高数试题下(2)

Page 1 of 18 高数试题高数试题 2008 72008 7 一 选择题 本大题 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 1 设直线 则 l1 与 l2 的夹角为 1 724 121 xyz l 2 6 23 xy l yz A B C D 2 3 4 6 2 函数 z xe2y在点P 1 0 出沿从P 1 0 到Q 2 1 方向的方向导数为 2233 2222 ABCD 3 函数在 0 0 点 22 22 22 1 sin 0 0 0 xyxy xyf x y xy A 偏导数连续 B 偏导数不存在 C 偏导数存在但不可微 D 可微但偏导数不连续 4 积分 11 22 0 x dxxyx dy 1111 341224 ABCD 5 设 是由 x2 y2 z2 1 所围成的区域 则三重积分 z e dv 3 2 22 ABCD 二 填空题 本大题 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 1 过点 0 2 4 且与两平面 x 2z 1 和 y 3z 2 都平行的直线方程是 2 设则 222 4 3 xyz z 2 x ds A 3 满足微分方程初值问题 的解为 2 0 d 1 d 1 x x y ye x y y 4 设 z ln 1 x2 y2 则 1 2 dz 三 9 分 求微分方程的通解 4cosyyxx 四 9 分 求函数 f x y xy 在闭区域 x2 y2 1 上的最大值和最小值 五 9 分 某物体的边界由曲面 z x2 y2和平面 z 0 x a y a 围成 其密度函数为 x2 y2 求该物体 的质量 六 9 分 设直线在平面 上 而平面 与曲面 z x2 y2相切于 1 2 5 求 a b 的 0 30 xyb L xayz 值 Page 2 of 18 七 9 分 计算曲面积分 333 xyz dydzxyz dzdxxyz dxdy 其中 为由圆锥面 x2 y2 z2与上半球面 x2 y2 z2 R2 R 0 围成曲面的外侧 八 8 分 设函数 Q x y 在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数 第二类曲线积分与路径无2 L xydxQ x y dy 关 且对任意 t 有 求 Q x y 1 1 0 0 0 0 2 2 tt xydxQ x y dyxydxQ x y dy 九 6 分 设当时 可微函数满足1x f x 0 1 d0 1 x fxf xf tt x 0 1f 1 求 fx 2 证明 当时 0 x x f xe 答案 一 1 B 2 A 3 D 4 C 5 D 二 1 2 3 24 231 xyz 12 33 dzdxdy 4 tan 1 4 x ye 1 0 1 2 3 n n n n x 三 四 五 六 a 5 b 2 12 12 cos2sin2cossin 39 yCxCxxxx maxmin 11 22 ff 6 112 45 a 七 八 Q x y x2 2y 1 5 9 22 5 R 高数试题高数试题 2009 72009 7 一 选择题 本大题 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 1 函数在处可微的充分条件是 zf x y 00 xy A 在点处连续 f x y 00 xy B 在点处存在偏导数 f x y 00 xy C 0000 0 lim 0 xy zfxyxfxyx 22 xy D 0000 0 lim0 xy zfxyxfxyx 2 圆心在原点半径分别为和的的两个圆所围成的均匀圆环形薄板 面密度为 关于原点的转动惯Rr Rr Page 3 of 18 量为 A B 44 Rr 44 1 2 Rr C D 44 1 4 Rr 44 1 6 Rr 3 微分方程的特解形式为 xx exeyyy 32 65 A B xx cxeebaxxy 32 xx ecxbaey 32 C D xx ceebaxy 32 xx cxeebaxy 32 4 设是由球面所围成的闭区域 则 2222 0 xyzaa 222 xyz dv A B C D 4 4 3 a 4 4 a 4 a 4 1 2 a 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 6 小题 每小题小题 每小题 4 分 共计分 共计 24 分 分 1 已知 则 3a 26b 72ab a b 2 函数在点处的梯度为 yxf 22 yxyx 1 1 3 已知曲线为连接和两点的直线段 则曲线积分 1 1 1 2 2 2 23 xyz ds 4 由曲面与曲面所围立体的体积为 22 43 zxy 22 zxy 5 