一元一次不等式组解题技巧

一元一次不等式组解题技巧一元一次不等式组解题技巧 一 重点难点提示一 重点难点提示 重点 理解一元一次不等式组的概念及解集的概念 难点 一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定 二 学习指导 二 学习指导 1 几个一元一次不等式合在一起 就组成了一个一元一次不等式组 但这 几个一元一次不等式 必须含有同一个未知数 否则就不是一元一次不等式组了 2 前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成 在解方程组时 两个方程不是独立存在的 代入法和加减法本身就说明了这点 而一元一次不等式组中几个不等式却 是独立的 而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个 课本上主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组 3 在不等式组中 几个一元一次不等式的解集的公共部分 叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集 注意借助于数轴找公共解 4 一元一次不等式组的基本类型 以两个不等式组成的不等式组为例 类型 设 a b 不等式组的解集 数轴表示 同大型 同大取大 2 同小型 同小取小 3 一大一小型 小大之间 4 比大的大 比小的小空集 无解 三 一元一次不等式组的解法三 一元一次不等式组的解法 例例 1 1 解不等式组 并将解集标在数轴上 分析 分析 解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分 在解的过程中各个不等式彼此之间无关系 是独立的 在每一个不等式的解集都求出之后 才 从 组 的角度去求 组 的解集 在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题 步骤 解 解 解不等式 1 得 x 1 分别解不等式组的每 解不等式 2 得 x 4 一个不等式 2 求组的解集 借助数轴找公共部分 利用数轴确定不等式组的解集 原不等式组的解集为 1 解不等式 2 得 x 1 解不等式 3 得 x 2 在数轴上表示出各个解为 原不等式组解集为 1 1 解不等式 2 5 5 x 5 将 3 4 解在数轴上表示出来如图 原不等式组解集为 14x 5 得 x 3 1 先求出不等式组 解不等式 1得 x 2 的解集 2 在解集中找出它 所要求的特殊解 原不等式组解集为 x 正整数解 这个不等式组的正整数解 1 2 例例5 5 m 为何整数时 方程组 的解是非负数 分析 分析 本题综合性较强 注意审题 理解方程组解为非负数概念 即 先解方程组用m 的代数式表示 x y 再运用 转化思想 依据方程组的解集为非负数的条 件列出不等式组寻求 m 的取值范围 最后切勿忘记确定 m 的整数值 解 解 解方程组 得 方程组 的解是非负数 即 解不等式组 此不等式组解集为 m 又 m为整数 m 3或 m 4 例例6 6 解不等式 0 分析 分析 由 这部分可看成二个数的 商 此题转化为求商为负数的问题 两个数的商为负数这两个数异号 进行分类讨论 可有两种情况 1 或 2 因此 本题可转化为解两个不等式组 解 解 0 或 2 由 1 无解 由 2 原不等式的解为 x 例例 7 7 解不等式 3 3x 1 5 解法 解法 1 1 原不等式相当于不等式组 解不等式组得 原不等式解集为 解法 解法 2 2 将原不等式的两边和中间都加上 1 得 2 3x 6 将这个不等式的两边和中间都除以 3 得 原不等式解集为 例例 8 8 x取哪些整数时 代数式 与代数式 的差不小于6 而小于 8 分析 分析 1 不小于 6 即 6 2 由题意转化成不等式问题解决 解 解 由题意可得 6 原不等式组解集为 x x 6的整数解为 x 3 2 1 0 4 5 6 当 x 取 3 2 1 0 4 5 6 时两个代数式差不小于 6 而小于 8 例例9 9 有一个两位数 它十位上的数比个位上的数小 2 如果这个两位数大于 20 并且小于 40 求这个两位数 分析 分析 这题是一个数字应用题 题目中既含有相等关系 又含有不等关系 需运用不等式的知识来解决 题目中有两个主要未知数 十位上的数字与个位上的数 一个相等 关系 个位上的数 十位上的数 2 一个不等关系 20 原两位数 40 解法 解法 1 1 设十位上的数为 x 则个位上的数为 x 2 原两位数为 10 x x 2 由题意可得 20 10 x x 2 40 解这个不等式得 1 x 3 x为正整数 1 x 3 的整数为 