九年级数学图形变换与证明华东师大版1知识精讲

九年级数学九年级数学图形变换与证明图形变换与证明华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 图形变换与证明 我们学习平面几何知识从与现实生活相结合的意义上讲 会识别图形的移动 会实现 一个平面图形的移动 是一个实现平面几何价值的问题 要求 会按照要求对图形作相应的移动 会识别图形经过移动后的图形关系 会利用 图形的变换解决一些几何问题或与现实生活相结合的问题 典型例题典型例题 例 1 与关于点 O 成中心对称 直线 m 经过点 O 与 ABC A B C ABC 关于直线 m 对称 是否存在这样的直线 使得与关于该 A B C A B C A B C 直线对称 如果存在 请指出该直线具有何特征 解 解 这样的直线是存在的 即存在直线 n 使得与关于直线对 A B C A B C n 称 直线经过点 O 且直线垂直于直线 nnm 说明 图形经过两次翻折 对称轴互相垂直 得到的图形与原图形关于两条对称轴 的交点成中心对称 而图形经过两次翻折 对称轴相交 得到的图形可以看作是原图形 绕着两条对称轴的交点旋转得到的 旋转角为两条对称轴的夹角的两倍 例 2 请你不借助作图工具画一个三角形的高线 简析 简析 一般讲我们画三角形的高线采取的方法是 过已知边所对的顶点 用三角板画 一条与已知边相垂直的线段 但是此例要求不借助作图工具 即不借助直尺 三角板 圆 规等直接画高线 这时要考虑画高线关键在于确定垂足 如果画出垂足就可以实现画高线 根据我们所学的轴对称关系的性质可知 它可以提供垂直关系 简解 简解 如图 已知 ABC 作的 BC 边上的高 ABC 方法 方法 把点 C 沿 CB 边对折 使折痕经过点 A 且点 C 落在 BC 的点处 则折痕C AD 就是所要求画的高 例 3 四边形 ABCD 中 求四边形 ACCDCBADAB9013 ABCD 的面积 分析 分析 由已知 可知 如果将 AC90 BDCDCB180 绕点 C 旋转到的位置 那么四边形 ABCD 的面积与等腰直角三角形 CAD90 CBE ACE 的面积相等 于是本题便可获解 解 解 连结 AC 过点 C 作 AC 的垂线 交 AB 的延长线于点 E 由 得 DABDCB90 DCABCEDABC 180 所以 DCBECDCB 所以 CADCEBSSACECADEB ABCDAEC 四边形 1 所以AEABEB 314 由 得ACECAE 222 ACEC 2 2 所以SAC EC AEC 1 2 4 即四边形 ABCD 的面积为 4 例 4 一个人身高 1 8 米 晚上站在路灯下 他的影长为 1 5 米 若他沿着影子方向移动 1 5 米站立 影子增加 1 米 求路灯的高度 分析 分析 首先根据题意 我们可以得出站立的人和路灯是平行关系 这样就可以找到两 组相似的三角形 根据相似三角形的性质 就可以求出路灯的高度 解 解 如图 设路灯高为 H 人高为 h 则 BCHDED EhEEAE 181525 因为 所以 D EBC EBCEE D 那么 即 BC E D EB EE 相似三角形对应边成比例 1 BCBE 18 15 15 因为 所以 DEBC AEDABC 同理可得 即 BC ED AB AE 2 BCBE 18 4 25 由 1 和 2 可解得 米 BC 45 答 答 路灯的高度为 4 5 米 例 5 如图 矩形 ABCD 中 折叠 AD 边 使点 D 落在 BC 边上的 F 点处 若折痕 且 求矩形 ABCD 的周长 AEcm 5 5tan EFC 3 4 简析 简析 若求矩形的周长就需要知道它的边长 根据已知条件可知 只知折痕长及折叠 后的一个角的正切值 因此 我们要理解折叠在题中所起的作用以及折叠后可能形成的图 形关系 解 解 根据题意 AD 边对折 点 D 落在 BC 边上的点 F 处 有 DEFEAEAEADAF 所以 ADEAFE 故 DAFE90 则 AFBEFC90 所以 BAFEFC 因为 在矩形 ABCD 中 所以 BC90 故 ABFFCE 则 EC