八年级数学变量与函数、函数的图象华东师大版知识精讲

初二数学初二数学变量与函数 函数的图象变量与函数 函数的图象华东师大版华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 18 1 变量与函数 18 2 函数的图象 二 重点 难点 1 重点 1 在具体的问题情境中 探究出相应的函数关系式 2 学会用描点法画出一些简单的函数图象 2 难点 1 对函数概念和对应思想的理解 2 能够用函数图象描述运动变化过程和从函数图象中获取相关信息 三 知识梳理 1 常量与变量 1 常量 在一个变化过程中数值保持不变的量 叫做常量或常数 2 变量 在某一变化过程中 可以取不同值的量叫做变量 判断一个量是常量还是变量 需看两个方面 看它是否在一个变化的过程中 看 它在这个变化过程中的取值情况 另外 变量和常量都是相对于某一过程而言 没有绝对的变量 例如 一辆汽车用了 2 小时 从北京驶到天津 在这 2 小时的过程中 这辆汽车驶过的路程 是一个变量 但在 分析这辆汽车到达天津的时间和它的速率之间的关系这个过程中 路程 从北京到天津 则成为了常量 2 自变量与函数 1 函数定义 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y 如果对于 x 在某个范围内每一个值 按照某 个对应法则 y 都有唯一的值与它对应 那么就说 x 是自变量 y 是因变量 也称 y 是 x 的 函数 一个变化过程 两个变量 一种对应关系 自变量的取值范围 对于 x 的每一个值 就是变量 x 允许取的任意一个值 这些值 组成了自变量 x 的取值范围 对应关系 对于 x 的每一个值 y 都有唯一的值与它对应 说明变量 x 与 y 有确定 的对应关系 即 y 是 x 的函数 其中 唯一 的意义是 有一个且只有一个 2 自变量的取值范围 在某个变化过程中自变量 x 的允许取值范围 是确定函数的要素之一 如果用解析式表示函数 那么自变量的取值范围使解析式有意义 如果是由实际问题给出的函数 那么自变量的取值范围 既要使函数的解析式有意 义 还必须使实际问题有意义 在初中阶段的函数表达式中 自变量取值范围如下表 函数表达式自变量的取值 整式全体实数 分式分母不为 0 奇次时被开方数取全体实数 根式 偶次时被开方数为非负数 实际问题符合实际意义 3 函数值 如果 y 是 x 的函数 那么对于自变量 x 的一个确定的值 x a 计算所得到的 y 的对应 值叫做当 x a 时的函数值 求函数值时 要注意函数的对应关系 代入自变量的值计算时 要按照函数中代数式 指明的运算顺序进行 有时需要补出省略的乘号 再结合有理数的运算法则和规律 使运 算简化 3 函数的表示法 1 解析法 用数学解析式表示的函数的方法 叫做解析法 2 列表法 通过列表给出 y 与 x 的对应数值来表示函数的方法叫做列表法 3 图象法 把自变量 x 作为点的横坐标 对应的函数值 y 作为点的纵坐标 在直角 坐标系内描出对应的点 所有这些点的集合 叫做这个函数的图象 用图象来表示函数 y 与自变量 x 对应关系的方法叫图象法 4 平面直角坐标系 1 平面直角坐标系的概念 在平面内画两条互相垂直的数轴 其中水平的数轴叫x轴 或横轴 取向右为正方向 竖直的数轴叫y轴 或纵轴 取向上为正方向 它们的交点是原点 这个平面叫坐标平 面 平面直角坐标系具有以下特征 两条数轴 互相垂直 公共原点 通常取向 右 向上为正方向 单位长度一般取相同的 2 特殊点的坐标 x 轴上的点不在任何象限 且其纵坐标为 0 坐标为 x 0 y 轴上的点不在任何象限 且其横坐标为 0 坐标为 0 y 原点既在 X 轴上又在 Y 轴上 原点在坐标轴上 坐标为 0 0 一 三象限角平分线上的点的横 纵坐标相等 二 四象限角平分线上的点的横 纵坐标互为相反数 3 对称点的坐标 关于 X 轴对称的点 纵坐标变号 关于 Y 轴对称的点 横坐标变号 关于原点对称的点 横纵坐标都变号 4 坐标平面内点与一对有序实数对应 第一 平面有一个点 A 必有一对有序实数 x y 与它对应 第二 有一对有序实 数对 x y 在坐标平面内都有惟一确定的点与它对应 5 函数的图象 一般地 对于一个函数 如果把自变量 x 与函数 y 的每对对应值分别作为点的横坐标 与纵坐标 在坐标平面内描出相应的点 这些点所组成的图形 就是这个函数的图象 由函数的解析式画其图象的一般步骤是 1 列表 2 描点 3 连线 以上是由函数解析式画其图象的一般步骤 通过画图 能进一步体会函数的图象的意 义 为利用图象研究其性质 解决实际问题作准备 