大学高等数学上册竞赛试卷与答案

第 1 页 共 8 页 命题人 试卷分类 A 卷或 B 卷 A 高等数学竞赛 第一组 高等数学竞赛 第一组 试试 卷卷 专业 班级 姓名 学号 题号一二三四五六七八九十总分 得分 一 选择题 40 分 题号12345678910总分 选项 1 设 且 则 nnn yzx 0 lim nn n xy n n z lim A 存在且等于零 B 存在但不一定等于零 C 不一定存在 D 一定不存在 2 设的某个邻域内有定义 则处可导的一个充分条件是 f x 在x a f x 在x a A B 1 lim h h f af a h 存在 0 lim h f a 2h f a h 存在 h C D 0 lim h f a h f a h 存在 2h 0 lim h f a f a h 存在 h 3 设为在上应用拉格朗日中值定理的 中值 则 arctanf xx 0 b 2 2 0 lim b b A 1 B C D 1 2 1 3 1 4 4 若 且 则 2 1 0 fxx x 1 2f f x A B C D 2x 1 ln2 2 x 2 x 1 x 5 设 则 222 D xya D Ixydxdy A 0 B C D 4 2 a 4 a 4 a 6 若的二阶导数存在 且 则上 f x 0 0 0fxf 0 f x F xx x 在 A 单调增加 B 单调减少 C 有极小值 D 有极大值 试卷编号 第 2 页 共 8 页 7 设是曲线与直线所围成区域的整个边界曲线 是连续函数 则L 2 yx yx f x y 曲线积分 L f x y ds A 11 2 00 f x xdxf x x dx B 11 2 00 2f x xdxf x xdx C 11 24 00 1 9 2f x xx dxf x xdx D 1 24 1 1 9 2 f x xxf x xdx 8 设直线 L 平面 则它们的位置关系是 3102 123 zyx zyx 224 zyx A B L 在上 C D L 与斜交 L L 9 设函数在上连续 且 则对任何 有 f xg x与 0 1 f xg x 0 1 c A B 11 22 cc f t dtg t dt 11 22 cc f t dtg t dt C D 11 cc f t dtg t dt 11 cc f t dtg t dt 10 设为不恒等于零的奇函数 且存在 则函数 f x 0 f f x g x x A 在处左极限不存在 B 有跳跃间断点0 x 0 x C 在处右极限不存在 D 有可去间断点0 x 0 x 二 10 分 已知数列 如果数列 且存在 求 12 0 nnnn UUUU 且 1 n n n U X U lim n n XA A 第 3 页 共 8 页 三 10 分 设 试确定 的值 使都存在 1 lim 2 212 Nn x bxaxx xf n n n ab与 lim 1 xf x lim 1 xf x 四 10 分 设连续且 已知 求 f x 2 0 1 2 arctan 2 x tfxt dtx 1 1f 2 1 f x dx 五 10 分 设 其中 问 2 Aab Bkab 1 2 abab 且 1 为何值时 kAB 2 为何值时 以为邻边的平行四边形面积为 6 kAB和 第 4 页 共 8 页 六 10 分 设函数 在点 1 1 处可微 且 zf x y 1 1 1 1 1 1 1 2 3 ff f xy 求 xf x f x x 3 1 x d x dx 七 10 分 计算 其中 222 coscoscos Ixyzds 222 0 xyzzh 是 是此曲面的外法向量的方向余弦 cos cos cos 第 5 页 共 8 页 命题人 试卷分类 A 卷或 B 卷 A 高等数学竞赛高等数学竞赛 试试 卷卷 专业 班级 姓名 学号 题号一二三四五六七八九十总分 得分 一 选择题 40 分 题号12345678910总分 选项 1 设 且 则 C nnn yzx 0 lim nn n xy n n z lim A 存在且等于零 B 存在但不一定等于零 C 不一定存在 D 一定不存在 2 设的某个邻域内有定义 则处可导的一个充分条件是 D f x 在x a f x 在x a A B 1 lim h h f af a h 存在 0 lim h f a 2h f a h 存在 h C D 0 lim h f a h f a h 存在 2h 0 lim h f a f a h 存在 h 3 设为在上应用拉格朗日中值定理的 中值 则 C arctanf xx 0 b 2 2 0 lim b b A 1 B C D 1 2 1 3 1 4 4 若 且 则 C 2 1 0 