设为平面在第一卦限中的部分 则 1 234 xyz 4 2 3 zxy dS 6 以 y1 cos2x y2 sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为 三 计算下列各题三 计算下列各题 本题共 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 共计分 共计 30 分 分 1 求点到直线的距离 0 1 1 1 P 723 123 xyz 2 已知一平面通过球面 x2 y2 z2 4 x 2y 2z 的中心 且垂直于直线 L 求 1 该平面的方程 0 0 x yz 2 该平面与球面的交线在 xOy 平面上的投影 3 设函数具有二阶连续的偏导数 求 f yxxyfu yx u 2 4 计算二重积分 其中是由两条抛物线 所围成的闭区域 D xydxdy Dyx 2 yx 5 求解微分方程的初值问题 2 1 2 0 1 0 3 xyxy yy 四 8 分 计算积分 是抛物线 z x2 y2被 z 4 割下的有限部分的 222 coscoscos IxyzdS Page 4 of 18 下侧 cos cos cos 是 上各点法线方向余弦 五 8 分 设 f x 为连续可微函数 且 对任一闭曲线有 求曲线积分 1 2f L 3 4 0 L x ydxf x dy A 的值 其中是圆周上由经到的一段弧 3 4 L x ydxf x dy A L4 2 2 22 yx 2 0 A 4 2 D 2 4 B 六 8 分 经过点作一平面 使该平面在第一卦限内与 3 个坐标面所围成的四面体的体积最小 求该平面 1 2 1 3 P 方程 七 6 分 设函数 f x 在 1 上连续 由曲线 y f x 直线 x 1 x t t 1 与 x 轴所围成平面图形绕 x 轴 旋转一周形成旋转体的体积为 2 1 3 V tt f tf 又已知 求 f x 2 2 9 f 答案 一 1 D 2 B 3 A 4 C 二 1 30 2 1 1 3 9 4 2 5 6 y 4y 0 34 61 三 1 2 y z 0 3 f1 xf11 x y f12 f22 4 5 y x3 3x 1 四 3 3 22 24160 0 xyxy z 6 55 五 68 六 七 64 3 1 63 xy z 3 1 x y x 高数试题高数试题 2010 72010 7 一 选择题 本大题 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 1 函数在闭区域 x 1 2 y2 1 上的最小值为 222 2 xyxyxf A 0 B 1 C 2 D 3 2 设函数 f x y 连续 则二次积分 y dxyxfdy 0 1 0 A B C D 11 0 y dxyxfdy y dxxyfdy 0 1 0 11 0 x dyyxfdx x dyyxfdx 0 1 0 3 设为平面 x y z 1 与三个坐标面所围成的闭区域 则 dvzyx A B C D 6 1 8 1 12 1 24 1 4 设 y1 y2是二阶线性方程 y P x y Q x y 0 的两个解 那么 y C1y1 C2y2 C1 C2是任意常数 是该方程 通解的充分必要条件是 Page 5 of 18 A B C D 1221 0 y yy y 1221 0 y yy y 1221 0 y yy y 1221 0 y yy y 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 4 分 共计分 共计 20 分 分 1 已知 与的夹角为 则 1 a 2 b a b 4 ba 2 设 是由曲面与 z 0 围成的立体 则 的形心坐标为 22 1yxz 3 设曲线为连接和 2 3 4 两点的直线段 则曲线积分 1 1 1 dszyx 4 设 为锥面被平面 z 1 截下的有限部分 则曲面积分 22 yxz zdS 5 若方程 y y tanx 2cos2x 有一个特解 y f x 且 f 0 0 则 0 lim x f x x 三 计算下列各题三 计算下列各题 本题共 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 共计分 共计 30 分 分 1 求过点且与两平面 x 4z 3 和 2x y 5z 1 的交线垂直的平面方程 5 2 3 M 2 求函数 u x2 3yz 在点 1 1 1 处沿椭球面 x2 2y2 3z2 6 在该点的外法线方向的方向导数 3 计算二重积分 其中是由 y x 4 与 y2 2x 所围成的闭区域 D ydxdyD 4 如果 y f x 满足 且 f 1 1 求 f x 2 1 2 x yxox xx 5 若 x 连续 且满足方程 1 写出与该方程等价的二阶微分方程初值 