x 2 或 x 3 当 x 2 时 当 x 3 时 10 x x 2 35 答 这个两位数为 24 或 35 解法 解法 2 2 设十位上的数为 x 个位上的数为 y 则两位数为 10 x y 由题意可得 这是由一个方程和一个不等式构成的整体 既不是方程组也不是不等式组 通常叫做 混合组 将 1 代入 2 得 20 11x 2 40 解不等式得 1 x 3 x为正整数 1 x 3 的整数为 x 2 或 x 3 当 x 2 时 y 4 当 x 3 时 y 5 答 这个两位数为 24 或 35 解法 解法 3 3 可通过 心算 直接求解 方法如下 既然这个两位数大于 20 且小于 40 所以它十位上的数只能是 2 或 3 当十位数为 2 时 个位数为 4 当十位数为 3 时 个位数为 5 所以原两位数分别为 24 或 35 例例10 10 解下列不等式 1 2 0 1 分析 分析 这个不等式不是一元一次不等式 因此 不能用解一元一次不等式的方法来解 但由绝对值的知识 x 0 可知 a xa a 0 则 x a 或 x a 解 解 4 4 由绝对值的定义可转化为 即 解不等式 1 去分母 3x 1 解不等式 2 去分母 3x 1 8 移项 3x 移项 3x 8 1 合并同类项 3x 合并同类项 3x 9 系数化为 1 系数化为 1 x 3 原不等式的解集为 3 2 分析 分析 不等式的左边为 是两个一次式的比的形式 也是以后要讲的分式形式 右边是零 它可以理解成 当 x 取什么值时 两个一次式的商是负数 由除法的符号法则可知 只要被除式与除式异号 商就为负值 因此这个不等式的求解问题 可以转化为解一元一次不等式组的问题 解 解 0 3x 6与 2x 1 异号 即 I 或 II 解 I 的不等式组得 不等式组无解 解II 的不等式组得 不等式组的解集为 x 2 原不等式的解集为 x0 3x 6 与 2x 1 同号 即I 或 II 解 I 的不等式组得 不等式组的解集为 x 2 解 II 的不等式组得 不等式组的解集为 x2 或 x0 或 0 与 ab 0 或 0 或 0 b 同号 即I 或 II 再分别解不等式组 I 和 II 如例10 的 3 题 2 ab 0 或 0 ab 0 或 0 b 异号 即I 或 II 再分别解不等式组 I 和不等式组 II 例例11 11 已知整数 x 满足不等式 3x 4 6x 2和不等式 1 并且满足方程 3 x a 5a 2 试求代数式 5a3 的值 分析 分析 同时满足两个不等式的解的x 值实际是将这两个不等式组成不等式组 这个不等式组的解集中的整数为 x 值 再将 x 值代入方程 3 x a 5a 2 转化成 a 的方程 求出 a 值 再将 a 代入代数式 5a3 即可 解 解 整数 x 满足 3x 4 和 1 x为 解集的整数值 解不等式 1 得 x 解不等式 2 得 x 1 的解集为 x3 B 不等式组 的解集是 3 x 2 C 不等式组 的解集是 x 1 D 不等式组 的解集是 4 x1 B x 3 C x3 D 1 x 3 3 不等式组 的解集是 A x1 C x8 B m 8 C m2 B x 1 C x2 D x 1 或 x 2 答案与解析答案与解析 答案 答案 1 D 2 D 3 D 4 C 5 C 解析 解析 2 分析 分析 由 1 得 x1 1 x 3 答案 D 3 分析 分析 先解不等式 看是否有解 由 1 得 x2 两者无公共部分 所以选 D 答案 D 5 因 x 1 与 x 2 的值的符号相同 所以 或 可求得 x 2 或 x0 或 ax bb 或 axb 或 ax b a 后 再把系数化为 1 应特别注意的是 当不等式的两边 都乘以或除以同一个负数时 不等号的方向必须改变 中考典例中考典例 1 解不等式 x 1 1 并把它的解集在数轴上表示出来 考点 考点 一元一次不等式的解法 评析 评析 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似 只要注意不等式性质3 的运用 该题可先去分母 不要漏乘 再去括号 然后化成 ax b 或 ax b 的形式 最 后得出解集 解题过程如下 解 解 原不等式化为 x 2 2 x 1 2 x 2 2x 2 2 它在数轴上表示为 2 河北省 在一次 人与自然 知识竞赛中 竞赛试题共有 25 道题 每道题都给出 4 个答案 其中只有一个答案正确 要求学生把正确答案选出来 每道题选对得 4 分 不选或选错倒扣 2 分 如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于 60 分 那么 他至少选对了 道题 考点 考点 一元一次不等式的应用 评析 评析 可设选对了x 道 