2011年全国各地中考数学试题压轴题精选讲座一 几何与函数问题 人教新课标版

用心 爱心 专心1 20112011 年全国各地中考试题压轴题精选讲座一几何与函数问题年全国各地中考试题压轴题精选讲座一几何与函数问题 知识纵横 客观世界中事物总是相互关联 相互制约的 几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世 界的运动变化 相互联系和相互制约性 函数与几何的综合题 对考查学生的双基和探索能力有一定 的代表性 通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式 进一步研究几何的性质 沟通函数 与几何的有机联系 可以培养学生的数形结合的思想方法 典型例题 例 1 重庆 如图 矩形 ABCD 中 AB 6 BC 2 点 O 是 AB 的中点 点 P 在 AB 的延长线上 3 且 BP 3 一动点 E 从 O 点出发 以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动 到达 A 点后 立即以 原速度沿 AO 返回 另一动点 F 从 P 点发发 以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运动 点 E F 同时出发 当两点相遇时停止运动 在点 E F 的运动过程中 以 EF 为边作等边 EFG 使 EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧 设运动的 时间为 t 秒 t 0 1 当等边 EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时 求 运动时间 t 的值 2 在整个运动过程中 设等边 EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S 请直接写出 S 与 t 之间 的函数关系式和相应的自变量 t 的取值范围 3 设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H 是否存在这样的 t 使 AOH 是等腰三角形 若 存大 求出对应的 t 的值 若不存在 请说明理由 思路点拨 2 按照等边 EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的图形特点 分为 0 t 1 1 t 3 3 t 4 4 t 6 四种情况讨论 3 当 AOH 是等腰三角形时 分为三种 情况 列方程求 t 的值 例 2 广西梧州 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AD 6cm AB 8cm BC 14cm 动点 P Q 都从点 C 出发 点 P 沿 C B 方向做匀速运动 点 Q 沿 C D A 方向做匀速运动 当 P Q 其中一点到达终点时 另一点也随之停止运动 1 求 CD 的长 2 若点 P 以 1cm s 速度运动 点 Q 以 2cm s 的速度运动 连接 BQ PQ 设 BQP 面积为 2 S cm2 点 P Q 运动的时间为 t s 求 S 与 t 的函数关系式 并写出 t 的取 值范围 用心 爱心 专心2 3 若点 P 的速度仍是 1cm s 点 Q 的速度为cm s 要使在运动过程中出现 PQ DC 请你直接a 写出的取值范围 a 思路点拨 1 作辅助线 过 D 点作 DH BC 2 分 Q 在 CD 和 Q 在 DA 上两种情况讨论 3 要使运动过程中出现 PQ DC 根据平行四边形判定 只要考虑 QD PC 即可 例 3 山东青岛 如图 在 ABC 中 AB AC 10cm BD AC 于点 D 且 BD 8cm 点 M 从点 A 出发 沿 AC 的方 向匀速运动 速度为 2cm s 同时直线 PQ 由点 B 出发 沿 BA 的方向匀速运动 速度为 1cm s 运 动过程中始终保持 PQ AC 直线 PQ 交 AB 于点 P 交 BC 于点 Q 交BD 于点 F 连接 PM 设运动时 间为 ts 0 5 t 1 当 t 为何值时 四边形 PQCM 是平行四边形 2 设四边形 PQCM 的面积为 ycm2 求 y 与 t 之间的函数关系式 3 是否存在某一时刻 t 使 S四边形 PQCM S ABC 若存在 求出 的值 若不存在 说 9 16 t 明理由 4 连接 PC 是否存在某一时刻 使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上 若存在 求出t 此时 的值 若不存在 说明理由 t 思路点拨 1 假设四边形 PQCM 是平行四边形 从而推出结论 2 把梯形的上下底和高用 来表示 3 在假设 S四边形 PQCM S ABC的条件下 求出 讨论 4 在假设点 M 在线段 PCt 9 16 t 的垂直平分线上 求出此时 的值 t 例 4 湖南湘潭 已知 AB 是 O 的直径 AB 8 点 C 在 O 的半径 OA 上运动 PC AB 垂足 为 C PC 5 PT 为 O 的切线 切点为 T 用心 爱心 专心3 1 如图 1 当 C 