2015中考数学复习轨迹问题的解题策略

1 轨迹问题的解题策略轨迹问题的解题策略 对于初中数学中动点轨迹的问题 一般有两种情况 线段或圆弧 在研究动点问题 时 可以在运动中寻找不变的量 即不变的数量关系或位置关系 如果动点的轨迹是一 条线段 那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变 如果动点的轨 迹是一段圆弧 那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变 因此 解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点 下面就以原文中两个例题来阐明 这类动点轨迹问题的解题策略 一 运动路径是线段一 运动路径是线段 例 1 2012 年张家界中考题 如图 1 已知线段 AB 6 C D 是 AB 上两点 且 AC DB 1 P 是线段 CD 上一动点 在 AB 同侧分别作等边三角形 APE 和等边三角形 PBF G 为线段 EF 的中点 点 P 由点 C 移动到点 D 时 G 点移动的路径长度为 解析 此题中主动点是 P 动点 G 是因点 P 的变化而变化 动点 P 在运动过程中始 终保持不变的量是 AP BP 6 另外 题中还有不变的量是 APE 和 PBF 始终为等边 三角形 解答此问题需牢牢把握住这两个不变的量 而既然是求动点 G 的运动轨迹 则需考 虑点 G 是到某条直线的距离保持不变 还是到某个定点的距离保持不变 显然此题首先 考虑的是点 G 是否到直线 AB 的距离保持不变 因此尝试作 GQ AB 垂足为 Q 又根据 APE 和 PBF 均是等边三角形这一性质 不难想到分别作 EM AB 和 FN AB 垂足 分别为 M N 如图 2 2 此时容易得到 EM AP FN BP 3 2 3 2 所以 EM FN AP BP 3 2 3 3 再根据梯形中位线的性质 可得到 CQ 1 2 EM FN 3 3 2 因此得到点 G 到直线 AB 的距离始终保持不变 从而得证点 G 的运动轨迹是一条线 段 而此时就点 G 的运动路径长 便可转化为求点 Q 的运动路径长 这时只要分别求出 点 P 在 C 点和 D 点时 AQ 的长度即可 当点 P 在点 C 时 如图 3 MQ1 1 2 MN 3 2 所以 AQ1 AM MQ1 1 2 2 3 2 当点 P 在点 D 时 如图 4 MQ2 1 2 MN 3 2 所以 AQ2 AM MQ2 4 53 22 所以点 G 运动的路径长为 4 2 2 事实上 点 G 在运动过程中 MQ 的长度也是始终保持不变 因此 G 的运动路径长 度就是 M 点的运动路径长度 而整个运动过程中 M 点是从 AC 的中点运动到 AD 的中点 即 M1M2 如图 5 3 笔者认为 如果用这样的方式去分析问题 那么最终学生头脑中对整个变化过程会 有一个全面而清晰的了解 此题的解题思路中还体现了转化思想 对培养学生的数学思 维是有积极作用的 二 运动路径是圆弧二 运动路径是圆弧 例 2 2011 年湖州中考题 如图 6 已知正方形 OABC 的边长为 2 顶点 A C 分别 在 x y 轴的正半轴上 M 是 BC 的中点 P 0 m 是线段 OC 上一动点 C 点除外 直 线 PM 交 AB 的延长线于点 D 1 求点 D 的坐标 用含 m 的代数式表示 2 当 APD 是等腰三角形时 求 m 的值 3 设过 P M B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交予点 E 过点 O 作直线 ME 的垂线 垂足为 H 如图 7 当点 P 从点 O 向点 C 运动时 点 H 也随之运动 请直接写出点 H 所 经过的路径长 不必写解答过程 解析 1 2 略 3 此题中主动点是 P 动点 H 是因点 P 的变化而变化 动点 P 在运动过程中始终保 持 不变的量是 OH 始终垂直 ME 即日始终为垂足 而求动点 H 的运动轨迹 则需考虑点 H 是到某条直线的距离始终不变 还是到某个定点的距离始终保持不变 由于 OH ME 连结 OM 后 AMH 始终为直角三角形 而斜边 OM 不变 因此根据直角三 角形的性质容易得到动点日到 DM 的中点的距离始终不变 从而可得到点 H 的运动轨迹 4 是一段圆弧 下面只需确定圆弧的度数即可 即要找到动点 H 的始点和终点 根据图形的变化容 易分析得动点 H 无限接近点 C 因此可将点 C 定为动点 H 的终点 当点 P 在 O 点时 点 H 在始点 记为 H1 由对称性可知 此时点 E 的坐标为 3 0 作 MN OE 垂足为 N 取 DM 的中点 F 再连结 FC F H1 如图 8 因为 M 点的坐标为 1 2 所以可得 MN NE 2 所以得到 MEN 45 所以 H1OE 45 所以 H1OC 45 因为 C D H1 M 四点共圆 所以 CFH1 90 又因为 FC OM 所以弧 CH1的长为 所以点 H 所经过 5 2 5 90 5 2 1804 的路径长为 5