00 e xx x xtt dtxt dt 问题 2 求 x 四 8 分 一质点在力的作用下 由点 O 0 0 沿上半圆移到点jyxiyxF sin 22 2 2xxy A 1 1 求力所作的功 F 五 8 分 计算曲面积分 其中 是由抛物面 3z x2 y2 和球面xydxdyzdzdxyxzdydz 所围成立体的表面外侧 22 4yxz 六 8 分 设函数 f x y 有二阶连续偏导数 满足 且存在一元函数 h u 使 0 2 yx f 22 yxhyxf 求 f x y 七 5 分 设 F x y f 1 x y f 2 x y 是 x0 y0 某邻域内定义的向量函数 定义 2 2 2 121 yxfyxfyxfyxf 为 f 1 x y f 2 x y 的模 如果 22 0000 yxoyDxCyBxAyxFyyxxF 其中 A B C D 是与 x y 无关而仅与 x0 y0有关 是的高阶无穷小 则称 F x y 在 22 yxo 22 yx x0 y0 点可微 记为 00 yDxCyBxAyxdF yx Page 6 of 18 设 求 arctan 22 yx x y yxF 1 1 yxdF 答案 一 1 A 2 C 3 B 4 D 二 1 2 3 4 5 2 5 8 3 146 2 3 2 三 1 4x 3y z 1 0 2 3 18 4 5 14 17 2 2 xx 四 五 六 2sin 4 1 6 7 27 94 2 22 1 2 1 CyxC 七 2 1 yxyx 高数试题高数试题 2011 07 14 一 选择题 1 设 则函数在原点偏导数存在的情况是 yxf 42 yx A 都存在 B 不存在 存在 0 0 x f 0 0 y f 0 0 x f 0 0 y f C 存在 不存在 D 都不存在 0 0 x f 0 0 y f 0 0 x f 0 0 y f 2 设平面 的法向量为 直线L的方向向量为 则是平面 与直线 CBAn pnms p C n B m A L的垂直的 A 充要条件 B 充分条件 C 必要条件 D 无关条件 3 设 是球面 x2 y2 z2 R2 则下列结果正确的是 A B 0 2dS zyx 3 3 4 RdS C D 0 222 dSzyx 4222 4 RdSzyx 4 5 设曲线 具有一阶连续偏导数 过第 象限内的点和第 象限内的点 为1 yxfL yxfMNT 上从点到点的一段弧 则下列小于零的是 LMN A B T dxyxf T dyyxf C D T dsyxf dyyxfdxyxf y T x 二 填空题 1 设 则在上的投影为 3 a 1 b 6 ba ba ba 2 交换积分次序为 2 2 2 2 1 xx x dyyxfdx 2 11 2 1 0 y y dxyxfdy Page 7 of 18 3 设正向闭曲线L的方程为 则 1 yx L ds yx2 1 4 5 设函数由方程所确定 其中有连续导数 则 yxzz bzyazx u y z b x z a 三 计算题 1 设 其中具有二阶连续偏导数 求 y xeuyxufz f yx z 2 2 求曲面的与直线垂直的切平面 22 yxz 22 12 zy zx 3 计算二重积分 其中 D 是由直线 所围成的平面区域 D dxdyxyxy 1 y0 x 4 求 是抛物面被平面 z 1 截下的有限部分 法向量 dxdyxzdzdxzydydzyx 22 yxz 与 z 轴正向成锐角 5 求解初值问题 3 2 1 1 1 2 xyyx yy 四 设球体占有闭区域 它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方 zzyx2 222 求球体对于 z 轴的转动惯量 五 8 分 求抛物面 与平面 的交线 椭圆 到原点的最长距离和最短距离 22 yxz 1 zyx 六 5 设是非负连续函数 且 计算曲线积分 xf1 2 0 dxxf 式中 L 为沿从点到的曲线段 L x dxeyxdy xfy 0 0 O 0 2 A 七 求的通解 32sinyyyx 答案 一 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 二 1 2 2 2 3 4 2 2 5 1 2 11 2 1 0 y y dxyxfdy2 3 4 三 1 21 fef x z y 23211311 2 1 2 ffxefefxeef yx z yyyy 2 3 4 5 222 zyx 15 4 2 42 1 424 xx y 四 35 32 Page 8 of 18 五 曲线到原点的最长距离和最短距离分别为 和 2 21015 2 21015 六 2 3e 七 2 12 31 eecossin 1010 xx yCCxx 高数试题高数试题 2012 07 12 一 选择题 1 设 x 