 所以 确定准备金 就转为确定未来可能发生的偿付风险上 一般的 保险公司都会先确定一个未来自信偿付的概率 进而确定保险准备金 的最低额度 从而来保证未来的偿付能力不受影响 这里我们通常会用到的是 中心极限定理 确定了总体风险的正态分布 就可以求出满足一定自信偿付概 率需要的最低保险准备金额 从而可进行保险资金的投资应用 假设某保险公司承保了同质风险保单 1000 份 每份保单的保险金额为 10000 元 其发生索赔的概率为 0 01 安全附加系数 为 0 1 如果保险公司 希望以 95 的概率确保它能履行赔付责任 此时公司就该考虑到保险准备金多 少的问题 这里又要用中心极限定理来核算准备金 设 H 为保险公司提取的保 险准备金 而 21n XXX 表示的是各个投保人的投保风险的索赔变量 用 n XXXS 21 来表示保险人承保的总风险 即保险人的总损失为 n 个个体 损失之和 由已知得 i XE 100 i XD 990000 从而 SE 100000 SD 990000000 令 1 HSESP 5 5 0 95 根据中心极限定理 即 林德贝格 勒维定理 我们知道 n 个独立同分布的随机变量之和将近似服从 正态分布 即 95 0 SD SEH SD SES P SD SEH 查标准正态分布函数值表 则有 SD SEH 1 645 将 SD 990000000 代入 解出 H 41758 72 因此保险 公司保留 41758 72 元责任准备金就可以有 95 的把握保证其未来的偿付能力 3 33 3 偿付业务环节中大数法则的应用偿付业务环节中大数法则的应用 我们知道 保险即保障风险 被保险人通过投保方式把未来发生损失事故 的风险转移到保险人身上 所以 当未来某一时期 风险事故发生时 被保险 人就有权利要求保险人为损失做出偿付行为 所以 为了加强公司偿付能力的 监管 维护被保险人利益 促进保险公司的健康 稳定 可持续的发展 公司 就要研究其偿付风险 研究怎样可以提高公司的偿付能力 核算其未来可能的 5 5 荆涛编 2003 保险学 M 北京 北京对外经济贸易大学出版社 第 40 页 总保险费 P 的结构 P E A R 其中 E 表示预期赔偿总额 即纯保费 A 表示保险公司的管理费用等 R 表示风险服务费 A R 可称为附加保险费 而附加保险费一般用预期赔款总额的一定比例 E 表示 所以 P E E 称为安全附加系数 偿付金额 进而确定公司盈利的可能性以及盈利的多少 从而观察是否实现了 公司的发展目标 3 3 13 3 1 扩展承保业务量可提高偿付能力扩展承保业务量可提高偿付能力 保险以足够数量的经济单位和个人所交纳的保险费 来分摊少数不幸单位 和个人的经济损失 因此大数法则是现代保险经营的数理基础 利用这一原理 可将个别危险单位遭遇损失的不确定性 变成多数危险单位可以预知的损失 使保险费的估算准确公正 因此扩大承保业务量有利于提高保险人的偿付能力 假设某保险公司开展某项保险业务 其保险金额为 10000 元 每份保单发 生索赔的概率为 0 01 安全附加系数以 0 1 计算 保险公司希望以 95 的把握 保证偿付能力 它必须扩展此项业务到多少份保单呢 此时我们假设保险公司 承保保单数目为 n 因 n XXXS 21 来表示保险人承保的总风险 即保险 人的总损失为 n 个个体损失之和 由已知得 i XE 100 i XD 990000 从 而 SE 100n SD 990000n 令 95 0 1 01 SESP 即 95 0 1 0 SD SE SD SES P 1 0 SD SE 查标准正态分布函数值表 则有 1 0 SD SE 1 645 将将具体数值入 解出 n 26790 于是保险公司希望以 0 95 的概率确保它的偿付能力那么保险业务应扩展到 26790 份保单以上 3 3 23 3 2 核算未来可能的偿付金额 确定公司的盈利性核算未来可能的偿付金额 确定公司的盈利性 中心极限定理对保险业具有指导性的意义 一个保险公司的亏盈 是否破 产 我们通过学习中心极限定理的知识都可以做到初步估算和预测 我们可以 来看下面的例子 是关于大数法则里面的中心极限定理在保险偿付业务中的应 用 公司通过研究其偿付风险 进而确定公司盈利的可能性以及盈利的多少 从而观察是否实现了公司的发展目标 如果在一家保险公司里 