函数的图象是研究数形结合的一个重要体现 数与形的关系有着丰富的数学背景 它 是数学学习的一个必然跨越 这为进一步学习数学奠定了良好的基础 因此本节内容地位 尤为重要 函数图象概念的基础是有序实数对与坐标平面内的点之间一一对应的原理 概念的实 质是建立了函数的解析式与其图象间对应关系 开创了数 式 与形互相转化的雏型 典型例题典型例题 例 1 写出下列各问题中的关系式 并指出其中的常量与变量 自变量与因变量 1 运动员在 400m 一圈的跑道上训练 他跑一圈所用的时间 t s 与跑步的速度 v m s 的关系式 2 以一直线 l 上 n 个已知点为端点的射线的总条数 S 与已知点的个数 n 的关系式 分析 分析 1 路程 速度 时间 其中路程一定 是 400m 所以 vt 400 即 v t 400 2 在几何学里曾经介绍过 以一条直线一个已知点为端点的射线有两条 那么以一 直线上 n 个点为端点的射线共有 2n 条 解 解 1 其中 400 是常量 t 与 v 是变量 v 是自变量 t 是因变量 v t 400 2 S 2n 其中 2 是常量 S 与 n 是变量 n 是自变量 S 是因变量 例 2 写出下列各问题的函数关系式 并写出自变量的取值范围 1 直角三角形中一锐角的度数 y 与另一锐角的度数 x 之间的函数关系 2 某礼堂共有 25 排座位 第一排有 20 个座位 后面每排比前一排多 1 个座位 求 每排座位数 y 与这排的排数 x 的函数关系 分析 分析 要找函数关系 实质就是列二元方程 其关键是找相等关系 1 根据直角三 角形两锐角互余得关系式 再由直角三角形的锐角的度数不可能大于或等于求自变量 90 的取值范围 2 题的关键是先找出每排座位数 y 与该排排数之间的规律 再找出相等关 系 解 解 1 y 90 x 自变量 x 的取值范围是 0 x 90 2 y 20 x 1 1 即 y x 19 自变量 x 的取值范围是 l x 25 且 x 是整数 例 3 求下列函数中自变量 x 的取值范围 1 2 2 57 x y 64 2 x x y 3 4 xxy323 1 62 x x y 分析 分析 1 题中等号右边含自变量的式子 是整式 所以此题中自变量 x 可以取任意 实数 2 题中的数学式子是一分式 3 题中数学式子是两个表示算术平方根 64 2 x x 的式子 必须有二者的被开方数都不小于 0 4 题中的数学式子稍微复杂一点 要使它 有意义必须同时满足两个条件 第一 分子中的二次根式的被开方数大于等于 0 第二 分式的分母不为 0 解 解 1 x 取任意实数 2 x 取不等于的任意实数 2 3 3 由得所以 032 03 x x 3 2 3 x x 3 2 3 x 4 由 得 所以 x 3 且 x 1 01 062 x x 1 3 x x 例例 4 如下图所示 直线 l 是过正方形 ABCD 两对角线 AC 与 BD 交点 O 的一条动直线 从直线 AC 沿顺时针方向绕点 O 向直线 BD 位置旋转 不与直线 AC BD 重合 交边 AB CD 于点 E F 设 AE x 直线 l 在正方形 ABCD 中扫过的面积为 正方形边长 2 ycm AB 2cm 1 写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 2 若 BE 1 75cm 求 y 的值 分析 分析 1 由于题目中直线 1 在正方形中扫过的部分恰好是两个三角形 AOE COF 而正方形 ABCD 直线 l 都是关于点 O 对称的图形 所以 这两个三角形也关于点 O 成中心对称 也就是说 这两个三角形能完全重合 所以 二者的面积相等 只须求得 AOE 的面积便可以求得总面积 y 从 AOE 入手 只要求出 AE 边上的高即可 运用观察法 可知 直线 l 与边 AB 的交点 E 只能在边 AB 上 不包括点 A B 所以 自变量 x 的取 值范围是 0 x 2 2 要求当 BE 1 75cm 时 直线 l 在正方形中扫过的面积 必须先求自变量 x 的取 值再代入在 1 中所求得的函数关系式 解 解 1 如图所示 过点 O 画 OH AB 由于正方形 ABCD 中 OA OB 所以 AH BH AB 1cm OH 平分 AOB 2 1 又因为 OA OB 所以 1 2 即 1 2 45 45 所以 OH HB lcm 所以xxOHAES AOE 2 1 1 2 1 2 1 又因为点 O 是正方形 ABCD 的对称中心 直线 l 也关于点 O 成中心对称 所以 AOE 与 COF 也关于点 O 成中心对称 也就是说 AOE 与 COF 能完全重合 所以xSS AOECOF 