为任意一个 x 的可微函数 y 为任意一个 y 的可微函数 若已知 则 F x y 是 22 Ff x yx y A f x y x B f x y y C f x y x y D f x y x y 2 在曲线 x t y t2 z t3的所有切线中 与平面 x 2y z 4 平行的切线 A 只有 1 条 B 只有 2 条 C 至少 3 条 D 不存在 3 设 f x y 是连续函数 D 是由 y x2 y 0 x 1 所围的区域 且 f x y 满足恒等式 D f x yxyf x y dxdy 则 f x y A xy 1 B C D 1 2 xy 1 4 xy 1 8 xy 4 二 填空题 1 过点 3 1 4 且与 y 轴相交 又与平面 y 2z 0 平行的直线方程为 2 交换积分次序为 xxx dyyxfdxdyyxfdx 2 0 2 1 2 0 1 0 2 3 设 L 为圆周 x acost y asint 0 t 2 则 22 3 L xyds 4 三 计算下列各题 1 已知 其中具有二阶连续偏导数 求 yx eyxfu 22 f yx u x u 2 2 计算 是半球面和旋转抛物面围成的立体 23 xyz dv 22 2zxy 22 zxy 3 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程 4 求解初值问题 00 t dy ky dt yy 5 求 式中 是平面 y z 5 被柱面所截得的有限部分 xyz dS 22 25xy Page 9 of 18 四 四 8 分分 计算积分 是柱面 x2 y2 a2在 0 z h 部分外侧 32 Ix dydzy dzdxzdxdy 五 五 8 分分 在抛物线上求一点使在处1 22 yxz 0000 zyxM 1 0 0 2 0 2 000 yxyx 0 M 的切平面与柱面及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大 2 1xy 六 六 8 分分 已知 L 是第一象限中从点 0 0 沿圆周 x2 y2 2x 到点 2 0 再沿圆周 x2 y2 4 到点 0 2 的曲线 段 计算曲线积分 23 3 2 L Ix ydxxxy dy 七 七 8 分分 八 八 6 分分 设有一半径为 R 的球体 P0是此球的表面上的一个定点 球体上任一点的密度与该点到 P0距离成 正比 比例常数 k 0 求球体对于 P0的转动惯量 答案 一 1 D 2 B 3 D A 二 1 2 3 2 a7 4 314 384 xyz y y dxyxfdy 2 11 1 0 2 3 2 三 1 解 12 2ex y u xff x 12 2ex y u yff y 2 111222122 2 2 e ee 2 e x yx yx yx y u x fyfffyf x y 22 1112222 42 eee x yxyx y xyfxyfff 2 解 2 23 xyzdv zdv 2 2 212 00 r r drdrzdz 1 24 0 1 2 2 2 rrr dr 7 12 3 解 xyz dS 5 xdS 22 2 25 5 1 1 xy xdxdy 125 2 4 解 设所求平面方程为 6x y 6z D 则 1 1 666 DD D Page 10 of 18 D 6 故所求平面方程为 6x y 6z 6 或 6x y 6z 6 5 四 解 设 1 z 0 x2 y2 a2 下侧 1 z h x2 y2 a2 上侧 1212 3232 Ix dydzy dzdxzdxdyx dydzy dzdxzdxdy 222222 2 321 0 xyaxya xydxdydzdxdyhdxdy 222 22 0 3 h xya x dxdydzdxdydza h 222 2222 3 2 xya h xydxdya ha h 2 34 00 33 24 a h dr dra h 五 解 过点的切平面方程为 0 M 2x0 x x0 2y0 y y0 z z0 0 即 122 2 0 2 000 yxzyyxx 立体的体积为 22 0000 221 D Vx xy yxydxdy 1 0 0 22 yxyxD 22 0000 2 1 34 Vxyxy 0 0 2 0 32 x Vx 0 0 2 0 32 y Vy 故所求的点为 44 33 六 解 补充 L1 x 0 y 从 2 到 0 由 L 和 L1围成的平面区域记为 D 由格林公式 11 2323 3 2 3 2 L LL Ix ydxxxy dyx ydxxxy dy 0 2 2 D dxdyy dy 4 2 4 2 七 解 由题设 an an 1 若 则交错级数收敛 与题设矛盾 故lim0 n n a 1 1 n n n a l 0 lim n n al Page 11 