正定二次型的性质及应用

目目 录录 摘 要 1 关键词 1 Abstract 1 Keywords 1 前言 1 1 预备知识 1 1 1 二次型定义 1 1 2 正定二次型定义 2 2 正定二次型的性质 2 3 正定二次型的应用 7 3 1 正定二次型在解决极值问题中的应用 7 3 2 正定二次型在分块矩阵中的应用 8 3 3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 9 3 4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 10 3 5 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 11 3 6 正定二次型在欧氏空间中的应用 欧氏空间的内积与正定矩阵 12 3 7 正定二次型在解线性方程组中的应用 12 3 8 正定二次型在物理力学问题中的应用 12 结束语 13 参考文献 13 正定二次型的性质及应用正定二次型的性质及应用 摘 要 本文主要探讨了正定二次型的性质 结合例题重点介绍了正定二次 型的应用 如研究极值问题方面 解决多项式的根和在物理方面的应用等 关键词 正定二次型 正定矩阵 合同 初等变换 分块矩阵 The properties and Applications of positive definite Quadratic Forms Abstract In this paper the properties of positive definite quadratic form is discussed By giving examples we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form such as the application to extremum questions studying the polynomial root and applications in physics et al Keywords positive definite quadratic form positive definite matrix congruence elementary transformation partitioned matrix 前言前言 二次型是线性代数的主要内容之一 正定二次型是是实二次型中一类特殊 的二次型 占有特殊的地位 正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中 且 有很大的实用价值 它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程 技术也常常用到 正定矩阵是依附正定二次型给出的 因而对正定矩阵的性质 的考察 有助于更好地了解正定二次型 本文在二次型的基础上研究了正定二 次型与正定矩阵的一些性质及相关证明 并以例题的形式详细介绍了正定二次 型的一些应用 1 预备知识预备知识 1 1 二次型定义二次型定义 设是一数域 一个系数在数域中的的二次齐次多项式PP n xxx 21 nnnnn xxaxaxxaxxaxaxxxf 22 2 222112112 2 11121 222 2 nnnx a 称为数域上的一个元二次型 或者在不致引起混淆时简称二次型 Pn 1 2 正定二次型的定义正定二次型的定义 定义 1 实二次型称为正定的 如果对于任意一组不全为零 n xxxf 21 的实数都有 n ccc 21 0 21 n cccf 定义 2 实对称矩阵称为正定的 如果二次型正定 AAXX 2 正定二次型的性质正定二次型的性质 性质 1 实二次型 n xxxf 21 22 22 2 11nny dydyd 是正定的当且仅当 nidi 2 1 0 证明 必要性 因为 是正定的 所以对 n xxxf 21 22 22 2 11nny dydyd 于任意的一组不全为零的实数都有 于是取一组不全 n ccc 21 0 21 n cccf 为零的实数 这里第 个为 1 其余个为 0 有 0 0 1 0 0 0 i1 n 0 0 1 0 0 0 fnidi 2 1 0 充分性显然 性质 2 元实二次型是正定的充要条件是它的正惯性指数等n n xxxf 21 于 n 证明 设二次型经过非退化实线性替换变成标准型 n xxxf 21 22 22 2 11nny dydyd 1 上面的讨论表明 正定当且仅当 1 是正定的 而我们知道 n xxxf 21 二次型 4 是正定的当且仅当 即正惯性指数为 nidi 2 1 0 n 性质 3 正定二次型的规范形为 n xxxf 21 22 2 2 1n yyy 正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵 所以一个实对称矩阵是正定的当E 且仅当它与单位矩阵合同 性质 4 实二次型 正定的必要条件为 n xxxf 21 AXX 0 A 证明 有实二次型知是一正定矩阵 因为与单位矩阵合同 所以有可AA 逆矩阵使C CCECCA 两边取行列式 就有 0 2 CCCA 性质 5 实二次型 为正定的充分必要条件是的特征值 n xxxf 21 AXX A 都是正数 性质 6 若是正定矩阵 则也是正定矩阵 A 1 A 证明 如果正定 则由性质 2 知 因而可逆 且其存在可逆矩A0 AA 阵 