BF FC AB 又tan EFC 3 4 设 则ECxFCx 34 EFx 5 所以DCABx 8 因此BFx 6 故BCx 10 由勾股定理 有 且AEADDE 222 AE 5 5 解得 舍负值 x 1 所以ADDC 108 所以 矩形周长为 36cm 例 6 如图 D 是的 BC 边中点 过 D 作直线交 AB CA 延长线于 E F 当 ABC 时 AFAE 求证 BEFC 简析 简析 根据图形条件与已知中的在同一三角形 不在同一三角AEAF BDCD 形里 且要证明的结论 BE 与 CF 也不在同一三角形中 要证明结论就需要把相应的线段移 动到同类图形中 并且能利用这些条件形成新的图形关系 以便达到求解的目的 证明 证明 如图 过 C 点作 CM AB 交 FD 延长线于 M 点 则 BEDMAEF 因AFAE 所以 FAEF 则 FM 所以CFCM 在与中 BED CMD BDECDMBEDMBDCD 所以 BEDCMD 故BECM 所以BEFC 例 7 如图 矩形 ABCD 中 E 是 BC 中点 确定与CFDF 2S BEFD四边形 的比值 S ABCD矩形 简析 简析 要确定这两个图形的面积的比值 就需要找到一个可以沟通这两个图形之间关 系的面积 由于连结了 BD 那么就是它们之间的桥梁 剩下的问题就需要研究四边S BCD 形 BEFD 的面积与面积之间的关系了 这时解读好 E 是 BC 中点及就 BCDCFDF 2 是关键 解 解 连结DE 由面积关系可知 SBE DCSEC CD BEDDEC 1 2 1 2 同理 有SCF CESDFCE ECFDEF 1 2 22 1 2 所以 有及SS DECDBC 1 2 SS EFCDEC 2 3 即SS EFCDBC 1 3 所以 SS BEFDDBC四边 2 3 故SS BEFDABCD四边形矩形 1 3 例 8 已知 如图 中 D 是 BC 上一点 ABCADDB EDBDAC 求证 AE EBBD CD 证法一 证法一 过 B 点作交 AD 延长线于 FBFED 则及 EDBDBF AEDABF 在与中 BDF ADC DBFDAC BDAD BDFADC 所以 BDFADC 则DFCD 因为AE ABAD AF 则AE EBAD DF 即AE EBBD CD 证法二 证法二 过 D 点作交 AB 于 F 如图 DFCA A F E B D C 则及 FDADAC BDFBCA 因ADBD 故 BFAD 在与中 BDE ADF BDAFBDEADFBDAD 则 BDEADF 所以BEAF 又因BD BCBF BA 则BD CDBF FA 即BD CDAE EB 例 9 求证 同垂直于一条直线的两条直线平行 已知 如图 于 A 于 Bm l n l 求证 m 与 n 平行 证明 证明 假设 m 与 n 不平行 即设 m 与 n 相交 且交于 P 点 因为且m l n l 所以 过 P 点有两条直线与已知直线垂直 此结论与 过一点有且仅有一条直线与l 已知直线 相矛盾 所以假设不成立 所以mn 例 10 已知 如图 在直角坐标系中 四边形 AOCB 是正方形 点 C 的坐标为 2 0 你能否在 BC 上找到一点 E 使正方形沿直线 AE 对折后 点 B 落在正方形内部的 F 点处 且使该点与正方形的四个端点的连线构成四个等腰三角形 试确定的度数并 AEB 求出 F 点的坐标 解 解 如图 1 作 AB 中垂线 MN 以 B 为圆心 BC 为半径作圆 交 MN 于 F 点 为等边三角形 AF B 1 BAF160 过作轴于 GF1Fy 1 GAFAF 11 302 GFAG 1 13 GO23 F1123 AEB60 y M B A E G O F1 NC x 1 如图 2 1 F23 解法略 AEB75 F2 O2 A y E1 B x C 模拟试题模拟试题 答题时间 45 分钟 一 选择题 1 与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的 A 三条中线的交点B 三条高的交点 C 三条角平分线的交点D 三条边的垂直平分线的交点 