of 18 由根值法 有 11 lim1 11 n n n n al 故级数收敛 八 解 以 P0点为坐标原点 球心在 z 轴上建立坐标系 则球面方程为 x2 y2 z2 2Rz 转动惯量为 3 222 2 Ik xyzdxdydz 22cos 32 2 000 sin R kddrr dr 6 2 0 1 2sin 2 cos 6 kRd 6 64 21 k R 高数试题高数试题 2013 07 一 选择题 1 设 则的充要条件是 xyz aa a a xyz bb b b ab A B xxyyzz ab ab ab 0 xxyyzz a ba ba b C D y xz xyz a aa bbb xyzxyz aaabbb 2 设 则函数 f x y 在原点 0 0 处 22 f x yxy A 连续且存在 B 连续且不存在 0 0 0 0 xy ff 0 0 0 0 xy ff C 不连续且存在 D 不连续且不存在 0 0 0 0 xy ff 0 0 0 0 xy ff 3 设 是球面所围成的闭区域 则下列结果正确的是 2222 xyzR A B 2 0 xyzdv 2225 4 3 xyzdvR C D 0 xyz dv 2222 4xyzdSR A 4 微分方程 y y sinx 的一个特解的形式为 A B C D sinAxxcossinAxBx cossinAxxBx cossinAxxBxx 5 设 f u 连续可微 且 其中 L 为圆周上从原点到点 2 0 的部分 则 4 0 0f u duk 2 2yxx 22 L f xyxdxydy A 0 B C A 2 k k2k 二 填空题 Page 12 of 18 1 函数 z f x y 由方程所确定 则 dz 2sin 23 23xyzxyz 2 交换积分次序为 y y dxyxfdy 1 1 1 0 3 设 L 为圆周 x acost y asint 0 t 2 则 2 L xyds 4 设平面薄板所占闭区域 D 由直线 x y 2 x 2 和 y 2 围成 它在点 x y 处的面密度为 则平面薄 2 y 板的质量为 5 微分方程的通解是 10250yyy 三 计算下列各题 1 已知 其中具有二阶连续偏导数 求 y zf xy x f 2 zzz xyx y 2 一平面通过两平行直线和 求此平面方程 32 321 xyz 341 321 xyz 3 计算 其中 是由 yoz 面上曲线绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z 8 所围成的闭 22 xydv 2 2yx 区域 4 求 式中 是平面在第一卦限 的部分 4 2 3 xyz dS 1 234 xyz 四 四 8 分分 计算积分 是锥面 222 Iyxz dydzzxy dzdxxyz dxdy 的下侧 22 0 zxyzh 五 五 8 分分 求球面的内接长方体 使长方体的体积最大 2222 xyza 六 六 8 分分 一个体积为 V 外表面积为 S 的雪堆 融化的速度是 其中 a 是正常数 假设在融化 dV aS dt 过程中雪堆的形状保持为 其中 h h t 问一个高度等于的雪堆全部融化消失需要多 22 0 xy zhz h 0 h 少时间 七 七 4 分分 设函数 f x 满足方程 且由曲线 y f x 直线 x 1 与 x 轴围成的平面图 2 3 6xfxf xx 形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小 试求 D 的面积 高等数学 下 高等数学 下 2014 年年 7 月月 一 单项选择题 本题共一 单项选择题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共计分 共计 16 分 分 1 设向量的起点坐标为 则 2 2 5 a 2 1 7 Page 13 of 18 A 的终点坐标为 B 的长度为 6 a 4 2 1 a C 与 y 轴的夹角为 D 在 z 轴上的投影为 5 a 2 arccos 33 a 2 设平面区域 则下列等式不成立的是 22 1D xy 22 1 1 0 0Dxyxy A B 22 ln 0 D xxyd 1 2222 141 DD xy dxy d C D 1 4 DD xy dxyd 1 22 4 DD xy dxy d 3 4 设函数则是该函数的 22 e x zxy 1 0 2 A 驻点但非极值点 B 驻点且极小值点 C 驻点且极大值点 D 极值点但非驻点 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共计分 共计 16 分 分 5 曲线在点处的切线方程是 xtyt zt 23 2 1 3 12 1 3 6 交换积分次序 111 422 1 0 4 