排列组合问题的解题技巧

排列组合问题的解题技巧排列组合问题的解题技巧 陕西武功陕西武功 梁小宁梁小宁 排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点 其思考方法独特排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点 其思考方法独特 求解思路灵求解思路灵 活活 因而在解题中极易出现因而在解题中极易出现 重复重复 或或 遗漏遗漏 的错误的错误 虽然近几年高考将侧重点放虽然近几年高考将侧重点放 在两个计数原理的考察上在两个计数原理的考察上 但当对问题类型把握准确时但当对问题类型把握准确时 解答的准确性上将会有解答的准确性上将会有 很大的提升很大的提升 解答速度也会大大提高解答速度也会大大提高 以下介绍几类典型排列组合问题的解答技以下介绍几类典型排列组合问题的解答技 巧巧 1 1 相邻问题捆绑法 相邻问题捆绑法 例例1 1 6 6名同学排成一排 其中甲 乙两人必须排在一起的不同排法有 名同学排成一排 其中甲 乙两人必须排在一起的不同排法有 种 种 A A 720720 B B 360360 C C 240240 D D 120120 解 因甲 乙两人要排在一起 故将甲乙两人捆在一起视作一人有解 因甲 乙两人要排在一起 故将甲乙两人捆在一起视作一人有 种排法 与其余四人进行全排列有种排法 与其余四人进行全排列有 种排法 由乘法原理可知 共有 种排法 由乘法原理可知 共有 240 240种不同排法 故选 种不同排法 故选 C C 点评 从上述解法可以看出 所谓点评 从上述解法可以看出 所谓 捆绑法捆绑法 就是对元素进行整体处理的 就是对元素进行整体处理的 形象化表述 体现数学中的整体思想 对于以形象化表述 体现数学中的整体思想 对于以 某些元素必须相邻某些元素必须相邻 为附加条件为附加条件 的排列组合问题 只要把必须相邻的元素的排列组合问题 只要把必须相邻的元素 捆捆 成一个整体 视作一个成一个整体 视作一个 大大 元素 元素 再考虑相邻元素内部的排列或组合 就能保证这些元素相邻而不散乱 再考虑相邻元素内部的排列或组合 就能保证这些元素相邻而不散乱 训练 训练 3 3名男教师 名男教师 3 3名女教师 名女教师 6 6名学生站成一排 要求男教师和女教名学生站成一排 要求男教师和女教 师必须站在一起 且教师不站在两端 则一共有多少种站法 师必须站在一起 且教师不站在两端 则一共有多少种站法 2 2 相隔问题插空法 相隔问题插空法 例例2 2 排一张排一张5 5个歌唱节目和个歌唱节目和4 4个舞蹈节目的演出节目单个舞蹈节目的演出节目单 1 1 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 2 2 舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种 舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种 解解 1 1 先排歌唱节目有先排歌唱节目有 种 歌唱节目及两端有 种 歌唱节目及两端有6 6个空位 从这个空位 从这6 6个空位个空位 中选中选4 4个放入舞蹈节目 共有个放入舞蹈节目 共有 种方法 所以任何两个舞蹈节目不相邻 种方法 所以任何两个舞蹈节目不相邻 的排法有的排法有 种 种 3 3 先排舞蹈节目有先排舞蹈节目有 种排法 在舞蹈节目和两端有 种排法 在舞蹈节目和两端有5 5个空位 恰好供个空位 恰好供5 5 个歌唱节目放入 所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有个歌唱节目放入 所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有 种 种 训练 若将例题当中的训练 若将例题当中的 4 4个舞蹈节目个舞蹈节目 改为改为 5 5个舞蹈节目个舞蹈节目 求舞蹈节目和歌唱 求舞蹈节目和歌唱 节目间隔排列的方法有多少种 节目间隔排列的方法有多少种 点评 从解题过程可以看出 点评 从解题过程可以看出 插插 的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不 相邻问题的常用手段 在具体操作时 可以先将其它元素排好 再将所指定的相邻问题的常用手段 在具体操作时 可以先将其它元素排好 再将所指定的 不相邻的元素不相邻的元素 插入插入 到它们的间隙及两端位置 从而保证它们不相邻 到它们的间隙及两端位置 从而保证它们不相邻 3 3 限定问题优限法 限定问题优限法 例例3 3 由数字由数字0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5可组成多少个无重复数字的四位偶数 可组成多少个无重复数字的四位偶数 解 因所求是偶数 所以个位必须是解 因所求是偶数 所以个位必须是0 0 2 2 4 4中的任何一个 又首位不能为中的任何一个 又首位不能为0 0 所以分个位为所以分个位为0 