fxx x 1 2f f x A B C D 2x 1 ln2 2 x 2 x 1 x 5 设 则 B 222 D xya D Ixydxdy A 0 B C D 4 2 a 4 a 4 a 6 若的二阶导数存在 且 则上 A f x 0 0 0fxf 0 f x F xx x 在 A 单调增加 B 单调减少 C 有极小值 D 有极大值 试卷编号 第 6 页 共 8 页 7 设是曲线与直线所围成区域的整个边界曲线 是连续函数 则L 2 yx yx f x y 曲线积分 D L f x y ds A 11 2 00 f x xdxf x x dx B 11 2 00 2f x xdxf x xdx C 11 24 00 1 9 2f x xx dxf x xdx D 1 24 1 1 9 2 f x xxf x xdx 8 设直线 L 平面 则它们的位置关系是 C 3102 123 zyx zyx 224 zyx A B L 在上 C D L 与斜交 L L 9 设函数在上连续 且 则对任何 有 D f xg x与 0 1 f xg x 0 1 c A B 11 22 cc f t dtg t dt 11 22 cc f t dtg t dt C D 11 cc f t dtg t dt 11 cc f t dtg t dt 10 设为不恒等于零的奇函数 且存在 则函数 D f x 0 f f x g x x A 在处左极限不存在 B 有跳跃间断点0 x 0 x C 在处右极限不存在 D 有可去间断点0 x 0 x 二 10 分 已知数列 如果数列 且存在 求 12 0 nnnn UUUU 且 1 n n n U X U lim n n XA A 解 1 111 11 1 1 nn n n nnnn n UU X U UUUX U 两边取极限得 即 1 1 A A 2 10AA 解得 负值舍去 15 2 A 所以 15 2 A 第 7 页 共 8 页 三 10 分 设 试确定 的值 使都存在 1 lim 2 212 Nn x bxaxx xf n n n ab与 lim 1 xf x lim 1 xf x 解 当时 故 1x 221 limlim0 nn nn xx 2 f xaxbx 当时 1x 1 f x x 11 2 11 1 1 lim 1 lim 1 11 1 1 lim lim 1 1 xx xx xf xf xabab x f xaxbxx xf xabf xab x 所以 0a 1b 四 10 分 设连续且 已知 求 f x 2 0 1 2 arctan 2 x tfxt dtx 1 1f 2 1 f x dx 解 令 则2txs 22 02 2 2 2 xxxx xxx tfxt dtxs f sdsxf s dssf s ds 已知条件化为 22 2 1 2 arctan 2 xx xx xf s dssf s dsx 求导并化简得 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 x x x f s dsxfxf xxfxxf x x 即 2 4 2 1 x x x f s dsxf x x 令 再利用 得 即1x 1 1f 2 1 1 2 1 2 f s ds 2 1 3 4 f x dx 五 10 分 设 其中 问 2 Aab Bkab 1 2 abab 且 1 为何值时 kAB 2 为何值时 以为邻边的平行四边形面积为 6 kAB和 解 1 为使 则 即AB 0A B 22 22 2 22 2 cos2 cos 22 222 24480 ab kabk akb ab ab k ak b ab ab kkk 所以 2k 2 2 2 2 2 2 sin 2 2 2 6 SA Babkab k aak b aa bb b kbakb a k 解得 51kk 或 第 8 页 共 8 页 六 10 分 设函数 在点 1 1 处可微 且 zf x y 1 1 1 1 1 1 1 2 3 ff f xy 求 xf x f x x 3 1 x d x dx 解 由题设 1 1 1 1 1 1 1fff 32 11 3 xx dd xx dxdx 1212 1 3 x f x f x xfx f x xf x xfx x 3 2 3 2 3 51 七 10 分 计算 其中 222 coscoscos Ixyzds 222 0 xyzzh 是 是此曲面的外法向量的方向余弦 cos cos cos 解 方法一 2222 2222 cos 0 yzyz DD xdsx dydzx dydzx dydz zydydzzydydz 前后 同理 2 cos0yds 所以 2222 cos x