已有资料显示 有 10000 人参加保险 每人每年付 12 元保险费 一年死亡的概率为 0 006 死亡时其家属可向保险公司领得 1000 元 此时该公司可依据中心极限定理 设 表示一年内参保人的死亡数 则 B 10000 0 006 首先公司可以确定其是否会发生亏本 即其未来偿付总额是否会超过纯保 费总额 假设 12 10000 1000 120 公司才亏本 而 P 120 1 P 0 120 1 994 0 006 010000 006 0 10000120 994 0 006 0 10000 006 0 100000 0 所以 公司可以确定不会发生亏本 进一步 公司还可以确定未来获得可能利润的机会 假设公司该业务的 目标利润为 60000 元 公司想知道这个目标实现的可能性 建立满足改条件的 表达式 即 12 10000 1000 6000 60 P 0 60 994 0 006 0 10000 006 0 1000060 994 0 006 010000 006 0100000 0 5 所以该公司可确定 有 50 的机会可以实现 60000 元的目标利润 4 4 结论结论 本文讨论了大数法则与保险业稳健发展的密切相关性 主要从保险的三个 业务环节来说明大数法则在保险业中的重要应用 1 在保险的承保业务环节 经营保险业务时随着承保业务量的增加 风 险集合包含的个体风险越多 其相对风险越小 这一特性正是保险赖以存在和 发展的基础 而保险经营过程中的收支平衡原则是根据大数法则而制定的 个 别风险发生的不确定性将在大数中消失 转为确定性的 即可利用切比雪夫大 数定律帮助计算出保险的纯保费 而贝努力大数定理和普阿松大数定理是对随 机变量的频率稳定性给出了一种数学表示形式 其对于保险经营及风险管理中 如何利用统计资料俩估计损失概率是极其重要的 2 在保险的投资业务环节 首先就要确保保险资金的投资不会影响 到未来的偿付能力 考虑到保险业成本不同与一般经营企业的成本 它是发生 在未来赔付时而且具有不确定金额 所以 要建立各种准备金账户来确保其未 来的偿付能力 保险公司根据已确定的未来自信偿付概率 利用中心极限定理 确定保险准备金的最低额度 从而来保证未来的偿付能力不受影响 同时也不 影响到公司的投资进而可以放心经营公司的投资业务 3 在保险的偿付业务环节 大数法则的应用也是非常重要的 公司应用 大数法则研究其偿付风险 得出通过提高承保量可以提高公司的偿付能力 还 应用中心极限定理核算其未来可能的偿付金额 进而确定公司盈利的可能性以 及盈利的多少 从而观察是否实现了公司的发展目标 总而言之 大数法则与保险业密切相关 它贯穿在整个保险经营运作过程 中 尤其是保险的理念 保险经营的基本原理的建立均是以大数法则为其理论 基础的 所以要稳健经营保险公司 必须深刻了解大数法则 本论文的以后进一步的研究方向 关于大数法则在保险营销中的应用以及 保费的资本资产定价模型建模分析 参考文献参考文献 1 陈正旭 黄波 2008 中国保险业运营风险研究 保险研究 第 7 期 2 龚德恩 2005 概率统计 M 成都 四川人民出版社 3 胡炳志 王兵 2000 我国保险公司的最佳经济规模分析 保险研究 第 10 期 4 侯亚红 2001 略论数学在保险教育中的作用 山西财政税务专科学校学报 第 2 期 5 荆涛编 2003 保险学 M 北京 北京对外经济贸易大学出版社 6 李恒琦 2003 保险统计 M 成都 西南财经大学出版社 7 李亚敏 2007 我国保险资金运用问题研究 复旦大学博士论文 8 林江 2005 论保险公司的规模经济 财贸经济 第 8 期 9 李晓林 1999 风险统计 M 北京 经济科学出版社 10 孟良 2003 财产险中的大数法则 上海保险 第 12 期 11 唐莉 李雁如 2005 大数定律与中心极限定理的实际应用 广东技术师范 学院学报 第 6 期 12 王建忠 2004 中心极限定理在分析保险偿付能力中的应用 统计应用 第 10 期 13 王晓军 江星等 1995 保险精算学 M 北京 中国人民大学出版社 14 谢志刚 韩天雄 风险理论与非寿险精算 M 天津 南开大学出版社 15 杨立新 虢峰 1996 保险赔偿实务 法律出版社 16 张艳辉 2003 保险经营过程中的大数法则与规模经济性 财贸研究 第 3 期 17 