0时有时有 种 个位不为 种 个位不为0 0时有时有 种 所以共有 种 所以共有 种 种 点评 所谓点评 所谓 优限法优限法 即有限制条件的元素 或位置 在解题时优先考虑 本 即有限制条件的元素 或位置 在解题时优先考虑 本 题对四位偶数中的个位数字有特殊要求 首位数字又不能为题对四位偶数中的个位数字有特殊要求 首位数字又不能为0 0 故优先考虑 故优先考虑 训练训练 本例条件不变 问题改为本例条件不变 问题改为 求能组成多少个无重复数字且比求能组成多少个无重复数字且比20002000大的四位大的四位 偶数 偶数 应如何求解 应如何求解 4 4 多元问题分类法 多元问题分类法 例例4 4 三边长均为整数三边长均为整数 且最大边长为且最大边长为1111的三角形有多少个的三角形有多少个 解解 设三角形的另外两个边分别为设三角形的另外两个边分别为 x x 和和 y y 且不妨设且不妨设 要构成三角形要构成三角形 必有必有 则分类讨论如下 则分类讨论如下 当当 y y 为为1111时 时 x x 可以为 可以为 1 2 3 1 2 3 11 11 可有可有1111个三角形 个三角形 当当 y y 为为1010时 时 x x 可以为 可以为 2 3 4 2 3 4 10 10 可有可有9 9个三角形 个三角形 当当 y y 为为9 9时 时 x x 可以为 可以为 3 4 5 3 4 5 9 9 可有可有7 7个三角形 个三角形 当当 y y 为为8 8时 时 x x 可以为 可以为 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 可有可有5 5个三角形 个三角形 当当 y y 为为7 7时 时 x x 可以为 可以为 5 6 7 5 6 7 可有可有3 3个三角形 个三角形 当当 y y 为为6 6时 时 x x 可以为 可以为 6 6 只有只有1 1个三角形 个三角形 所以所求的三角形有所以所求的三角形有11 9 7 5 3 1 3611 9 7 5 3 1 36个 个 点评 元素多 取出的情况也多种 可按结果要求 分成互不相容的几类情况点评 元素多 取出的情况也多种 可按结果要求 分成互不相容的几类情况 分别计算 最后总计 分别计算 最后总计 训练训练 某城市在中心广场建造一个花圃某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为花圃分为6 6个部分个部分 如图如图 现要栽现要栽4 4种不同种不同 颜色的花颜色的花 每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花 不同的栽种方法不同的栽种方法 有多少种有多少种 5 5 标号排位问题分步法 标号排位问题分步法 例例5 5 同室同室4 4人各写一张贺年卡 先集中起来 然后每人从中拿一张别人送来人各写一张贺年卡 先集中起来 然后每人从中拿一张别人送来 的贺年卡 则四张贺年卡的分配方式有 的贺年卡 则四张贺年卡的分配方式有 A A 6 6种种 B B 9 9种种 C C 1111种种 D D 2323种种 解 此题可以看成是将数字解 此题可以看成是将数字1 1 2 2 3 3 4 4填入标号为填入标号为1 1 2 2 3 3 4 4的四个方格里 的四个方格里 每格填一个数 且每个方格的标号与所填数不同的填法问题 所以先将每格填一个数 且每个方格的标号与所填数不同的填法问题 所以先将1 1填入填入2 2 至至4 4号的号的3 3个方格里有个方格里有 种填法 第二步把被填入方格的对应数字 填入种填法 第二步把被填入方格的对应数字 填入 其它其它3 3个方格 又有个方格 又有 种填法 第三步将余下的两个数字填入余下的两种填法 第三步将余下的两个数字填入余下的两 格中 只有格中 只有1 1种填法 故共有种填法 故共有3 3 3 3 1 91 9种填法 而选种填法 而选 B B 点评 把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题 求解这类问题可先把点评 把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题 求解这类问题可先把 某个元素按规定排放 第二步再排另一个元素 如此继续下去 依次即可完成 某个元素按规定排放 第二步再排另一个元素 如此继续下去 依次即可完成 训练训练 将标有将标有1 2 1 2 1010的的1010个小球投入同样标有个小球投入同样标有1 2 1 2 1010的圆筒中的圆筒中 每个圆筒都每个圆筒都 不空不空 且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种 6 6 自由选择问题住店法自由选择问题住店法 例例6 6 现有现有6 6名同学去听同时进行的名同学去听同时进行的5 5个课外知识讲座 每名同学可自由选择其中个课外知识讲座 每名同学可自由选择其中 的一个讲座 不同的选法的种数是 的一个讲座 不同的选法的种数是 A A B B C C D D 解 解 6 