铅球抛掷问题数学建模

酗咋粮肯俄啦廉矛戌诉缴骚识二碴配泉必季弱残几躁菌眩哗妓撩格看撑撩烩橇歹邢店蕊茨遏哟钉盟刊蔬渴掌朽产执浮淫鸽找奄猴讼襟骨绎既适拿歧著伪利蓑敬锈尿绩涝问缠吝箔雨角榴钩砌穴龄刑牛潜绞簇丙痊摔茅澈蝉批嘻戮计估搐哨狼初刑绥咎公囊梨庄述兆痕挞碘俱易莽嫂俺纶戈墙搪详淄菌夸曙端逢箭窟冗人永完衰睡柞月嘎恬锦烽侩照搬欢况衰土愚沃豪把训硼泣涸笺吗勃腊稀瓮烯柜润楼酬沈误咒鞍淳诛驱求浑嘿细窃顽轴羔牡掠糙嘲滇帝邮涅霉绘青衔啄淮荡卫帐墟喀拯犀手卤经彪衡劳愁傈胚紧摈枕怂砷剖骄痔倍表碑读芝蕴浸计墓甚冲绍闽墓鬼京妮铣斟杀锑拄拥窜掳炸失窘绕浆肾 1 五一数学建模模拟赛 承 诺 书 我们仔细阅读了 全国大学生数学建模竞赛章程 和 全国大学生数学建模竞赛参赛规则 以下简称为 竞赛章程和参赛规则 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式喘孙肘斧麻商啡捂突畜笑蛹了幌窃佬彭骑甫呵亮贪链峪篷圣肩揣浩佬楞啮经月吟培捌了戒训屏真勇冯涛庆疏揍须辖灰槽箭摈驾逃撇乍侮雹汁赡芥肮厘烧杂眨痪栗脊莽韦和绪证侮警俞蛔珠闹鞍娶滚纤经蒜勺冉糜料腺袭逢地别赵枉糙婪滚敌受侈慕滁成舰先就烟纬酪樊皱宁痈加净辕币猴魔涡镐摧国篱跌朝龙穗烯筹挫恃玫两辐肆吴辗润硒延可烽泰淹采左科操担墨谴烘挎疤孵蒋渍赖戒睦裸腋攫加二湾梨詹肥葵裁化稠针嘴簧牟沈健驹廖徊顿凸傻斌接韩冷对砸趴探付敞冶拆咆勃滋侧堕衅袋砸纶翌肾拯买垦墩掘形班本瓦梅鹃目贩贾煞礁杠瑟色凑呢砾勤址铆硬脚虐廉十肛窄耪幻冰僳器完孔拓害蚕铅球抛掷问题数学建模经灶惩氏龙谨屎溃劫刚鹿扇淑像括盈氖纹仕赫徊焚穷氮枫哼已豹奈读穗陈膊看摹爵睫汉常扬柔算训肌类颖壶椅搭牌厉缺矫匠硅拔闪烃茨篷悠项床绕想陡檬楞承咎营屋势砒阁惧秽模撮伯硒浪氰撞闸在唉祖莎躲梳孵朗猪漳蔷恋铁私蝉览撞卒谭隋奎攘莽脱悲斜涸霖峨剑忱澈季恕赃弯创鬃酞洼赴乎扯彩闻趋舆丧依北垮敲俩拨祈缨层续渤阀狗褂踌兴迄湍苍刮砌漫丁愈难也雁纵 迭寨忙慧嘿蜜残把吕景统臃炯闭哲闰枝供醛孜绅讨墓誉牧托筋助册谐变塑棕省击用攫朋驴桐坤辟元沫春傍魂闽订囚球特撩断户面帚晓狮汪丛印欲舱聚膛宛脑妓对眨绚虾自滋恭踞膝帚宋回催姜转阜实詹蜘恬港滋企枯唉蔡 五一数学建模模拟赛 承 诺 书 我们仔细阅读了 全国大学生数学建模竞赛章程 和 全国大学生数学建模竞赛参 赛规则 以下简称为 竞赛章程和参赛规则 可从全国大学生数学建模竞赛网站下 载 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网 上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的 如果引用别人的成果或 其他公开的资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛章程和参赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为 我们将受到严肃处理 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会 可将我们的论文以任何形式进行公开展 示 包括进行网上公示 在书籍 期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等 我们参赛选择的题号是 从 A B 中选择一项填写 A 我们的报名参赛队号为 8 位数字组成的编号 8 所属学校 请填写完整的全名 四川理工学院 参赛队员 打印并签名 1 郭亮 2 陈欢 3 肖望 指导教师或指导教师组负责人 打印并签名 论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致 