Andrew Kuritzkes Til Schuermann and ScottM Weiner 2002 Risk Measurement Risk Management and Capital Adequacy in Financial Conglomerates The Wharton Financial Institutions Center Working Paper 18 M Santomero and David F Babbe l 1997 Financial Risk Management by Insurers An Analysis of the Process The Journal of Risk and Insurance 6 230 13 19 Roger Kenney 2000 Fundamentals of Fire and Casualty Insurance Strength The Insurance Studies 5 致谢致谢 本论文的工作是在我的导师漆莉莉教授的悉心指导下完成的 漆莉莉教授 严谨求实的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响 本文从选题 构思到写作 修改 定稿 自始至终都离不开导师的关心和指导 凝聚着导师 的心血 这四年来 导师不论在学习和生活上都给予了我很大的关怀和帮助 导 师豁达的思想 平易近人的风格都使我受益匪浅 铭记在心 在论文即将完成 之际 特此向漆莉莉导师表示由衷的感谢 也对四年来给予我教诲和热心帮助的 各位敬爱的老师致以诚挚的谢意 对在百忙之中抽出时间评阅我的论文 参加论 文答辩评审的各位老师致以深深的谢意 感谢我的同学 他们的智慧和友善使我 的学习生活更加快乐 感谢我的父母 他们的理解和支持使我能够在学校专心完 成我的学业 本论文的工作是在我的导师宁丽娟的悉心指导下完成的 宁丽娟老师严谨求实 的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响 本文从选题 构思到写 作 修改 定稿 自始至终都离不开导师的关心和指导 凝聚着导师的心血 这半 年来 导师不论在学习和生活上都给予了我很大的关怀和帮助 导师豁达的思想 平易近人的风格都使我受益匪浅 铭记在心 在论文即将完成之际 特此向宁丽 娟导师表示由衷的感谢 也对四年来给予我教诲和热心帮助的各位敬爱的老师致 以诚挚的谢意 对在百忙之中抽出时间评阅我的论文 参加论文答辩评审的各位 老师致以深深的谢意 感谢我的同学 他们的智慧和友善使我的学习生活更加快 乐 感谢我的父母 他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业 07级4班 谭喜凤 2011年5月 李恒琦在 2003 年编著的 保险统计 一书中对纯保费制定的问题进行了分 析 提出了观点 当被保险人很多且达到一定数目时 保险人对每个被保 险人将来的可能支出是不确定的 但对保险人的支出总额是相对确定的 保险人可以把总的赔偿金额摊到每个被保险人的头上 形成单个被保险人 应缴纳的保费 于是有了简单的收支平衡 收取的纯保费总额 赔款支出总 和 而保险经营过程中 这种收支平衡原则就是根据大数法则制定的 个 别风险发生的不确定性将在大数中互相抵消 转化为确定性 虽然保险人 对每个被保险人将来的收支是不确定的 但当被保险人数很多时 保险人 对大量被保险者的收支总额却是相对确定的 此时 保险人可以取其平均 值将其分摊到被保险者身上 形成原始的纯保费 这里就运用到了切贝晓 夫大数定律 陕西师范大学本科生毕业论文 设计 写作技术规范 一 毕业论文 设计 主要构件 一 封面 二 论文正文部分 三 参考文献 四 致谢 二 各构件的内容及技术规范 一 封面的内容及技术规范 1 封面由学校或院系统一印制 具体内容由学生打印或填写 2 封面的技术规范 封面内容的填写或打印 要美观 工整 清晰 提交论文的具体时间 用汉字 打印或书写 如二 五年四月 外语等特殊专业除外 二 论文正文部分的内容及技术规范 1 本科生毕业论文 设计 的基本格式 文科类参照 陕西师范大学学报 哲学社会科学版 理工科类参照 陕西师范大学学报 自然科学版 的 格式要求打印 但是不分栏排版 特殊学科专业学生的毕业论文 