6名同学每人都可以在名同学每人都可以在5 5个课外知识讲座中任选一种 所以均有个课外知识讲座中任选一种 所以均有5 5种选法 故种选法 故 总共有总共有 种 选 种 选 A A 点评 自由选择问题可以看成点评 自由选择问题可以看成 顾客住店顾客住店 问题 每名顾客问题 每名顾客 元素元素 都可以任意选都可以任意选 择旅店择旅店 位置位置 因而每个元素都有位置数种选法 所以总方法为 因而每个元素都有位置数种选法 所以总方法为 种 种 训练训练 某同学要将标有某同学要将标有1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6的的6 6封信投递出去封信投递出去 现有三个不同的信箱供选现有三个不同的信箱供选 择择 则有多少种不同的投递方法则有多少种不同的投递方法 7 7 分配问题隔板法分配问题隔板法 例例7 7 高一年级高一年级7 7个班级要组成篮球队个班级要组成篮球队 共需共需1010名队员名队员 每个班级至少要出一名每个班级至少要出一名 则则 不同的组成方法共有多少种不同的组成方法共有多少种 解解 由于由于1010名队员来自于名队员来自于7 7个不同的班级个不同的班级 每一个班级至少要一名每一个班级至少要一名 所以问题相当所以问题相当 于将于将1010名队员分成名队员分成7 7组组 10 10名队员并排站立中间有名队员并排站立中间有9 9个空格个空格 在这在这9 9个空格中插入个空格中插入6 6 个隔板就将个隔板就将1010名队员分成了名队员分成了7 7组组 每一组来自于一个班级每一组来自于一个班级 即得到了不同的组成方即得到了不同的组成方 法共计法共计 种 种 点评 点评 隔板法隔板法 所解决的问题有以下特征 所解决的问题有以下特征 1 1 被分的元素不加以区别 被分的元素不加以区别 2 2 被分的元素的个数不小于分得的组数 被分的元素的个数不小于分得的组数 3 3 每个小组至少分得一个元素 每个小组至少分得一个元素 具备这些条件时就可以用公式 将具备这些条件时就可以用公式 将 个相同元素分成 个相同元素分成 份 份 时 有时 有 种分配方法种分配方法 训练训练 将将1010个相同的小球装入个相同的小球装入3 3个编号分别为个编号分别为1 2 31 2 3的盒子当中的盒子当中 每次将每次将1010个球装个球装 完完 每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数 则不同的装法共有多少种则不同的装法共有多少种 8 8 定序问题缩倍法定序问题缩倍法 例例8 8 A A B B C C D D E E 五个人并排站成一排 如果五个人并排站成一排 如果 B B 必须站在必须站在 A A 的右边的右边 A A B B 可以不相邻 可以不相邻 那么不同的排法的种数是 那么不同的排法的种数是 A A 2424 B B 6060 C C 9090 D D 120120 解 解 B B 在在 A A 的右边与的右边与 B B 在在 A A 的左边排法数相同 所以题设的排法只是的左边排法数相同 所以题设的排法只是5 5个元个元 素全排列数的一半 即素全排列数的一半 即 6060种 故选 种 故选 B B 点评 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题 这点评 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题 这 类问题用缩小倍数的方法解决比较方便快捷 类问题用缩小倍数的方法解决比较方便快捷 训练训练 从从1 2 3 4 51 2 3 4 5五个数字当中任选五个数字当中任选3 3个组成一个三位数个组成一个三位数 其中十位比个位数字其中十位比个位数字 大的三位数共有多少个大的三位数共有多少个 9 9 有序分配问题逐分法有序分配问题逐分法 例例9 9 有有6 6本不同的书本不同的书 按照以下要求处理按照以下要求处理 各有几种分法各有几种分法 1 1 平均分给甲 乙 丙三人 平均分给甲 乙 丙三人 2 2 甲得一本 乙得两本 丙得三本 甲得一本 乙得两本 丙得三本 解 解 1 1 每人得 每人得2 2本 可考虑甲先在本 可考虑甲先在6 6本书中任取本书中任取2 2本 取法有本 取法有 种 再 种 再 由乙在余下的书中取由乙在余下的书中取2 2本 取法有本 取法有 种 最后由丙取余下的 种 最后由丙取余下的2 2本 有本 有 种取法 所有取法为种取法 所有取法为 种 种 2 2 选取方法同 选取方法同 1 1 所以共有取法数为 所以共有取法数为 种 种 点评 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组 常采用逐步分组法求解 点评 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组 常采用逐步分组法求解 训练 有训练 有1111名外语翻译人员 其中名外语翻译人员 其中5 5名是英语译员 名是英语译员 4 4名是日语译员 另外两名名是日语译员 另外两名 英 日都精通 