那么选错或不选的共有 25 x 道题 根据题意 可以列不等式为 4x 2 25 x 60 解不等式得 18 取解集中的最小整数为 19 说明 说明 列不等式解的应用题 一般所求问题有至少 或最多 或不低于等词的要求 要正确理解这几个词的含义 3 商场出售的 A 型冰箱每台售价 2190 元 每日耗电量为 1 度 而 B 型节能冰箱每台售价虽比 A 型冰箱高出 10 但每日耗电量却为 0 55 度 现将 A 型冰箱打折出 售 打一折后的售价为原价的 问商场至少打几折 消费者购买才合算 按使用期为10 年 每年 365 天 每度电 0 40 元计算 考点 考点 一元一次不等式的应用 评析 评析 列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意 设出适当的未知数 消费者要买A 型冰箱 10 年的花费用比 B 型少才行 设打 x 折 那么 A 型 10 年的费用为 2190 365 10 1 0 40 B 型 10 年的费用为 2190 1 10 365 10 0 55 0 40 根据题意得不等式 2190 365 10 1 0 40 1 10 365 10 0 55 0 40 解得 x 8 所以至少打八折 解题过程如下 解 解 设商场将A 型冰箱打 x 折出售 消费者购买才合算 依题意 有 2190 365 10 1 0 4 1 10 365 10 0 55 0 4 即 219 1460 803 解这个不等式 得 x 答 商场应将 A 型冰箱至少打八折出售 消费者购买才合算 真题专练真题专练 1 不等式 7 2x 1的正整数解是 2 若代数式 2x 的值不大于代数式 8 的值 那么 x 的正整数解是 3 恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例 它反映了居民家庭的实际生活水平 各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示 家庭类型贫困家庭温饱家庭小康家庭发达国家家庭 最富裕国家家庭 思格尔系数 n 75 以上 50 75 40 49 20 39 不到 20 则用含 n 的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为 4 杭州市 x 的 2 倍减 3 的差不大于 1 列出的不等式是 A 2x 1 B 2x 3 1 C 2x 3 1 D 2x 3 1 5 内江市 解不等式 6 安徽省 解不等式 3x 2 1 2x 1 并把解集在数轴上表示出来 7 陕西省 乘某城市的一种出租汽车起价是 10 元 即行驶路程在 5km 以内都需付 10 元车费 达到或超过 5km 后 每增加 1km 加价 1 2 元 不足 1km 部分按 1km 计 现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地 支付车费 17 2 元 从甲地到乙地的路大约是多少 答案 答案 1 1 2 2 1 2 3 提示 根据题意得不等式 2x 解不等式得 x 正整数解为 1 2 3 3 40 n 49 4 A 5 解 解 去分母得 8x 4 20 x 2 15x 60 移项合并同类项得 27x 54 解得 x 2 6 解 解 3x 2 4x 1 7x 3 x 所以 原不等式的解集为x 在数轴上表示为 7 解 解 设从甲地到乙地的路程大约是 xkm 根据题意 得 16 10 1 2 x 5 17 2 解此不等式组 得 10 x 11 答 从甲地到乙地的路程大于 10km 小于或等于 11km 一元一次不等式组和它的解法一元一次不等式组和它的解法 考点扫描考点扫描 1 了解一元一次不等式组及其解集的概念 2 掌握一元一次不等式组的解法 会用数轴确定一元一次不等式组的解集 名师精讲名师精讲 1 一元一次不等式组及其解集 几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起 就组成了一个一元一次不等式组 几个一元一次不等式的解集的公共部分 叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集 2 求不等式组的解集的过程 叫做解不等式组 3 解一元一次不等式组的步骤 1 分别求出不等式组中各个不等式的解集 2 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分 即这个不等式组的解集 中考典例中考典例 1 不等式组 的解集是 考点 考点 一元一次不等式组的解法 评析 评析 分别求出不等式组中的每一个不等式的解集 解不等式 1 得 x 4 解不等式 