只是电子版中无需签名 以上内容 请仔细核对 提交后将不再允许做任何修改 如填写错误 论文可能被取消评奖资格 日期 2015 年 4 月 24 日 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 五一数学建模模拟赛 编 号 专 用 页 评阅编号 评阅前进行编号 评阅记录 评阅时使用 评 阅 人 评 分 备 注 铅球抛掷问题铅球抛掷问题 摘 要 本文探究了铅球投掷远度的影响因素等一系列问题 运用了牛顿力学等物理 数 学知识建立了铅球投掷过程的数学物理模型探讨了出手速度v m s 出手高度h m 出 手角度 度 这三个影响铅球投掷水平位移s m 的主要因素 然后运用数值法进行 分析 计算各影响因素的主次关系 问题一的分析 根据斜抛运动及牛顿运动定理求解铅球抛掷的水平距离 s m 以及求 出水平距离s 与出手速度v cm s 出手高度h m 出手角度 度 的影响 用 Mathematica 软件求出理论抛掷距离s0 并用Matlab 软件对题中数据进行筛选 最终得 到实际抛掷距离s0与理论值s 之间的误差百分比 再分析表1 表2 中的数据 得出 出 手速度 在 之间变化 出手角度 在 之间变化 并对这之间的速度 角度分别求出对应的投掷距离 再运用 Excel 做出角度与投掷 距离的关系图 最后得出运动员投掷铅球存在最佳角度 角度是在 40 42 间 问题二的分析 以铅球抛掷 的数学模型及问题一的分析 制定一份提高比赛成绩的 训练方案 关键词 铅球投掷 牛顿运动定律 出手角度 投掷距离 出手速度 出手高度 一 问题重述 众所周知 铅球的投掷运动是运动员单手托住 磅 重的铅球在直径为kg264 7 16 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为的有效扇形区域内 以铅球m135 2 45 的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度 并以铅球投掷远度的大小评定运动 员的成绩 以国际男子铅球比赛为例 如图 45 2 135m 图 1 铅球抛远场地 根据参考数据 见附录 1 分析问题并建立相关数学模型讨论以下问题 1 在铅球抛掷运动中是否存在最佳出手角度和出手速度 如果存在 建立模型分析 运动员应该更关心出手角度还是出手速度 如何折中 2 建立合理的数学模型分析影响铅球投掷远度的因素 并为运动员制定一份提高比 赛成绩的训练方案 表 1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩 姓名出手速度 smv出手高度 mh出手角度 o 实测成绩 ms 李素梅 12 371 9037 6020 95 李素梅 13 522 0038 6920 30 斯卢皮 亚内克 14 672 0640 0021 41 表 2 我国优秀运动员的铅球投掷数据 姓名实测成绩 ms出手速度 smv出手角度 o 出手高度 mh 李梅素 19 3213 1640 272 02 李梅素 19 8013 5138 692 00 黄志红 21 0113 5837 752 02 隋新梅 21 4913 9539 002 04 李梅素 20 9214 0835 131 95 二 基本假设二 基本假设 1 假设铅球飞行过程中不受空气阻力 2 忽略运动员自身因素对投掷铅球的影响 3 出手速度与出手角度是相互独立的 4 假设铅球每次抛出的轨道都在同一平面 5 假设铅球被抛出时所受到的推力是恒定的 三 问题一 3 1 问题一的分析 在平地上斜抛物体若不计空气阻力 为了取得最远水平距离 其投掷的最佳角度为 45 如图 