设计 写作 格式可由院 系 统一规定 为了与下角零相区别 理工科类毕业论文 设计 中的句号可使用实心点 建 议同一专业的学生使用同一标准 2 论文正文部分的内容及字体要求 1 总题目用 3 号宋体 加粗 副标题用小 3 号宋体 2 姓名用 4 号楷体 3 作者有关信息括号内的具体单位 地址 邮编用小 4 号宋体 4 摘要 两字用小 4 号黑体 中间空一字 摘要的具体内容用小 4 号楷 体 约 200 300 字 行距为 20 磅 5 关键词 三个字用小 4 号黑体 关键词的具体内容用小 4 号楷体 3 5 个 6 论文主体部分 论文一级标题 4 号宋体 加粗 论文二级标题 小 4 号宋体 加粗 论文主体部分除一级 二级标题外 全部用小 4 号宋体 行距为 20 磅 7 英文题名 英文作者署名及单位 英文摘要 英文关键词 与中文一一 对应 置于参考文献之后 8 英文总题目用 Times New Roman 四号字体 加粗 副标题用 Times New Roman 小 4 号字体 9 英文作者署名及单位用 Times New Roman 小 4 号字体 10 英文摘要 Abstract 用小 4 号黑体 加粗 具体内容用 Times New Roman 小 4 号字体 11 英文关键词 Key Words 用小 4 号黑体 加粗 几个关键词均用 Times New Roman 小 4 号字体 三 参考文献及注释的技术规范 毕业论文 设计 参考文献及注释的格式相应地参照 陕西师范大学学报 哲学社会科学版 和 陕西师范大学学报 自然科学版 的要求执行 详 细如下 1 文科参考文献及注释技术规范 注释是对文章篇名 作者等及文内某一特定内容的进一步解释或补充说明 篇 名 作者注置于当页地脚 文内有关特定内容注可夹在文内 加圆括号 也 可置于当页地脚 注释序号用带圆括号的阿拉伯数字表示 参考文献采用顺序编码制 在引文处按引用文献在论文中出现的先后顺序用阿 拉伯数字连续编码 序号置于方括号内 同一文献在一文中被反复引用者用第 一次出现的序号标示 属著作者应在序号后加圆括号注明页码或章 节 篇名 文后参考文献表的排列顺序以正文出现的先后为准 表上以 参考文献 作为标示 序号左顶格 用阿拉伯数字加方括号标示 每一条目的最后均以实 心点结束 参考文献表置于文末 按 GB T 7714 2005 文后参考文献著录规 则 其格式为 1 专著 含以各种载体形式出版的普通图书 古籍 学位论文 会议文集 汇编 多卷书 丛书等 序号 主要责任者 题名 其他题名信息 文献 类型标志 其他责任者 版本项 出版地 出版者 出版年 引用页码 示例 1 余敏 出版集团研究 M 北京 中国书籍出版社 2001 179 193 2 中国社会科学院语言研究所词典编辑室 现代汉语词典 M 修订本 北 京 商务印书馆 1996 258 260 3 王夫之 宋论 M 刻本 金陵 曾氏 1845 清同治四年 2 专著中的析出文献 序号 析出文献主要责任者 析出文献题名 文献类型标志 析出文献其他责任者 专著主要责任者 专著题名 其他题名 信息 版本项 出版地 出版者 出版年 析出文献起至页码 示例 1 马克思 关于 工资 价格和利润 的报告札记 M 马克思 恩格斯 马克思恩格斯全集 第 44 卷 北京 人民出版社 1982 505 2 卞葆 编辑体制改革中的质量管理工作 C 田胜立 出版转制与编辑工 作 中国编辑学会第九届年会论文集 北京 中国大百科全书出版社 2005 67 70 3 期刊中的析出文献 序号 主要责任者 文献题名 J 刊名 年 卷 期 起至页码 对于合期中的析出文献 在圆括号内注明合期号 示例 1 钱志熙 论唐诗体裁系统的优势 J 陕西师范大学学报 哲学社会科学 版 2005 34 4 49 55 2 郭沫若 社会革命的时机 J 洪水 1926 1 10 11 4 报纸中的析出文献 序号 主要责任者 文献题名 N 报纸名 出版 日期 版次 示例 1 丁文祥 数字革命与竞争国际化 N 中国青年报 2000 11 20 15 5 电子文献 主要责任者 题名 其他题名信息 文献类型标志 文献载 体标志 出版地 出版者 出版年 更新或修改日期 引用日期 获取和访 问路径 示例 1 江向东 互联网环境下的信息处理与图书管理系统解决方案 J OL 情 报学报