2013高考数学(理)一轮复习教案选修4-4-坐标系与参数方程第2讲-参数方程

本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 第 2 讲 参数方程 2013 年高考会这样考 考查直线 圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题 复习指导 复习本讲时 应紧紧抓住直线的参数方程 圆的参数方程 圆锥曲线的参数方 程的建立以及各参数方程中参数的几何意义 同时要熟练掌握参数方程与普通 方程互化的一些方法 基础梳理 1 参数方程的意义 在平面直角坐标系中 如果曲线上的任意一点的坐标 x y 都是某个变量的函数 Error 并且对于 t 的每个允许值 由方程组所确定的点 M x y 都在这条曲线上 则该方程叫曲线的参数方程 联系变数 x y 的变数 t 是参变数 简称参数 相 对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2 常见曲线的参数方程的一般形式 1 经过点 P0 x0 y0 倾斜角为 的直线的参数方程为Error t 为参数 设 P 是直线上的任一点 则 t 表示有向线段的数量 P0P 2 圆的参数方程Error 为参数 3 圆锥曲线的参数方程 椭圆 1 的参数方程为Error 为参数 x2 a2 y2 b2 双曲线 1 的参数方程为Error 为参数 x2 a2 y2 b2 抛物线 y2 2px 的参数方程为Error t 为参数 双基自测 1 极坐标方程 cos 和参数方程Error t 为参数 所表示的图形分别是 A 直线 直线 B 直线 圆 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 C 圆 圆 D 圆 直线 解析 cos x cos 代入到 cos 得 2 x x2 y2 x 表示 x x 圆 又 Error 相加得 x y 1 表示直线 答案 D 2 若直线Error t 为实数 与直线 4x ky 1 垂直 则常数 k 解析 参数方程Error 所表示的直线方程为 3x 2y 7 由此直线与直线 4x ky 1 垂直可得 1 解得 k 6 3 2 4 k 答案 6 3 二次曲线Error 是参数 的左焦点的坐标是 解析 题中二次曲线的普通方程为 1 左焦点为 4 0 x2 25 y2 9 答案 4 0 4 2011 广州调研 已知直线 l 的参数方程为 Error t 为参数 圆 C 的极坐标 方程为 2sin 则直线 l 与圆 C 的位置关系为 2 解析 将直线 l 的参数方程 Error 化为普通方程得 y 1 2x 圆 2sin 2 的直角坐标方程为 x2 y 2 2 圆心 0 到直线 y 1 2x 的距离为 22 2 1 1 4 因为该距离小于圆的半径 所以直线 l 与圆 C 相交 答案 相交 5 2011 广东 已知两曲线参数方程分别为Error 0 和Error t R 它 们的交点坐标为 解析 由Error 0 得 y2 1 y 0 由Error t R 得 x2 5 x y2 5y4 16y2 16 0 5 4 解得 y2 或 y2 4 舍去 4 5 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 则 x y2 1 又 0 得交点坐标为 5 4 1 2 5 5 答案 1 2 5 5 考向一 参数方程与普通方程的互化 例 1 把下列参数方程化为普通方程 1 Error 2 Error 审题视点 1 利用平方关系消参数 2 代入消元法消去 t 解 1 由已知Error 由三角恒等式 cos2 sin2 1 可知 x 3 2 y 2 2 1 这就是它的普通方程 2 由已知 t 2x 2 代入 y 5 t 中 3 2 得 y 5 2x 2 即x y 5 0 就是它的普通方程 3 233 参数方程化为普通方程 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参 数 常用的消参方法有代入消去法 加减消去法 恒等式 三角的或代数的 消去 法 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 不要忘了参数的 范围 训练 1 2010 陕西 参数方程Error 为参数 化成普通方程为 解析 由Error 得 Error 2 2得 x2 y 1 2 1 答案 x2 y 1 2 1 考向二 直线与圆的参数方程的应用 例 2 已知圆 C Error 为参数 和直线 l Error 其中 t 为参数 为直 线 l 的倾斜角 1 当 时 求圆上的点到直线 l 距离的最小值 2 3 2 当直线 l 与圆 C 有公共点时 求 的取值范围 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 审题视点 1 求圆心到直线 l 的距离 这个距离减去圆的半径即为所求 2 把圆 的参数方程化为直角坐标方程 将直线的参数方程代入得关于参数 t 的一元二次 方程 这个方程的 0 解 1 当 时 直线 l 的直角坐标方程为x y 3 0 圆 C 的圆心坐 2 333 标为 1 0 圆心到直线的距离 d 圆的半径为 1 