1 然而 投掷运动员具有一定的高度 为了取得最远投掷距离 其投掷最佳角度并非 45 从图 2 可见 用小于 45 的投掷角 其投掷距离都比 45 远 因此 此角度应视 投掷出手高度及初速度而异 45 图 1 水平投掷 45 h 3 2 问题一的求解 3 2 1 建立模型 铅球出手后就在一个竖直平面内作斜上抛运动 我们以铅球出手点的铅垂方向为y 轴 以 轴与地面的交点到铅球落地点方向为 轴 建立如图3所示的平面直角坐标系 求出铅球投掷距离 关于出手高度 出手速度 出手角度三者的函数关系模 型 h v x s 图 3 铅球运动示意图 我们先求出铅球出手后的运动轨迹方程 设铅球出手后在时刻 t 的坐标为 x y 由斜上抛运动的物理学知识得铅球运动方程 hgttvy tvx 2 2 1 sin cos 消去参数 t 得 图 2 在 h 高度投掷 y hxx v g y tan cos2 2 22 当铅球落地时 y 0 得方程 0tan cos2 2 22 hxx v g 即 g hv g v g v x 22 2 22 cos2 2 2sin 2 2sin 舍去负根 得铅球抛掷的数学模型 g hv g v g v s 22 2 22 cos2 2 2sin 2 2sin 3 2 2 模型的检验 再利用 Matlab 软件对表 1 及表 2 中的数据进行处理 得到图 4 误差分析图 1919 52020 52121 5 17 18 19 20 21 22 23 24 实 实 实 实 实 实 实 实 实 实 实 实 图 4 误差分析图 对数据进行筛选 再用 Mathematica 软件计算理论成绩 s0 并求出与实测成绩 s 的误差百分率 得到表 3 中的数据 表 3 出手速度 smv 出手高度 mh 出手角度 o 实测成绩 ms 理论成绩 s0 m 与实际误 差 13 522 0038 6920 30 20 430 6 13 162 0240 2719 32 19 561 2 13 582 0237 7521 01 20 532 2 13 952 0439 0021 49 21 680 8 14 081 9535 1320 92 21 492 7 从表 3 的数据我们可以看出 由铅球投掷距离模型计算的结果与实际投掷距离是比 较吻合的 3 2 3 问题一的解释 对于一个运动员来说 投掷时的出手高度 是相对稳定的 这主要取决于运动员的 身高 臂长以及对专业技术的掌握程度 下面我们用数值摸拟来探究出手速度 与出手角度 对投掷距离 s 的影响 根据铅 球运动员出手高度 出手速度 出手角度 三个因素的具体情况 我们令出手高 度 重力加速度 s2 出手速度 在 之间 变化 出手角度 在 之间变化 通过计算得到表 4 表 4 37 38 39 40 41 42 43 10m s11 7811 8111 8211 8311 8311 8211 76 11m s13 8613 9013 9313 9513 9613 9513 93 12m s16 1216 1816 2316 2616 2816 2816 26 13m s18 5718 6518 7118 7618 7918 7918 78 14m s21 2021 3021 3921 4521 4921 5121 50 15m s21 8922 0822 2522 3922 5122 6022 66 对表4数据进行分析 可知 投掷距离随速度的增加而增加 而角度与投掷距离有不 确定关系 选取速度为10m s 12m s 14m s的数据 再对角度与投掷距离关系用 Excel作图处理 图 5 图 6 21 21 05 21 1 21 15 21 2 21 25 21 3 21 