从中找出英 日都精通 从中找出8 8人 使他们能组成两个翻译小组 其中人 使他们能组成两个翻译小组 其中4 4名翻译英语 名翻译英语 另外另外4 4名翻译日语 这两个小组能同时工作 问这样的名翻译日语 这两个小组能同时工作 问这样的8 8人名单共可开出几张 人名单共可开出几张 1010 匹配问题配对法匹配问题配对法 例例1010 从从6 6双不同型号的鞋中任取双不同型号的鞋中任取4 4只 其中恰有两只配成一双的取法有多少种 只 其中恰有两只配成一双的取法有多少种 解 先在解 先在6 6双鞋中任取一双有双鞋中任取一双有 种取法 再在余下的 种取法 再在余下的5 5双中任取两双 每双中任取两双 每 双中各取一只有双中各取一只有 种取法 所以总取法有 种取法 所以总取法有 种 种 点评 点评 配对法配对法 就是将两个相关元素之间建立一一对应关系 如鞋子配对 钥就是将两个相关元素之间建立一一对应关系 如鞋子配对 钥 匙和锁配对 比赛选手和比赛场次配对等 利用这些对应关系 使得比较杂乱匙和锁配对 比赛选手和比赛场次配对等 利用这些对应关系 使得比较杂乱 的问题简单化 解答思路明晰化 能够将难度分步化解 提升解答准确度 的问题简单化 解答思路明晰化 能够将难度分步化解 提升解答准确度 训练 有训练 有111111名选手参加乒乓球比赛 比赛采取单淘汰制 名选手参加乒乓球比赛 比赛采取单淘汰制 需要打多少场比赛才需要打多少场比赛才 能产生冠军能产生冠军 1111 选排问题先选后排法选排问题先选后排法 例例1111 有有6 6名男医生 名男医生 4 4名女医生 从中选名女医生 从中选3 3名男医生和两名女医生到名男医生和两名女医生到5 5个不同个不同 的地区巡回医疗 但规定男医生甲不能到地区的地区巡回医疗 但规定男医生甲不能到地区 A A 共有多少种不同的分派方法 共有多少种不同的分派方法 解 分两类 解 分两类 第一类 甲被选 共有第一类 甲被选 共有 种分派方法 种分派方法 第二类 甲未被选 共有第二类 甲未被选 共有 种分派方法 种分派方法 所以共有所以共有 种分派方法 种分派方法 点评 本题中不仅要选出点评 本题中不仅要选出5 5名医生 元素 名医生 元素 还要求分配到 还要求分配到5 5个地区 空位 个地区 空位 因此是一道因此是一道 既选又排既选又排 的排列组合综合问题 解决这类问题的方法是的排列组合综合问题 解决这类问题的方法是 先选后排先选后排 同时要注意特殊元素 特殊位置优先安排的原则 同时要注意特殊元素 特殊位置优先安排的原则 训练训练 从从1 1到到9 9的九个数字当中取出三个偶数四个奇数 试问 的九个数字当中取出三个偶数四个奇数 试问 1 1 能组成多少个没有重复数字的七位数 能组成多少个没有重复数字的七位数 2 2 上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个 上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个 3 3 1 1 中的七位数当中 偶数排在一起奇数也排在一起的有几个 中的七位数当中 偶数排在一起奇数也排在一起的有几个 1212 至少问题间接法 至少问题间接法 例例1212 课外活动小组共课外活动小组共1313人 其中男生人 其中男生8 8人 女生人 女生5 5人 并且男 女各指定一人 并且男 女各指定一 名队长 现从中选名队长 现从中选5 5人主持某种活动 至少有一名队长当选的选法有多少种 人主持某种活动 至少有一名队长当选的选法有多少种 解 在选取的人员当中 总的选法有解 在选取的人员当中 总的选法有 种 不包含队长在内的有 种 不包含队长在内的有 所以总的选法有 所以总的选法有 种 种 训练 训练 从甲 乙等从甲 乙等1010名同学当中挑选名同学当中挑选4 4名参加某项公益活动 要求甲 乙中至名参加某项公益活动 要求甲 乙中至 少有少有1 1人参加 则不同的挑选方法共有多少种 人参加 则不同的挑选方法共有多少种 点评 含点评 含 至多至多 或或 至少至少 的排列组合问题 通常用分类法的排列组合问题 通常用分类法 但是往往分类较多但是往往分类较多 讨论起来难度较大 本题所用的解法是间接法 即排除法 总体去杂 讨论起来难度较大 本题所用的解法是间接法 即排除法 总体去杂 适用于 适用于 反面情况明确且易于计算的情况 反面情况明确且易于计算的情况 1313多排问题单排法多排问题单排法 例例1313 两排座位 第两排座位 第1 1排排3 3个座位 第个座位 第2 2排排5 5个座位 若个座位 若8 8名学生入座 每人名学生入座 每人1 1 个座位 个座位 则不同的座法有多少种 则不同的座法有多少种 解 因解 因8 8名学生可以在前后两排座位中随意入座 再无其他条件 所以两排座位名学生可以在前后两排座位中随意入座 再无其他条件 所以两排座位 可以看成一排来处理 故不同的座法有可以看成一排来处理 故不同的座法有 种 种 点评 把元素排成几排的问题 限定条件若不影响问题归结为一排考虑 点评 把元素排成几排的问题 限定条件若不影响问题归结为一排考虑 