2 得 x 5 公共部分是 x 4 即为不等式组的解集 所以结果为 x 4 2 若不等式组 的解集为 1 x 1 那么 a 1 b 1 的值等于 考点 考点 不等式组解集的应用 评析 评析 此题类型是 已知不等式组的解集 求其中字母系数 进而求关于字母系数的代数式的值 这类问题解法是 先解不等式组 求得其解集 再与给出的解集相联系 求出字母 系数的值 进而代入所给代数式 求出代数式的值 具体解法如下 解 解 由2 1 得 x 由 2b 3 得 x 3 2b 因为方程组有解 所以 3 2b 方程组的解是 3 2 又已知方程组的解是 1 B x 6 C 1 x 6 D x6 8 不等式组 的解在数轴上可表示为 9 不等式组 的解集 A x 1 B x 2 C 1 x 2 D 1 x 2 10 不等式组 的整数解是 A 1 0 1 B 1 1 C 1 0 D 0 1 11 不等式组成 的整数解的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 12 一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 A B C D 13 不等式组 的解集是 A 2 x 1 B x 2 D 无解 14 不等式组 的解集是 A 4 x 1 B 4 x 1 C 1 x 4 D 1 x 4 15 不等式组 的整数解的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 16 有解集为 2 x 3 的不等式组是 A B C D 17 解不等式组 18 解不等式组 19 求不等式组 的整数解 20 解不等式组 21 解不等式组 并写出不等式组的整数解 22 解不等式组 并把解集在数轴上表示出来 23 解不等式组 并把解集在数轴上表示出来 24 解不等式组 25 解不等式组 并在数轴上表示解集 26 求不等式组 的整数解 答案 答案 1 4 x 2 3 2 2 x 4 3 1 x 2 4 x 3 5 10 x 2 6 0 a 1 提示由已知得 x a x 则其解集为 a x 3 故 a 的范围为 0 a 1 7 C 8 A 9 D 10 C 11 D 12 C 13 A 14 A 15 C 16 C 17 解 解不等式 1 得 x 3 解不等式 2 得 x 8 3x x 2 在数轴上表示不等式 1 2 的解集 不等式组的解集为 2 3 18 解 解 10 3 2 x 1 得 x 4 解x 得x 不等式组的解集为 x 19 解 解 3x 7 5 x 2 得 x 解 得x 2 不等式组的解集为 x 2 在 x 2 中的整数有 1 0 1 不等式组的整数解是 0 1 20 解 解不等式 得 x 2 解不等式 得 x 1 所以不等式组的解集是 1 x 2 21 解 解不等式 2x 5 3 x 2 得 x 1 解不等式 得x3 则 m 的取值范围是 A m B m 3 C m3 得 3 m 选 D 例例3 3 重庆市中考题 若不等式组 的解集是 1 x 1 那么 a 1 b 1 的值等于 解 解 化简不等式组 得 它的解集是 1 x2 的解集为 则a 的取值范围是 A a 0 B a 1 C a 0 D a 1 解 解 对照已知解集 结合不等式性质 3 得 1 a1 选 B 例例5 5 湖北荆州市中考题 若不等式组 的解集是x a 则 a 的取值范围是 A a3 D a 解 解 根确定不等式组解集法则 大大取较大 对照已知解集 x a 得 a 3 选 D 三 利用性质 分类求解三 利用性质 分类求解 例例6 6 已知不等式 的解集是 求a 的取值范围 解 解 由解集 得x 20 时 得解集 与已知解集 矛盾 当a 1 0 时 化为 0 x 0 无解 当a 1 0 时 得解集 与解集 等价 例例 7 7 若不等式组 有解 且每一个解x 均不在 1 x 4范围内 求 a 的取值范围 解 解 化简不等式组 得 它有解 5a 6 3a a 3 利用解集性质 题意转化为 其每一解在 x4 内 于是分类求解 当 x4 时 得 42 故 或2 a 3 为所求 评述 评述 1 未知数系数含参数的一次不等式 当不明确未知数系数正负情况下 须得分正 零 负讨论求解 对解集不在 a x b 范围内的不等式 组 也可分 x a 或 x 求解 2 要细心体验所列不等式中是否能取等号 必要时画数轴表示解集分析等号 四 借助数轴 分析求解四 借助数轴 分析求解 例例8 8 山东聊城中考题 已知关于x 的不等式组 的整数解共5 个 则 a 的取值范围是 解 解 化简不等式组 得 有解 将其表在数轴上 如图1 其整数解 5 个必为 x 1 0 1 2 3 由图 1 得 4 a 变式变式