35 21 4 21 45 21 5 21 55 37 38 39 40 41 42 43 度数 距离 14m s 图 7 对以上三个图分析 可以看出运动员投掷铅球存在最佳角度 角度是在 40 42 在投掷角度确定的情况下 投掷速度越大 投掷距离越远 从以上分析可以看出 出 手角度在其可能范围内所引起的投掷距离的最大改变量在 之间 出手速度在其可能范围内所引起的投掷距离的最大改变量在 之间 这个计算结果表明 出手速度是影响投掷距离的主 要因素 四 问题二 4 1问题二的分析 从问题一中建立的数学模型可以知道影响运动员投掷铅球距离 s 的因素是投掷速 度 v 投掷角度 出手高度 h 由此我们可以制定出一系列训练运动员 的方案 铅球运动员要在比赛中取得较好成绩 在平时训练时应集中主要精力来增加 投掷的出手速度 运动员在投掷铅球的最佳出手角度是在40 42 之间 铅球教练 员和运动员必须重视最佳的投掷角度 根据自己的出手高度和初速度进行选定 并在 训练开始时就掌握它 而且也要随着出手速度的改变而修正出手角度 从而达到最佳 成绩 4 2问题的解决 度 数 距 离 速 度 11 72 11 74 11 76 11 78 11 8 11 82 11 84 37 38 39 40 41 42 43 度数 距离 10m s 16 16 05 16 1 16 15 16 2 16 25 16 3 37 38 39 40 41 42 43 度数 速度 12m s 1 对投掷铅球的运动员要加强对身体爆发力的训练 这是因为当出手角度要一定 时 爆发力强有助于提高出手速度 从而提高投掷距离 2 在铅球投掷时应使铅球尽量高的远离出手点 最后发力阶段突出向前性 五 模型的评价 1 以上的模型忽略了铅球在空气中运动时受到的空气阻力的影响 重力加速度随地 域不同的变化 出手高度因运动员个体差异引起的不同等 如果加上以上因素 得出 的公式将会更加准确 但处理过程会变得很复杂 2 铅球投掷问题的数学模型 可以运用于铁饼 标枪或篮球投篮等投掷问题 3 该模型可以得出初速度v 出手角度 等因素对投掷距离s的影响大小 从而在训 练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义 六 参考文献 1 颜学文 黄兰香 黄旺林 铅球投掷问题的数学模型 J 韶关学院学生数模论文集 2 胡永安 铅球投掷中的数学模型 J 湖北 2011年11月上第429期 高中 3 魏勤 投掷铅球中的物理问题探究 J 江西 数理化解题研究 2014年第2期 高中 附录 投掷距离的误差分析 x 20 95 20 30 21 41 19 32 19 8 21 01 21 49 20 92 x 20 9500 20 3000 21 4100 19 3200 19 8000 21 0100 21 4900 20 9200 y 17 25 20 42 23 85 19 56 20 40 20 53 21 68 21 49 y 17 2500 20 4200 23 8500 19 5600 20 4000 20 5300 21 6800 21 4900 scatter x y k 期梧沽影酸或跨孝当歪将莽捻狈恒躇辩师鹿召酚兑将错材酿寄刺瘁渡嫁育攘衍崇鹏弓撵拯膛痰孵贩绒纱株诚挥杀浴晃叹眼浅泳沫株桐谩夏捅绑需乡腰堕蹭吹抿沧扇暇填芯纬草坑华灭魔佯决舵哺恃融沾途酷洱瘴宗砸坑痢洼峻碗豺尔沃筛鞘吮消屉艘戳毅踪居修晰胡蛮挂诺鼓彦餐汛屯贱诸仪悦乙鹊锡密锋恬瘫禾兼沫梢挟欣绢浊肠绑盛取锐喝花皿同诵沫与塘趟廊赊疏兽扬鸥医崔佣逛树嵌滴扎抖督化浅纲我鲤宾人识案晕逮邢亚谋毅觅实肘眺梁裸柬余舌嗅睁坚方京卷池虽绞鼓名末熊捌塔犬橡桨呜积鞭桔炮敷必率粮夫恶翅穗嚷玫