2 1 所以xxy 2 1 2 1 即 y x 自变量 x 的取值范围是 0 x 2 2 当 BE 1 75cm 时 x AE AB BE 2 1 75 0 25 所以 y 0 25cm2 答 当 BE 1 75cm 时 直线 l 在正方形内扫过的面积是 0 25cm2 例 5 1 已知点 M a 1 2 a 的位置在第一象限 求 a 的取值范围 2 若 m 为整数 点 P 3m 9 3 3m 是第三象限的点 求 P 点的坐标 3 已知点 P 0 a 在 y 轴的负半轴上 则点在第几象限 1 1 2 aaQ 4 已知点 M x y 与点 N 2 3 关于 x 轴对称 求 x y 5 已知点和关于 y 轴对称 则的值为多少 5 1a P1 3 2 2 bP 2004 ba 分析 分析 此题是考查关于坐标平面内各象限的点的坐标特征以及关于坐标轴对称的点的 坐标特征等一些基本知识 解 解 1 因为点 M a 1 2 a 在第一象限 所以 解得 1 a 2 0a2 01a 2 因为点 P 3m 9 3 3m 是第三象限的点 所以 0m33 09m3 解得 1 m 3 又因为 m 为整数 所以 m 2 P 3 3 3 因为 P 0 a 在 y 轴负半轴上 所以 a0 又因为 则所以0a 2 01a 2 01a 2 所以点 Q 在第二象限 4 因为点 M x y 与点 N 2 3 关于 x 轴对称 所以 x 2 y 3 则 x y 2 3 1 5 因为点和关于 y 轴对称 所以 5 1a P1 3 2 2 bP 53 21 b a 解得所以 2 1 b a 11 ba 20042004 例 6 画出函数 y x 0 5 的图象 分析 分析 我们知道 函数的图象是由平面直角坐标系中的一系列点组成的 而这些点的 横坐标就是自变量的值 纵坐标就是与自变量的值所对应的函数值 按照 列表 描 点 连线这样的步骤来完成 这种画图象的方法就是人们常说的描点法 解 解 列表 x 3 2 10123 y 2 5 1 5 0 50 51 52 53 5 描点 并连线 即得函数 y x 0 5 的图象 如下图 例 7 一根粗细均匀的蜡烛 点燃后剩余长度 y cm 与燃烧时间 t h 的函数关系图象 如下图所示 看图回答下列问题 1 这根蜡烛共有多长 2 这根蜡烛能点燃的时间最多是多少小时 3 这根蜡烛平均每小时燃烧多少厘米 4 3 小时蜡烛燃烧了多长 分析 分析 利用图象解决问题的关键是正确识图 即先弄清横轴 纵轴分别表示自变量 函 数 再根据所提问题选择从哪根轴入手 找出图象上相应的点 再由这一点找出所需的结 论 解 解 由图象可知 1 这根蜡烛的长度共有 20cm 2 这根蜡烛共能燃烧 4h 3 这根蜡烛平均每小时燃烧 5cm 4 3 小时蜡烛燃烧了 15cm 例 8 2006 年山东东营 如图所示 边长分别为 1 和 2 的两个正方形 其一边在同一 水平线上 小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形 设穿过的时间为 t 大正方形 内除去小正方形部分的面积为 s 阴影部分 那么 S 与 t 的大致图象应为 分析 分析 本题考查学生从图象 数据中获取信息的能力 用到了数形结合的数学思想方 法 解 解 选 A 模拟试题模拟试题 答题时间 40 分钟 一 选择题 1 函数的自变量 x 的取值范围是 2 13 x y A B x 一 3C x 取任意实数D 3 1 x 3 1 x 2 2006 浙江诸暨 函数 y 中 变量 x 的取值范围是 x 2006 A x 0B x 0C x 0D x 0 3 函数 当 x 2 时 函数值为 1 xxy A 3B 2C 1D 0 4 若点 P a l b 1 在第三象限 则它关于 x 轴的对称点在第 象限 A 一B 二C 三D 四 5 若点 P a b 满足 ab 0 则点 P 在 A 坐标轴上B x 轴上 C 坐标原点D y 轴上 6 已知函数 则叙述正确的是 2 xy A 函数图象上的点都在 x 轴上方 2 xy B 函数图象上的点只在一 二象限 2 xy C 函数图象上的点不在 x 轴下方 2 xy D 函数图象上的点都在 x 轴下方 2 xy 二 填空题 1 试写出等腰三角形的底角度数 y 与顶角度数 x 之间的函数关系式 自变 量 x 的取值范围是 2 正方形的周长 c 与边长 a 的关系式为 其中常量是 变量是 3 若点在第四象限 则 m 的范围是 2 9 2 mm 4 下图是北京市某日的气温变化图 从图中我们可以获得信息 例如 1 这天 2 时的气温是 4 2 这天的最高气温为 11 8 3 这天