向量解题的思维模式

1 向量解题的思维模式 归结课本 向量有三种语言模式 即图形语言 符号语言 坐标语言 三种语 言相互联系 相互转化 每种语言构成一种思维模式和解题方略 在解题过程中 若 能善于抓住本质 提高认知 辨析能力 合理地选择语言模式 就能有效地解决问 题 1 以 形 为依托 数形结合 突出向量的几何特征 向量可以用有向线段表示 向量的加减 数乘向量 数量积等运算皆可以 作图 完成 而几何问题中的平行 垂直等位置关系可以转化为向量的运算关 系 夹角 距离可以利用向量的夹角 模来刻划 因而向量运算与几何图形息息相 关 这是向量运算的重要特征 例 1 是平面上一点 是平面上的不共线三点 动点满足OABCPOP 则点的集合构成的图形一定过的 0 AC AC AB AB OAPABC A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 解析 设 则 均为单位向量 如图 1 21 AC AC e AB AB e 1 e 2 eAPOAOP 而 所以 而以 为邻边的平行四边形是 21 eeOAOP AP 21 ee 1 e 2 e 菱形 其对角线向量平分 因向量与向量共线 即与 21 ee BAC 21 ee 21 ee 的平分线向量共线 所以点的集合是的平分线 故答案应选 B BAC PBAC 1 e2 e1 C A B O P b a 2 A CB N L M 例 2 如图 2 已知 L M N 分别为的边 BC CA AB 上的点 且ABC 若 求证 l BC BL n AB AN m CA CM 0 CNBMALnml 解析 如何应用条件是解题的关键 考虑从边向量0 CNBMALABC 2 与 的关系入手 由于涉及的向量较多 可选定两个边向量为基底 ALBMCN 将其它向量表示为基底向量的线性形式 设 且与不平行 则而bCAaBC ab bmCMalBL CBACAB 所以 又 同法可得ba bnanABnAN balBLABAL 1 代入中得bmaBM anbnCN 1 0 CNBMALbnmanl 因为与不平行 所以 即 0 ab0 nmnlnml 2 以 符号语言 为载体 突出向量数性化的符号运算简捷的特点 向量的符号语言 提供了向量的加减 数乘向量 数量积等运算的符号法则 而 这些运算法则和实数代数结构中的加减 乘法运算有许多共同之处 在解决问题 时 有时不需考虑向量的几何背景 而直接利用符号简单的运算特点 反而会使解 答过程简捷明了 例 3 设向量 满足求的值 ab 1 ba 3 23 ba 3 ba 解析 此题构造图形难度较大 因而选用符号语言直接进行运算 只需求出的值即可 10669 3 22 2 babababa ba 又两端平方可求得 故 3 23 baba 3 1 3 ba 32 例 4 已知向量 满足 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP0 1 OP 2 OP 1 求证 是正三角形 3 OP 321 PPP 解析 此题虽然涉及几何图形 但利用符号语言运算 思考简单 效果更好 要证是正三角形 由于 1 因而只需证明 321 PPP 1 OP 2 OP 3 OP 即可 由向量夹角公式可知应有 133221 OPPOPPOPP 21 OPOP 32 OPOP 13 OPOP 两端平方得 1 OP 2 OP 3 OP0 321 OPOPOP 21 OPOP 2 1 同理可推 即成立 1332 OPOPOPOP 2 1 21 OPOP 32 OPOP 13 OPOP 则是正三角形可得证 321 PPP 3 3 以 坐标语言 为主线 内联外延 突出向量运算法则及性质的应用 坐标法是几何问题向量代数化的重要思想方法 坐标语言是联系其它知识的 桥梁 是数学问题横向转化的一个切入点 在函数 不等式 几何中具有较强的渗 透作用 例 5 已知向量 两两所成的角相等 并且 1 2 3 求向量abcabc 的长度及与向量的夹角 abca 解析 建立直角坐标系 设且 因为xoycOCbOBaOA 0 1 a 两两所成角相等 abc 若 方向相同时 2 0 3 0 则 6 0 6 与向abcbcabcabc 量的夹角为 a 0 0 若时 0 120 COABOCAOB 120sin2 120cos2 00 b 3 1 则 求得 因为 3 2 3 2 3 cabc 2 3 2 3 abc3a abc 由夹角公式得 即两向量的夹角为 2 3 cos 2 3 0 150 0 150 例 6 已知 为正数 求函数的最小值 abc 2222 bxcaxy 解析 观察式子与的结构特征和向量的模