点运动到 O 点时 求 PT 的长 2 如图 2 当 C 点运动到 A 点时 连接 PO BT 求证 PO BT 3 如图 3 设 PT2 AC 求与的函数关系式及的最小值 yxyxy 思路点拨 1 连接 OT 2 连接 AT 3 连接 OP OT 应用勾股定理 可得出与之间yx 的关系式 学力训练 1 山东聊城 如图 在矩形 ABCD 中 AB 12cm BC 8cm 点 E F G 分别从点 A B C 同时出发 沿矩形的边按逆时针方向移动 点 E G 的速度均 为 2cm s 点 F 的速度为 4cm s 当点 F 追上点 G 即点 F 与点 G 重合 时 三个点随之停止移 动 设移动开始后第 ts 时 EFG 的面积为 Scm2 1 当 1s 时 S 的值是多少 t 2 写出 S 与 之间的函数解析式 并指出自变量 的取值范围 tt 3 若点 F 在矩形的边 BC 上移动 当 为何值时 以点 B E F 为顶点的三角形与以 C t F G 为顶点的三角形相似 请说明理由 2 吉林省 如图 梯形 ABCD 中 AD BC BAD 90 CE AD 于点 E AD 8cm BC 4cm AB 5cm 从初始时刻开始 动点 P Q 分别从点 A B 同时出发 运动速度均为 1 用心 爱心 专心4 cm s 动点 P 沿 A B C E 的方向运动 到点 E 停止 动点 Q 沿B C E D 的方向运动 到点 D 停止 设运动时间为s PA Q 的面积为 y cm2 这里规定 线段是面积为 0 的三角形 x 解答下列问题 1 当 x 2s 时 y cm2 当 s 时 y cm2x 2 9 2 当 5 x 14 时 求 y 与之间的函数关系式 x 3 当动点 P 在线段 BC 上运动时 求出S梯形 ABCD时的值 15 4 yx 4 直接写出在整个运动过程中 使 PQ 与四边形 ABCE 的对角线平行的所有 x 的值 3 江苏淮安 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 点 P 在 AB 上 AP 2 点 E F 同时从点 P 出发 分别沿 PA PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A B 匀速运动 点 E 到达 用心 爱心 专心5 点 A 后立即以原速度沿 AB 向点 B 运动 点 F 运动到点 B 时停止 点 E 也随之停止 在点 E F 运动 过程中 以 EF 为边作正方形 EFGH 使它与 ABC 在线段 AB 的同侧 设 E F 运动的时间为 秒t 0 正方形 EFGH 与 ABC 重叠部分面积为 S t 1 当 1 时 正方形 EFGH 的边长是 t 当 3 时 正方形 EFGH 的边长是 t 2 当 0 2 时 求 S 与 的函数关系式 tt 3 直接答出 在整个运动过程中 当 为何值时 S 最大 最大面积是多少 t 4 贵州贵阳 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架 如图 中的一种 用心 爱心 专心6 设竖档 AB x 米 请根据以上图案回答下列问题 题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长 度和 所有横档和竖档分别与 AD AB 平行 1 在图 中 如果不锈钢材料总长度为 12 米 当 x 为多少时 矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米 2 在图 中 如果不诱钢材料总长度为 12 米 当 x 为多少时 矩形架 ABCD 的面积 S 最大 最大面 积是多少 3 在图 中 如果不锈钢材料总长度为 a 米 共有 n 条竖档 那么当 x 为多少时 矩形框架 ABCD 的面积 S 最大 最大面积是多少 几何与函数问题的参考答案 典型例题 用心 爱心 专心7 例 1 重庆 解 1 当边 FG 恰好经过点 C时 CFB 60 BF 3 t 在 Rt CBF 中 BC 2 tan CFB 即 tan60 3 BC BF 23 BF 3 存在 理由如下 在 Rt ABC 中 tan CAB CAB 30 BC3 AB3 又 HEO 60 HAE AHE 30 AE HE 3 t 或 t 3 1 当 AH AO 3 时 如图 过点 E 作 EM AH 于 M 则 AM AH 1 2 3 2 在 Rt AME 中 cos MAE 即 cos30 AM AE AE 即 3 t 或 t 3 3 2 AE 333 t 3 或 t 3 33 2 当 HA HO 时 如图 则 HOA HAO 30 又 HEO 60 EHO 90 EO 2HE 2AE 又 AE EO 3 AE 2AE 3 AE 1 即 3 t 1 或 t 3 1 t 2 或 t 4 3 当 OH OA 时 如图 用心 爱心 专心8 则 OHA OAH 30 HOB 60 HEB 点 E 和点 O 重合 AE 3 即 3 t 3 或 t 3 3 t 6 舍去 或 t 0 综上所述 存在 5 个这样的 t 值 使 AOH 是等腰三角形 即 t 3 t 3 t 2 t 4 t 0 33 又 DH HC