那么就将多排问题化为一排 再分段处理 那么就将多排问题化为一排 再分段处理 训练 训练 1212名同学合影 站成前排名同学合影 站成前排4 4人 后排人 后排8 8人 人 1 1 总共有多少种不同的站法 总共有多少种不同的站法 2 2 摄影师要从后排摄影师要从后排8 8人中抽调人中抽调2 2人到前排 其他人顺序不变 总共有多少种人到前排 其他人顺序不变 总共有多少种 调整方法 调整方法 1414交叉问题集合法交叉问题集合法 例例1414 从从6 6名运动员中选出名运动员中选出4 4名参加名参加4 4 100100米接力赛 如果甲不跑第一棒 乙米接力赛 如果甲不跑第一棒 乙 不跑第四棒 共有多少种不同的参赛方法 不跑第四棒 共有多少种不同的参赛方法 解 设全集解 设全集 I 6I 6人中任取人中任取4 4人参赛的排列人参赛的排列 A A 甲跑第一棒的排列甲跑第一棒的排列 B B 乙跑第四棒的排列乙跑第四棒的排列 根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有 根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有 种 种 说明 某些排列组合问题几部分之间有交集 可用集合中求元素个数的公说明 某些排列组合问题几部分之间有交集 可用集合中求元素个数的公 式 式 来求解 来求解 训练 从训练 从7 7名运动员当中选出名运动员当中选出4 4人参加人参加4 4 100100米接力 求满足下列条件的安排方法米接力 求满足下列条件的安排方法 数 数 1 1 甲 乙二人都不跑中间两棒 甲 乙二人都不跑中间两棒 2 2 甲 乙二人不都跑中间两棒 甲 乙二人不都跑中间两棒 1515 多排问题剔重法多排问题剔重法 例例1515 用用5 5个数字个数字0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 组成的五位数总共有多少个 组成的五位数总共有多少个 解 特殊元素解 特殊元素0 0先排 不能先排 不能排列组合问题的解题技巧排列组合问题的解题技巧 陕西武功陕西武功 梁小宁梁小宁 排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点 其思考方法独特排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点 其思考方法独特 求解思路灵求解思路灵 活活 因而在解题中极易出现因而在解题中极易出现 重复重复 或或 遗漏遗漏 的错误的错误 虽然近几年高考将侧重点放虽然近几年高考将侧重点放 在两个计数原理的考察上在两个计数原理的考察上 但当对问题类型把握准确时但当对问题类型把握准确时 解答的准确性上将会有解答的准确性上将会有 很大的提升很大的提升 解答速度也会大大提高解答速度也会大大提高 以下介绍几类典型排列组合问题的解答技以下介绍几类典型排列组合问题的解答技 巧巧 1 1 相邻问题捆绑法 相邻问题捆绑法 例例1 1 6 6名同学排成一排 其中甲 乙两人必须排在一起的不同排法有 名同学排成一排 其中甲 乙两人必须排在一起的不同排法有 种 种 A A 720720 B B 360360 C C 240240 D D 120120 解 因甲 乙两人要排在一起 故将甲乙两人捆在一起视作一人有解 因甲 乙两人要排在一起 故将甲乙两人捆在一起视作一人有 种排法 与其余四人进行全排列有种排法 与其余四人进行全排列有 种排法 由乘法原理可知 共有 种排法 由乘法原理可知 共有 240 240种不同排法 故选 种不同排法 故选 C C 点评 从上述解法可以看出 所谓点评 从上述解法可以看出 所谓 捆绑法捆绑法 就是对元素进行整体处理的 就是对元素进行整体处理的 形象化表述 体现数学中的整体思想 对于以形象化表述 体现数学中的整体思想 对于以 某些元素必须相邻某些元素必须相邻 为附加条件为附加条件 的排列组合问题 只要把必须相邻的元素的排列组合问题 只要把必须相邻的元素 捆捆 成一个整体 视作一个成一个整体 视作一个 大大 元素 元素 再考虑相邻元素内部的排列或组合 就能保证这些元素相邻而不散乱 再考虑相邻元素内部的排列或组合 就能保证这些元素相邻而不散乱 训练 训练 3 3名男教师 名男教师 3 3名女教师 名女教师 6 6名学生站成一排 要求男教师和女教名学生站成一排 要求男教师和女教 师必须站在一起 且教师不站在两端 则一共有多少种站法 师必须站在一起 且教师不站在两端 则一共有多少种站法 2 2 相隔问题插空法 相隔问题插空法 例例2 2 排一张排一张5 5个歌唱节目和个歌唱节目和4 4个舞蹈节目的演出节目单个舞蹈节目的演出节目单 1 1 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 2 2 舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种 舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种 