2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)

1 2009 年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共计 50 分 1 已知集合 则 A 1 2 M 21 NaMa MN A B C D 空集 1 2 1 3 2 1 解 由于 所以 答案为 A 21 1 3 NMaa 1 MN 2 已知椭圆上一点 P 到点 4 0 距离等于 4 则 P 点到直线的距离为 1 925 22 yx 4 25 x C A 4 B 6 C D 15 2 5 4 解 因为 则 于是 P 到另一个焦点的距离等于 5 3ab 4c 4 0 2546 由于直线为椭圆的左准线方程 则 P 到直线的距离为 4 25 x 4 25 x 66 7 5 4 5 d e 答案为 C 3 等差数列中 则部分和中最大的是 C n a0 1 a 138 53aa n S A B C D 10 S 11 S 20 S 21 S 解 由题意知 所以是单调递减数 138 53aa 111 3 7 5 1 2 39 2 0adadda n a 列 又 由此可得当时 最大 111 22 1 20 39 1 1 0 39 n aanaann 20n n S 答案为 C 4 已知平面上单位向量 则下列关系式正确的是 B 5 124 3 13 135 5 ab A B C D ab abab abab aab 解 因为 都是非零单位向量 以为边 为对角线构成一个菱形 所以 a b a b ab ab 答案为 B abab 5 方程有三个不同的实数根 则实数 a 的取值范围为 A 3 120 xxa A B C D 16 16 16 16 8 8 解 令 则 3 12f xxxa 2 312fxx 2 31202fxxx 2 要使有三个不同的零点 则必须有 即 0f x 2 2 0ff 16 16 0aa 也即有 答案为 A 1616a 6 设 则使代数式有意义的动点形成的图形 C x y rR 222 lg rxyxy x y A 关于 x 轴对称 B 关于 y 轴对称 C 关于直线对称 D 关于直线 yx 对称 yx 解 由题意得 则动点 x y 形成的图形关于直线 y x 对称 222 0 rxy xy 答案为 C 7 的二项展开式中常数项为 D 2009 6 1 x x A B C D 286 2009 C 287 2009 C 286 2009 C 287 2009 C 解 由于 则出现常数项 须满足 2009 20096 2009 2009 6 0 1 k k kk xCxx x 答案为 D 200960287kkk 8 函数 f x 在 0 1 上单调 是 函数 f x 在 0 1 上有最大值 的 B A 必要非充分条件 B 充分非必要条件 C 充分且必要条件 D 既非充分也非必要条件 解 答案为 B 9 已知立体的三视图如下 问该立体的体积为 C 侧视图 等腰直角三角形 直角边长为 1 俯视图 正方形 边长为 1 正视图 等腰三角形 底 边边长为 1 高为 1 A 1 B C D 2 1 3 1 6 1 解 答案为 C 10 问下述计算机程序的打印结果为 D A B C D 100 89 110 68 100 68 144 89 3 开始 1 1 yx yxz 100 z xy 是 输出 z y 否 yz 打印 解 答案为 D 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 7 分 共计 49 分 11 8 4 4 1 1ii 解 由于 所以 2 1 2ii 422 4 1 1 2 2 8iiii 12 直线与函数的图像至少有三个公共点 则实数 b 的取值范围为 yb 2 43 yxx 01b 解 通过作图可知 实数 b 的取值范围为 01b 13 对任意正整数 n 数列满足 则 n a 1 3 n i i an 2009 2 1 1 i i a 2008 6027 解 由题意得 于是 332 1 1 331 nnn aSSnnnn 2 111111 331 1 n annnn 所以 20092009 22 111112008 1 31320102 1 0967 ii i iai 14 已知 则 3 3 coscos 3 6 sinsin 2 cos2 1 4 4 解 2221 sinsin coscos 33 21 12sinsin 12coscos 33 22sinsin2coscos1 1 1cos 2 2 1 cos 24 15 实数满足 则的最大值为 x y z 222 1xyz 2xyyz 3 2 解 2222222 21212 22 2 33333 1 yxyzxyyzxyyzxyz 由此可得 其中等号成立当且仅当 3 2 2 xyyz 1 2 1 36 1 xyz 16 在边长为 1 的正方体中 分别为 上的点 且 1111 DCBAABCD FE 1 AA 1 CCFCAE 1 则四边形的面积最小值为 1 EBFD 6 2 解 由题意 可得 当 E F 分别是 的中点时 四边形的面积可取到最小 1 AA 1 CC 1 EBFD 值 6 2 17 设 则自然数 x y z 的乘积能被 10 整除的情形有 72 种 6 1 zyx 解 1 x y z 的取法有种 2 x y z 不取 2 4 6 的取法有种 3 x y z 3 6 3 3 不取 5 的取法有种 4 x y z 不取 2 4 5 6 的取法有种 由容斥原理得 3 5 3 2 x y z 的乘积能被 10 整除的情形有 72 3333 6352 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 17 分 共计 51 分 18 三棱锥 S ABC 中 SA平面 ABC 1 SABCAB 2 ABC 1 求 SC 与平面 ABC 所成夹角的正弦值 2 求 B 到平面 ASC 的距离 3 求平面 SBC 与 SAC 所成锐二面角的大小 