y yy dyf x y dxdyf x y dx 7 设 f x 可微分 则 2 3 xzf yz 23 zz xy 8 若二阶常系数线性非齐次方程 的三个解是 xfqypyy 2 1 xx eexy xx exey 2 2 xx exxey 2 3 1 则 qp4 2 三 计算下列各题三 计算下列各题 本题共 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 共计分 共计 30 分 分 1 求平面方程 使得这个平面垂直于平面 平行于向量 并且过点 xyz 250 1 2 2 5 s 501 2 求二重积分 其中 D 由圆 及直线 所围成的在第一arctan D y dxdy x 22 1xy 22 4xy 0y yx 象限的闭区域 Page 14 of 18 3 设 f 具有二阶连续偏导数 求 2 y zx f xy x 2 zz yx y 4 计算曲面积分 其中 是球面在锥面上方的部分 1 IdS z 222 2xyz 22 zxy 5 计算曲线积分 其中 L 是由点 O 0 0 到 A 0 1 的直线段和上从 A 0 1 到 B 1 0 的圆 2 L xyds 2 1yx 弧组成 四 8 分 求解二阶初值问题 0 0 0 0 2cos 2 1 4 y y xxyy 五 8 分 修建一座容积为 V 形状为长方体的地下仓库 已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单 位面积造价的 3 倍和 2 倍 问如何设计长 宽 高使它的造价最小 六 8 分 计算曲面积分 其中 是曲面 332 223 1 Ix dydzy dzdxzdxdy 22 1zxy 0z 的上侧 七 8 分 设 f u 连续可微 L 为由到的直线段 求 2 3 3 A 1 2B 2 2 2 1 1 L y f xyx dxy f xydy yy 八 6 分 答案 2014 年 7 月 一 1 C 2 D 3 B 4 B 二 1 2 3 1 4 0 121 223 xy z 2 1 2 0 x x dxf x y dy 三 1 求平面的方程 使得这个平面垂直于平面 平行于以为方向余弦的直线 xyz 250 1 5 2 5 2 5 5 并且过点 501 解 所求平面的法向量为 112 42 5 22 5 1 122 5 ijk n 平面方程为 42 5 5 22 5 1 0 xyz 2 求二重积分 其中 D 由圆 及直线 所围成的在arctan D y dxdy x 22 1xy 22 4xy 0y yx Page 15 of 18 第一象限的闭区域 解 2 2 4 01 3 arctan 64 D y dxdydrdr x 3 设 f 具有二阶连续偏导数 求 2 y zx f xy x 2 zz yx y 解 23 1212 1 z xxffx fxf yx 2 23 1111222122 22 3 zyy x fxf yffx f yf x yxx 23 121122 3 y x ffx yff x 4 计算曲面积分 其中 是球面在锥面上方的部分 1 IdS z 222 2xyz 22 zxy 解 22 2zxy 22 1 xy Dxy 2222 22 22 11 112 1 2 xyxy zz IdSdxdydxdy zzxyxy 21 2 00 2 2 ln2 2 drdr r 5 计算曲线积分 其中 L 是由点 O 0 0 到 A 0 1 的直线段和上从 A 0 1 到 B 1 0 2 L xyds 2 1yx 的圆弧组成 解 1 22222 2 00 cossin sin cos L xydsy dyd 1 1 32 四 五 修建一座容积为 V 形状为长方体的地下仓库 已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位 面积造价的 3 倍和 2 倍 问如何设计长 宽 高使它的造价最小 解 设长 宽 高分别为 x y z 则 设单位造价为 k 则Vxyz 2 22 3444Sxyxzyzxyxyxzyz 设444 LxyxzyzVxyz 440 x Lyzyz 440 x Lxzxz 440 z Lxyxy Page 16 of 18 Vxyz 解得 3 xyzV 六 计算曲面积分 其中 是曲面 的 332 223 1 Ix dydzy dzdxzdxdy 22 1zxy 0z 上侧 解 设下侧 22 1 0 1 zxy 22 11 22 1 6 3 xy Ixyz dxdydzdxdy 2 211 2 000 6 3 r drdrrz dz 2 211 2 000 6 3 r drdrrz dz 七 设 f u 连续可微 L 为由到的直线段 求 2 3 3 A 1 2B 2 2 2 1 1 L y f xyx dxy f