解解 1 1 先排歌唱节目有先排歌唱节目有 种 歌唱节目及两端有 种 歌唱节目及两端有6 6个空位 从这个空位 从这6 6个空位个空位 中选中选4 4个放入舞蹈节目 共有个放入舞蹈节目 共有 种方法 所以任何两个舞蹈节目不相邻 种方法 所以任何两个舞蹈节目不相邻 的排法有的排法有 种 种 3 3 先排舞蹈节目有先排舞蹈节目有 种排法 在舞蹈节目和两端有 种排法 在舞蹈节目和两端有5 5个空位 恰好供个空位 恰好供5 5 个歌唱节目放入 所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有个歌唱节目放入 所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有 种 种 训练 若将例题当中的训练 若将例题当中的 4 4个舞蹈节目个舞蹈节目 改为改为 5 5个舞蹈节目个舞蹈节目 求舞蹈节目和歌唱 求舞蹈节目和歌唱 节目间隔排列的方法有多少种 节目间隔排列的方法有多少种 点评 从解题过程可以看出 点评 从解题过程可以看出 插插 的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不 相邻问题的常用手段 在具体操作时 可以先将其它元素排好 再将所指定的相邻问题的常用手段 在具体操作时 可以先将其它元素排好 再将所指定的 不相邻的元素不相邻的元素 插入插入 到它们的间隙及两端位置 从而保证它们不相邻 到它们的间隙及两端位置 从而保证它们不相邻 3 3 限定问题优限法 限定问题优限法 例例3 3 由数字由数字0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5可组成多少个无重复数字的四位偶数 可组成多少个无重复数字的四位偶数 解 因所求是偶数 所以个位必须是解 因所求是偶数 所以个位必须是0 0 2 2 4 4中的任何一个 又首位不能为中的任何一个 又首位不能为0 0 所以分个位为所以分个位为0 0时有时有 种 个位不为 种 个位不为0 0时有时有 种 所以共有 种 所以共有 种 种 点评 所谓点评 所谓 优限法优限法 即有限制条件的元素 或位置 在解题时优先考虑 本 即有限制条件的元素 或位置 在解题时优先考虑 本 题对四位偶数中的个位数字有特殊要求 首位数字又不能为题对四位偶数中的个位数字有特殊要求 首位数字又不能为0 0 故优先考虑 故优先考虑 训练训练 本例条件不变 问题改为本例条件不变 问题改为 求能组成多少个无重复数字且比求能组成多少个无重复数字且比20002000大的四位大的四位 偶数 偶数 应如何求解 应如何求解 4 4 多元问题分类法 多元问题分类法 例例4 4 三边长均为整数三边长均为整数 且最大边长为且最大边长为1111的三角形有多少个的三角形有多少个 解解 设三角形的另外两个边分别为设三角形的另外两个边分别为 x x 和和 y y 且不妨设且不妨设 要构成三角形要构成三角形 必有必有 则分类讨论如下 则分类讨论如下 当当 y y 为为1111时 时 x x 可以为 可以为 1 2 3 1 2 3 11 11 可有可有1111个三角形 个三角形 当当 y y 为为1010时 时 x x 可以为 可以为 2 3 4 2 3 4 10 10 可有可有9 9个三角形 个三角形 当当 y y 为为9 9时 时 x x 可以为 可以为 3 4 5 3 4 5 9 9 可有可有7 7个三角形 个三角形 当当 y y 为为8 8时 时 x x 可以为 可以为 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 可有可有5 5个三角形 个三角形 当当 y y 为为7 7时 时 x x 可以为 可以为 5 6 7 5 6 7 可有可有3 3个三角形 个三角形 当当 y y 为为6 6时 时 x x 可以为 可以为 6 6 只有只有1 1个三角形 个三角形 所以所求的三角形有所以所求的三角形有11 9 7 5 3 1 3611 9 7 5 3 1 36个 个 点评 元素多 取出的情况也多种 可按结果要求 分成互不相容的几类情况点评 元素多 取出的情况也多种 可按结果要求 分成互不相容的几类情况 分别计算 最后总计 分别计算 最后总计 训练训练 某城市在中心广场建造一个花圃某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为花圃分为6 6个部分个部分 如图如图 现要栽现要栽4 4种不同种不同 颜色的花颜色的花 每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花 不同的栽种方法不同的栽种方法 有多少种有多少种 5 5 标号排位问题分步法 标号排位问题分步法 例例5 5 同室同室4 4人各写一张贺年卡 先集中起来 然后每人从中拿一张别人送来人各写一张贺年卡 先集中起来 然后每人从中拿一张别人送来 的贺年卡 则四张贺年卡的分配方式有 的贺年卡 则四张贺年卡的分配方式有 A A 6 6种种 