使 将等式两边取逆有 令 于是TTTA 1 1 TTA 1 TC 所以也是正定矩阵 ECCCCA 1 1 A 性质 7 若是正定矩阵 则对任意的实数 也是正定矩阵 AkkA 证明 因为正定 所以对任意维实向量 都有 若An0 X0 AXX 则 故为正定矩阵 0 k0 AXXkXkAXkA 性质 8 若是正定矩阵 则的伴随矩阵也是正定矩阵 AA A 证明 因为正定 因而 且有性质四知也正定 而A0 A 1 A 又由性质 5 知为正定矩阵 A 1 AA A 性质 9 正定矩阵只能与正定矩阵合同 证明 若正定 则与单位矩阵合同 若也正定 则也与合同 AAEBBE 即 都与单位矩阵合同 故 合同 ABEAB 反之 若 合同 且正定 即与单位矩阵合同 所以也与ABAAEB 合同 故也为正定的 EB 综上 结论成立 性质 10 若 为正定矩阵 则也为正定矩阵 ABBA 证明 因为 为正定矩阵 故 为正定二次型 于是ABAXX BXX 也必为正定二次型 故为正定矩阵 XBAX BXXAXX BA 性质 11 若是正定矩阵 则对任意的正数 也是正定矩阵 Ak k A 证明 因为正定 那么A 当时 为实可逆矩阵 所以正定 mk2 mmmmk AAAAA m A k A 当时 因而与合同 有性质 7 知为正12 mk mmk AAAA k AA k A 定矩阵 所以无论哪种情况 都正定 k A 性质 12 实二次型 n xxxf 21 n i n j jiij xxa 11 AXX 矩阵的主对角线上的元素都大于零 A 证明 因为是正定矩阵 于是对任何 A0 2 1 n x x x X 恒有 n xxxf 21 0 11 n i n j jiij xxaAXX 其中为的元素 令 2 1 njiaij A 行 0 0 1 0 0 I Xi 2 1ni 那么证毕 0 iiii aAXX 2 1ni 性质 13 实二次型 n i n j jiijn xxaxxxf 11 21 AXX 是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零 A 证明 先证必要性 设二次型 n i n j jiijn xxaxxxf 11 21 是正定的 对于每个 令knk 1 n i n j jiijkk xxaxxf 11 1 我们来证是一个元的正定二次型 对于任意一组不全为零的实数 k fk 有 k cc 1 0 0 0 1 11 1 k n i n j jiijkk ccfccaccf 因此是正定的 由性质 4 的矩阵行列式 1kk xxf k f nk aa aa kkk k 1 0 1 111 这就证明了矩阵的顺序主子式大于零 A 再证充分性 对作数学归纳法 n 当时 1 n 2 1111 xaxf 由条件显然有是正定的 0 11 a 1 xf 假设充分性的判断对于元二次型已经成立 现在来证元的情形 1 nn 令 1 11 1 1 111 1 nnn n aa aa A nn n a a a 1 1 于是矩阵可以分块写成A nn aa aA A 1 既然的顺序主子式全大于零 当然的顺序主子式也全大于零 由归纳法假定 A 1 A 是正定矩阵 换句话说 有可逆的级矩阵使 1 A1 nG 11 n EGAG 这里代表级单位矩阵 令 1 n E1 n 10 0 1 G C 于是 nn n nn aGa aGEG aa aAG ACC 1 1 1 1 10 0 10 0 再令 10 1 2 aGE C n 有 aGGaa EaGE aGa aGE Ga E CACCC nn n n nn nn 1 1 1 1 21 1 2 0 0 101 0 令 21C CC aaGGaann 就有 a ACC 1 1 两边取行列式 aAC 2 有条件 因此 显然0 A0 a aaa 1 1 1 1 1 1 1 1 1 这就是说 矩阵与单位矩阵合同 因之 是正定矩阵 或者说 二次型AA 是正定的 1kk xxf 根据归纳法原理 充分性得证 3 正定二次型的应用正定二次型的应用 3 1 正定二次型在解决极值问题中的应用正定二次型在解决极值问题中的应用 定理 1 设元实函数在点的一个邻域中连续 且有足够n n xxxf 210 p 高阶的连续偏导数 则函数在点近旁有性质 n xxxf 210 p 1 若正定 则为极小点 AXX 0 p 2 若负定 则为极大点 AXX 0 p 3 若不定 则非极大或极小点 AXX 0 p 4 其余情形时 在性质有待研究余项的性质来确定 n xxxf 210 pR 特别当是二次函数时 0 只要半正 负 定 则 n xxxf 21 RAXX 为极小 大 点 0 p 例 1 求函数的极值 ln 22 yxxyz 解 22 2 22 2 ln yx yx yxyzx 22 2 22 2 ln yx xy yxxzy 解方程组 易得 0 0 y x z z 符号任意搭配 1 0 y x 0 1 y x e y e x 2 1 2 1 222 22 3 2 yx yxxy zxx 222 222 3 2 yx yxxy zyy 222 44 22 2 ln yx yx yxzz yxxy 于是 经计算得正定 yyyx xyxx zz zz A 02 20 2 1 2 1 2 1 2 1 AA 负定 不定 故 在 20 02 2 1 2 1 2 1 2 1 AA 02 20 1 0 0 1 AA 不取极值 在点 取极小值 1 0 0 1 z 2 1 2 1 2 1 2 