2 三角形内到三角形各边的距离相等的点必在三角形的 A 中线上B 角平分线上 C 高上D 边的垂直平分线上 3 下面命题中 假命题是 A 矩形的对角线相等 B 菱形的对角线互相垂直 C 正方形的对角线相等且互相平分 D 梯形的对角线互相平分 4 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A 对角线互相平分B 对角线相等 C 对角线互相垂直D 对角线平分一组对角 二 填空题 1 如图 直线与直线分别交于点 B 和 C 若abAC ab AC DC 则 度 125 2 2 如图 中 CD 平分 则 ABC ACBDEBCAB 6070 度 度 1 2 3 正方形是轴对称图形 它有 条对称轴 4 如图 已知 ABCD 是梯形 AB CD 与互余 A B E F 分别是 AB CD 的中点 则 ABCD 82 EF 三 解答题 1 如图 中 ABCABAC 求证 CB 2 如图 已知等边中 O 是内心 扇形 MON 的圆心角为 若 ABC120 ABcm 6 求阴影部分的面积 3 如图 梯形 ABCD 中 AD BC E 是 AB 中点 于 F EF CD 求证 SEF CD ABCD梯形 4 如图 点 D 是的 AB 边上的一点 ABCABAC BCDCACD 60 求的度数 A 5 在直角三角形 ABC 中 AD BE 是的中线 且 C90 ABCAD 8 求 AB 的长 BE 6 6 已知 如图 直线 ABEFCDEF 求证 ABCD 证明 假设 AB 与 CD 不平行 则直线 AB 与 CD 设它们的交点为 P 则经过点 P 就有 条直线和直线 EF 平行 这就与经过直线外一点 直线和已知直线平行相矛盾 所以假设不能成立 则 ABCD 7 如图 四边形 ABCD 请以此图形及其面积为条件 求作一个三角形 使这个三角形 的面积等于四边形 ABCD 的面积 试题答案试题答案 一 选择题 1 D 2 B 3 D 4 B 二 填空题 1 65 2 25 85 3 4 4 3 三 解答题 1 简析 简析 要根据条件中的说明与的关系 由于没有相应的定理支持 ABAC C B 需要考虑能利用的知识 我们只学习过 三角形外角大于任意一个不相邻的内角 因此 需要我们利用几何变换移动其中一个角的位置 重新构成图形关系 证明 证明 因为 在 AB 上截取一点 E 使 ABAC AEAC 作的平分线交 BC 于 D 连 DE BAC 则 EADCAD 在与中 EAD CAD AEAC EADCAD AD 公共 所以 EADCAD 故 AEDC 因为 AEDB 所以 CB 2 解 解 连结 OB OC 过 O 点作于 FOF BC 因为 O 点是的内心 ABC 所以 BO CO 是角分线 则及 BOCOBOC120 OBDOCE30 又因 MON120 所以 BODCOE 在与中 OBD OCE OBOCOBDOCEBODCOE 所以 OBDOCE 则SS OBDOCE 又OF BC 故 F 点是 BC 中点 即BF 3 则OF 3 因为SBC OF OBC 1 2 则Scm OBC 3 3 2 即Scm 阴影 3 3 2 3 证明 证明 过 E 点作 GH DC 交 DA 延长线及 CB 于 G H 因ADBC 故四边形 GHCD 是平行四边形 且 GEHBAEGBEH 又 E 是 AB 中点 有AEEB 所以 AEGBEH 所以SS AEGBEH 又因SEF CD GHCD平行四边形 则SEF CD ABCD梯形 4 解 解 因为所以ABAC ACBBAB 2180 同理 DCBB2180 所以 DCBA 又 所以 ACD60 BACBA60 于是 AAA2 6018020 5 解 解 设 因为 AD BE 是的中线 CExCDy ABC 所以ACxBCy 22 又 故 CADBE9086 28 26 222 222 xy xy 所以5510020 2222 xyxy ABACBCxyxy 2222222 22480 所以AB 4 5 6 相交 两 有且只有一条 7 简析 简析 要使一个四边形的面积化为三角