B B 9 9种种 C C 1111种种 D D 2323种种 解 此题可以看成是将数字解 此题可以看成是将数字1 1 2 2 3 3 4 4填入标号为填入标号为1 1 2 2 3 3 4 4的四个方格里 的四个方格里 每格填一个数 且每个方格的标号与所填数不同的填法问题 所以先将每格填一个数 且每个方格的标号与所填数不同的填法问题 所以先将1 1填入填入2 2 至至4 4号的号的3 3个方格里有个方格里有 种填法 第二步把被填入方格的对应数字 填入种填法 第二步把被填入方格的对应数字 填入 其它其它3 3个方格 又有个方格 又有 种填法 第三步将余下的两个数字填入余下的两种填法 第三步将余下的两个数字填入余下的两 格中 只有格中 只有1 1种填法 故共有种填法 故共有3 3 3 3 1 91 9种填法 而选种填法 而选 B B 点评 把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题 求解这类问题可先把点评 把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题 求解这类问题可先把 某个元素按规定排放 第二步再排另一个元素 如此继续下去 依次即可完成 某个元素按规定排放 第二步再排另一个元素 如此继续下去 依次即可完成 训练训练 将标有将标有1 2 1 2 1010的的1010个小球投入同样标有个小球投入同样标有1 2 1 2 1010的圆筒中的圆筒中 每个圆筒都每个圆筒都 不空不空 且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种 6 6 自由选择问题住店法自由选择问题住店法 例例6 6 现有现有6 6名同学去听同时进行的名同学去听同时进行的5 5个课外知识讲座 每名同学可自由选择其中个课外知识讲座 每名同学可自由选择其中 的一个讲座 不同的选法的种数是 的一个讲座 不同的选法的种数是 A A B B C C D D 解 解 6 6名同学每人都可以在名同学每人都可以在5 5个课外知识讲座中任选一种 所以均有个课外知识讲座中任选一种 所以均有5 5种选法 故种选法 故 总共有总共有 种 选 种 选 A A 点评 自由选择问题可以看成点评 自由选择问题可以看成 顾客住店顾客住店 问题 每名顾客问题 每名顾客 元素元素 都可以任意选都可以任意选 择旅店择旅店 位置位置 因而每个元素都有位置数种选法 所以总方法为 因而每个元素都有位置数种选法 所以总方法为 种 种 训练训练 某同学要将标有某同学要将标有1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6的的6 6封信投递出去封信投递出去 现有三个不同的信箱供选现有三个不同的信箱供选 择择 则有多少种不同的投递方法则有多少种不同的投递方法 7 7 分配问题隔板法分配问题隔板法 例例7 7 高一年级高一年级7 7个班级要组成篮球队个班级要组成篮球队 共需共需1010名队员名队员 每个班级至少要出一名每个班级至少要出一名 则则 不同的组成方法共有多少种不同的组成方法共有多少种 解解 由于由于1010名队员来自于名队员来自于7 7个不同的班级个不同的班级 每一个班级至少要一名每一个班级至少要一名 所以问题相当所以问题相当 于将于将1010名队员分成名队员分成7 7组组 10 10名队员并排站立中间有名队员并排站立中间有9 9个空格个空格 在这在这9 9个空格中插入个空格中插入6 6 个隔板就将个隔板就将1010名队员分成了名队员分成了7 7组组 每一组来自于一个班级每一组来自于一个班级 即得到了不同的组成方即得到了不同的组成方 法共计法共计 种 种 点评 点评 隔板法隔板法 所解决的问题有以下特征 所解决的问题有以下特征 1 1 被分的元素不加以区别 被分的元素不加以区别 2 2 被分的元素的个数不小于分得的组数 被分的元素的个数不小于分得的组数 3 3 每个小组至少分得一个元素 每个小组至少分得一个元素 具备这些条件时就可以用公式 将具备这些条件时就可以用公式 将 个相同元素分成 个相同元素分成 份 份 时 有时 有 种分配方法种分配方法 训练训练 将将1010个相同的小球装入个相同的小球装入3 3个编号分别为个编号分别为1 2 31 2 3的盒子当中的盒子当中 每次将每次将1010个球装个球装 完完 每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数 则不同的装法共有多少种则不同的装法共有多少种 8 8 定序问题缩倍法定序问题缩倍法 例例8 8 A A B B C C D D E E 五个人并排站成一排 如果五个人并排站成一排 如果 B B 必须站在必须站在 A A 的右边的右边 A A B B 可以不相邻 可以不相邻 那么不同的排法的种数是 那么不同的排法的种数是 A A 2424 B B 6060 C C 9090 D D 120120 解 解 B B 在在 A A 的右边与的右边与 B B 在在 A A 的左边排法数相同 所以题设的排法只是的左边排法数相同 