故圆上的点到直线 2 3 23 l 距离的最小值为 1 3 2 圆 C 的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角 坐标方程 得 t2 2 cos sin t 3 0 这个关于 t 的一元二次方程有解 3 故 4 cos sin 2 12 0 则 sin2 即 sin 或 sin 3 6 3 4 6 3 2 又 0 故只能 sin 即 即 6 3 2 6 3 2 3 6 2 3 6 2 如果问题中的方程都是参数方程 那就要至少把其中的一个化为直角 坐标方程 训练 2 已知直线 l 的参数方程为Error 参数 t R 圆 C 的参数方程为 Error 参数 0 2 求直线 l 被圆 C 所截得的弦长 解 由Error 消参数后得普通方程为 2x y 6 0 由Error 消参数后得普通方程为 x 2 2 y2 4 显然圆心坐标为 2 0 半径为 2 由于圆心到直线 2x y 6 0 的距离为 d 2 2 0 6 22 1 2 5 5 所以所求弦长为 2 22 2 5 5 2 8 5 5 考向三 圆锥曲线的参数方程的应用 例 3 求经过点 1 1 倾斜角为 135 的直线截椭圆 y2 1 所得的弦长 x2 4 审题视点 把直线方程用参数表示 直接与椭圆联立 利用根与系数的关系及弦 长公式可解决 解 由条件可知直线的参数方程是Error t 为参数 代入椭圆方程可得 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 2 1 1 2 2 t 2 4 1 2 2 t 即 t2 3t 1 0 设方程的两实根分别为 t1 t2 则由二次方程的根与系数的 5 22 关系可得Error 则直线截椭圆的弦长是 t1 t2 t1 t2 2 4t1t2 6 2 5 2 4 2 5 4 2 5 普通方程化为参数方程 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参 数 即选定合适的参数 t 先确定一个关系 x f t 或 y t 再代入普通方程 F x y 0 求得另一关系 y t 或 x f t 一般地 常选择的参数有角 有向 线段的数量 斜率 某一点的横坐标 或纵坐标 普通方程化为参数方程需要引 入参数 选择的参数不同 所得的参数方程也不一样 训练 3 2011 南京模拟 过点 P 3 0 且倾斜角为 30 的直线和曲线Error t 为参数 相交于 A B 两点 求线段 AB 的长 解 直线的参数方程为Error s 为参数 又曲线Error t 为参数 可以化为 x2 y2 4 将直线的参数方程代入上式 得 s2 6s 10 0 3 设 A B 对应的参数分别为 s1 s2 s1 s2 6 s1s2 10 AB s1 s2 3 2 s1 s2 2 4s1s217 如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题 从近两年的新课标高考试题可以看出 对参数方程的考查重点是直线的参数方 程 圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用 特别是利用参数方程解 决弦长和最值等问题 题型为填空题和解答题 示例 本题满分 10 分 2011 新课标全国 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的 参数方程为Error 为参数 本资料来自于资源最齐全的 世纪教育网 21 世纪教育网 中国最大型 最专业的中小学教育资源门户网站 版权所有 21 世纪教育网 M 是 C1上的动点 P 点满足 2 P 点的轨迹为曲线 C2 OP OM 1 求 C2的方程 2 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线 与 C1的异于 3 极点的交点为 A 与 C2的异于极点的交点为 B 求 AB 第 1 问 利用代入法 第 2 问把曲线 C1 曲线 C2均用极坐标表示 再 求射线 与曲线 C1 C2的交点 A B 的极径即可 3 解答示范 1 设 P x y 则由条件知 M x 2 y 2 由于 M 点在 C1上 所以Error 即Error 从而 C2的参数方程为Error 为参数 5 分 2 曲线 C1的极坐标方程为 4sin 曲线 C2的极坐标方程为 8sin 射线 与 C1的交点 A 的极径为 1 4sin 3 3 射线 与 C2的交点 B 的极径为 2 8sin 3 3 所以 AB 2 1 2 10 分 3 很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的 形式命题 而且通常将极坐标方程 参数方程相结合 以考查考生的转化与化归 的能力 试一试 2011 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 求过椭圆Error 为参数 的右焦点 且与直线Error t 为参数 平行的直线的普通方程 尝试解答 由题设知 椭圆的长半轴长a 5 短半轴长b 3 从 而c 4 所以右焦点为 4 0 将已知直线的参数方程化为普通方程 a2 b2 x 2y 2 0 故所求直线的斜率为 因此其方程