1 eeee z 在点 取极大值 e z 2 1 极小 2 1 2 1 2 1 2 1 eeee z e z 2 1 极大 3 2 正定二次型在分块矩阵中的应用正定二次型在分块矩阵中的应用 例 2 设 分别是阶正定矩阵 试判定分块矩阵是否ABnm B A C 0 0 为正定矩阵 解 可证是正定矩阵 C 因为 都是实对称矩阵 从而也是实对称矩阵且任意的ABC 令0 XRX nm CXX 2 1 2 1 0 0 X X B A XX 2 21 1 BXXAXX 2 1 x x X 其中 且至少有一个是非零向量 于是 m RX 1 n RX 2 CXX 2 1 2 1 0 0 X X B A XX 2 21 1 BXXAXX 0 故是正定矩阵 C 3 3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 例 3 设次实系数多项式的根为 令n xf n xxx 21 k n kk k xxxS 21 221 21 110 nnn n n SSS SSS SSS S 证明 易证 这里 TTS 11 2 1 1 111 n n nn xxx T 必要性 设是个互异实根 因为是范德蒙行列式 所以 n xxx 21 nTT 即是非奇异的 又因为 所以与合同 即正定 0 T TETTTS SES 充分性 设是正定的 所以 那么互异 ST0 i x 若中有非实数 例如 那么的共轭数也是的根不妨 n xxx 21 1 x 1 x 1 x xf 设 因为是非奇异的 所以线性方程组 12 xx T 2 njaxaxa axaxa axaxa n n jj n n n n 30 1 1 1 1 10 1 1 1110 1 1 1110 有唯一解 0 110 n aaaa 因为是正定的 所以 作为二次型的是正定的 由 2 式有SSYYf 2 0 1 1 0 0 1 1 aTTaSaaf 这与是正定即是正定的矛盾 所以中不能有非实数的复数 所fS n xxx 21 以个根为互异的实根 nxf的 3 4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 例 4 利用直角坐标变换化简如下二次曲面方程 032682223 222 zyxxyzyx 其中 200 021 013 1 3 4 ABzyxX 作平移代换 321 aaaaaYX 则有 03 2 aYBaYAaY 即 0322 aBYBAaaAYaAaYAYY 令 32 aBAaa 又因为 AAAYaAaY 所以 0 2 YBAaAYY 适当选取 使 由秩知 aBAa 3 AA秩 线性方程组 BAa 有唯一解 2 1 1 321 aaa 由 又因为是可逆实对称阵 所以存在正交阵使得 2 9 可得BaAAT 3 2 1 ATT 其中 2 1 2 55 2 2 55 3 为的特征根 作正交线形替换 则A 3 2 1 ZZZZTZY 2 3 2 2 2 1 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 55 2 55 2ZZZZZZAYY 即 原方程可以化简为 2 3 2 2 2 1 2 55 2 55 2ZZZ 3 5 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 众所周知线形方程组 可能无解 0 0 0 2211 22222121 11212111 nsnsnn ss ss bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 即任意一组都可能使不等于零 s21 xxx n i isisii bxaxaxay 1 2211 我们设法找使最小 这样称为方程组的最小解 这种 00 2 0 1 s xxxy 00 2 0 1 s xxx 问题就叫最小二乘法问题 若记为上述线性方程组的系数矩阵 于是使得值最A T n bbbB 21 y 小的一定是方程组 的解 而其系数矩阵是一个正定矩阵 XAXX BX AA 它的惯性指数等于 因此这个线性方程组是有解的 这个解就是最小二乘解 n 3 6 正定二次型在欧氏空间中的应用 欧氏空间的内积与正定矩阵 正定二次型在欧氏空间中的应用 欧氏空间的内积与正定矩阵 定理 设是上的欧氏空间 那么的内积与阶正定矩阵是一一对应VRVn 的 3 7 正定二次型在解线性方程组中的应用正定二次型在解线性方程组中的应用 例 5 1 用矩阵给出平面上个点共线的充分必要条件n iii yxP 2 设是阶满秩矩阵 试证 是一个正定二次型 这An XAAX 里 n xxxX 21 解 1 设直线 个点共线是指线性方程组 把看成未知bkxy nbk 量 nn ybkx ybkx ybkx 22 11 有解 所以个点共线所以方程组有解 n iii yxP nnn yx yx x x 1 1 1 1 1111 秩秩 2 设是阶满秩矩阵 令 其中 则AnAXY 2 1n yyyY 是非退化现行替换 且 1 YAX 22 2 2 1 n yyyYYXAAX 由此可以看出 此二次型的正惯性指数与秩都等于 所以是正n XAAX 定二次型 3 8 正定二次型在物理力学问题中的应用正定二次型在物理力学问题中的应用 因为在物理力学问题中经常需要同时将两个二次型转化为标准型来实现 这事应用中很重要的一个问题 命题 设是阶正定矩阵 是阶实对矩阵 则存在阶可逆矩阵 AnBnnS 使得 其中为对角