DH BC C 45 在 Rt QCG 中 QG QC sin C 2t sin45 2t 2 又 BP BC PC 14 t S BPQ BP QG 14 t 2t 14t t2 1 2 1 2 当 Q 运动到 D 点时所需要的时间 t 4 S 14t t2 0 t 4 当 Q 在 DA 上时 过 Q 点作 QG BC 垂足为点 G 则 QG AB 8cm BP BC PC 14 t S BP Q BP QG 14 t 8 56 4t 1 2 1 2 当 Q 运动到 A 点时所需要的时间 t 4 S 56 4t 4 t 4 综合上述 所求的函数关系式是 S 2 14tt 0t4 3 2 564t4t4 2 3 要使运动过程中出现 PQ DC 的取值范围是 1 aa 4 32 用心 爱心 专心9 又 MC AC AN 10 2 t 2 1142 PQMCFD1028840 2255 yttttt 与 之间的函数关系式为 yt 2 2 840 5 ytt 3 S ABC 11 AC BD10 840 22 当时 即 9945 40 16162 ABC yS 2 245 840 52 tt 2 480175 0tt 解得 舍去 12 535 22 tt 当时 S四边形 PQCM S ABC 5 2 ts 9 16 4 假设存在某一时刻 使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上 则t MP MC 过 M 作 MH AB 交 AB 于 H 则 AHM ADB 又 HMAHAM BDADAB 22 AD1086 HMAH286 HM AH 861055 t tt 用心 爱心 专心10 例 4 湖南湘潭 解 1 连接 OT 当 C 点运动到 O 点时 PT 为 O 的切线 OT PT 在 Rt PTO 中 222222 AB PTPOOTPO 543 2 2 连接 AT 当 C 点运动到 A 点时 PC AB PA 是 O 的切线 PT 为 O 的切线 PA PT PO 平分 APT PO AT AB 是 O 的直径 ATB 是直角 即 BT AT PO BT 连接 OP OT AC xCOOAAC4x 在 Rt PCO 中 22222 POPCCO5 4 x 在 Rt POT 中 22222 POPTOTPT4 即 2222 PT45 4 x 222 45 4 yx 2 22 9 4 82549yxxxx 当 4 时 最小其值为 9 xy 与的函数关系式为 的最小值是 9 yx 2 825yxx y 学力训练 用心 爱心 专心11 1 山东聊城 解 1 如图 1 当秒时 1t AE 2 EB 10 BF 4 FC 4 CG 2 由 EBFFCGEBCG SSSS 梯形 111 EBCG BCEB BFFC CG 222 2 111 102 81044224 222 cm 2 如图 1 当时 点 E F G 分别在边 AB BC CD 上移动 02t 此时AE2BE122BF4FC84CG2ttttt EBFFCGEBCG 111 SSSS8 1222 4 122 2 84 222 F tttttt 梯形 2 83248tt 即 2 S83248tt 02t 若 即 解得 EBBF FCCG 1224 842 tt tt 2 3 t 又满足 所以当时 EBF FCG 2 3 t 02t 2 3 t 若 即 解得 EBBF CGCF 1224 284 tt tt 3 2 t 又满足 所以当时 EBF GCF 3 2 t 02t 3 2 t 综上所述 当或时 以点 E B F 为顶点的三角形与以 F C G 为顶点的三角形相似 2 3 t 3 2 t 2 吉林省 解 1 2 9 2 分三种情况 当 5 9 时 如图 x D B A E C P Q 用心 爱心 专心12 y S梯形 ABCQ S ABP S PCQ 2 111165 5455947 22222 xxxxxx 当 9 13 时 如图 x APQ 2 yS 1119 9 41435 222 xxxx 当 13 14 时 如图 x APQ yS 1 8 14456 2 xx 3 当动点 P 在线段 BC 上运动时 ABCD 441 yS4858 1515 2 梯形 即 14 49 0 解得 1 2 7 2 165 78 22 xx xxxx 当 7 时 x ABCD 4 yS 15 梯形 4 2161 101 999 x 3 江苏淮安 解 1 2 4 2 求点 H 在 AC 上时 的值 如图 1 t EP PF 1 tt 正方形 EFGH 中 HE EF 2 t 又 AP 2 AE AP EP 2 t 又 EFGH 是正方形 HEA C 90 又 A A ABC AHC BCAC68 HEAE22tt 即 6 11 t 求点 G 在 AC 上时 t 的值 如图 2 又 EP PF 1 tt 正方形 EFGH 中 GF EF 2 t 又 AP 2 AF AP PF 2 t 仿上有 ABC AGF D B A E C P Q D B A E C P Q 用心 爱心 专心13 BCAC68 FGAF22tt 即 6 5 t 因此 0 2 分为三部分讨论 t 错误 未找到引用源 当 0