解 在平面 ABC 上 过 A 作 以 A 为原点 以向量 AB AD AS 的方向分别为 x y zADAB 轴 建立空间直角坐标系 于是有 0 0 0 A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 0 1 S 1 因为 SA平面 ABC 所以 SC 与平面 ABC 所成夹角就是 在直角 SAC 中 ACS 于是 5 分 2 3ACSC 1 sin 3 SA ACS SC 2 设平面 ASC 的法向量为 则且 而 nx y z nAS nSC 0 0 1 1 1 1 ASSC 所以 从而有 0 0 z xyz 1 1 0 n 5 于是 B 到平面 ASC 的距离为 11 分 2 2 AB n d n 3 设平面 SBC 的法向量为 则且 而 所以 mx y z mBC mSC 0 1 0 BC 从而有 0 0 y xyz 1 0 1 m 设平面 SBC 与 SAC 所成锐二面角为 则 即 17 分 cos 1 2 m n m n 3 19 已知抛物线 上两个动点 O 为坐标原点 2 2ypx 0p 1122 A x yyB x 1 求线段 AB 中点的轨迹方程 C 2 若在 C 上的点到直线OAOB 的距离为 d 求 d 的最小值 22 50ypx 解 设 则 又因为 所以 2 11 2ypx 2 22 2ypx 2 1212 2 1 4 x xy y p OAOB 1212 0 x xy y 从而有 即有 5 分 2 1212 2 1 0 4 y yy y p 2 12 4y yp 1 设 AB 的中点坐标为 则 于是有 x y 1212 22 xyy y x x 22222 12121212 1111 2 4 244 8 4 xyyxxyyyyy pp p p 即为该中点的轨迹方程 11 分 22 2ypxp 2 22 2222 5 22 5 2 5 55 1 2 5 pyp xypyp d y p p p 当时 17 分 yp 3xp min 2d 20 设函数 其中 b 为任意常数 证明 当bxbaaxxf 23 2 0 a 时 有 10 x 1 0 max ffxf 证 已知 所以为其极小值点 此时bxbaaxxf 23 2 0 3 x ab a 而 2222 0 3 3 ababab aa ab f x 0 01 max max 0 1 xf x f xff 7 分 1 此时有 0 01x 0 20 ab ab i 当时 0b 1 1 0 fababfbf 6 22 0 3 1 abab f xf a 22 3 ababa ab 222 23ababa 此不等式显然成立 30aab 于是有 10 max x f x 0 max 0 1 1 max 0 1 f xfffff ii 当时 0ab 1 1 0 0 fababffbf 此时同样有 0 1 f xf 于是有 10 max x f x 0 max 0 1 max 0 1 f xffff iii 当时 此时考虑0ba 1 0 0 fabbafbf 0 0 f xf 22 3 bbaaab 22 2 3baa 302aab 23 aab 于是有 12 分 10 max x f x 0 max 0 1 max 0 1 f xffff 2 此时有 由于 所以 于是有 0 0 x 0ab 0a 0b 10 max x f x max 0 1 max 1 max 0 1 ffb ababfff 3 此时有 由于 所以 于是有 0 1x 20ab 0a 0b 10 max x f x max 0 1 max ffb ab 当时 ab max max max 0 1 b abb abff 当时 ab max max max 0 1 b abb babff 综合 1 2 3 有 当时 有 17 分 10 x 1 0 max ffxf 四 附加题 本大题共 2 小题 每小题 25 分 共计 50 分 注 附加题每题的得分只能是 0 5 10 15 20 25 即 5 分为一个档次 21 设 且 试求 并证明之 Rxi2010 2 1 i1 2010 1 2009 i i x 2010 1 2009 2008 1 min i i i x x 解 由于 5 分 20082009 20102010 20092009 11 1 1 ii ii iii xx xxx 令 则对任意 有 2009 1 iii yxx 12010i 7 2009200920092009 2009 1 2 1 0 9 0 iii yxx 2010 2010 20092009 20092009 1 2009 201020 11 2009009120 ii xx 即有 10 分 1 2010 2009 2010 2009 2009 2009 2010 2010 1 2009 i y 从而有 2010 2009 2009 201012010 2010 20092009 i y 由于 所以 15 分 1 2010 1 2009 i i x 20082009 20102010 20092009 11 2009 1 2010 2010 201 09 ii ii iii xx xxx 上式等号成立的充要条件是 即 20092009 20091 ii xx 2009 1 1 201 2010 0 i xi 因此 25 分 2008 2010 2009 2009 1 2010 201min 0 91 0 2 0 i i i x x 评分标准 求出最小值得评分标准 求出最小值得 5 分 中间过程分 中间过程 20 分 分 22 用一个数列取遍走遍复平面上所有整点 令 然后按逆时针方向逐格前进 0 0 a1 1 a 再令 其中 i 为虚数单位 求的最简洁的统一表达式 1 nf nn iaa nf 解 由于 所以应是模 4 的同余式 为了寻找规律 我们首先去求 4 1i f n 0 1 2 2 3 3 4 4 4 5 5 2 2 21 2 5 1kkkkf n 的表达式 10 分 在这里 对使的最小 n 有 2f nk 2 1222 1 kk kn 所以