所以题设的排法只是5 5个元个元 素全排列数的一半 即素全排列数的一半 即 6060种 故选 种 故选 B B 点评 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题 这点评 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题 这 类问题用缩小倍数的方法解决比较方便快捷 类问题用缩小倍数的方法解决比较方便快捷 训练训练 从从1 2 3 4 51 2 3 4 5五个数字当中任选五个数字当中任选3 3个组成一个三位数个组成一个三位数 其中十位比个位数字其中十位比个位数字 大的三位数共有多少个大的三位数共有多少个 9 9 有序分配问题逐分法有序分配问题逐分法 例例9 9 有有6 6本不同的书本不同的书 按照以下要求处理按照以下要求处理 各有几种分法各有几种分法 1 1 平均分给甲 乙 丙三人 平均分给甲 乙 丙三人 2 2 甲得一本 乙得两本 丙得三本 甲得一本 乙得两本 丙得三本 解 解 1 1 每人得 每人得2 2本 可考虑甲先在本 可考虑甲先在6 6本书中任取本书中任取2 2本 取法有本 取法有 种 再 种 再 由乙在余下的书中取由乙在余下的书中取2 2本 取法有本 取法有 种 最后由丙取余下的 种 最后由丙取余下的2 2本 有本 有 种取法 所有取法为种取法 所有取法为 种 种 2 2 选取方法同 选取方法同 1 1 所以共有取法数为 所以共有取法数为 种 种 点评 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组 常采用逐步分组法求解 点评 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组 常采用逐步分组法求解 训练 有训练 有1111名外语翻译人员 其中名外语翻译人员 其中5 5名是英语译员 名是英语译员 4 4名是日语译员 另外两名名是日语译员 另外两名 英 日都精通 从中找出英 日都精通 从中找出8 8人 使他们能组成两个翻译小组 其中人 使他们能组成两个翻译小组 其中4 4名翻译英语 名翻译英语 另外另外4 4名翻译日语 这两个小组能同时工作 问这样的名翻译日语 这两个小组能同时工作 问这样的8 8人名单共可开出几张 人名单共可开出几张 1010 匹配问题配对法匹配问题配对法 例例1010 从从6 6双不同型号的鞋中任取双不同型号的鞋中任取4 4只 其中恰有两只配成一双的取法有多少种 只 其中恰有两只配成一双的取法有多少种 解 先在解 先在6 6双鞋中任取一双有双鞋中任取一双有 种取法 再在余下的 种取法 再在余下的5 5双中任取两双 每双中任取两双 每 双中各取一只有双中各取一只有 种取法 所以总取法有 种取法 所以总取法有 种 种 点评 点评 配对法配对法 就是将两个相关元素之间建立一一对应关系 如鞋子配对 钥就是将两个相关元素之间建立一一对应关系 如鞋子配对 钥 匙和锁配对 比赛选手和比赛场次配对等 利用这些对应关系 使得比较杂乱匙和锁配对 比赛选手和比赛场次配对等 利用这些对应关系 使得比较杂乱 的问题简单化 解答思路明晰化 能够将难度分步化解 提升解答准确度 的问题简单化 解答思路明晰化 能够将难度分步化解 提升解答准确度 训练 有训练 有111111名选手参加乒乓球比赛 比赛采取单淘汰制 名选手参加乒乓球比赛 比赛采取单淘汰制 需要打多少场比赛才需要打多少场比赛才 能产生冠军能产生冠军 1111 选排问题先选后排法选排问题先选后排法 例例1111 有有6 6名男医生 名男医生 4 4名女医生 从中选名女医生 从中选3 3名男医生和两名女医生到名男医生和两名女医生到5 5个不同个不同 的地区巡回医疗 但规定男医生甲不能到地区的地区巡回医疗 但规定男医生甲不能到地区 A A 共有多少种不同的分派方法 共有多少种不同的分派方法 解 分两类 解 分两类 第一类 甲被选 共有第一类 甲被选 共有 种分派方法 种分派方法 第二类 甲未被选 共有第二类 甲未被选 共有 种分派方法 种分派方法 所以共有所以共有 种分派方法 种分派方法 点评 本题中不仅要选出点评 本题中不仅要选出5 5名医生 元素 名医生 元素 还要求分配到 还要求分配到5 5个地区 空位 个地区 空位 因此是一道因此是一道 既选又排既选又排 的排列组合综合问题 解决这类问题的方法是的排列组合综合问题 解决这类问题的方法是 先选后排先选后排 同时要注意特殊元素 特殊位置优先安排的原则 同时要注意特殊元素 特殊位置优先安排的原则 训练训练 从从1 1到到9 9的九个数字当中取出三个偶数四个奇数 试问 的九个数字当中取出三个偶数四个奇数 试问 1 1 能组成多少个没有重复数字的七位数 能组成多少个没有重复数字的七位数 2 2 上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个 上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个 3 3 1 1 中的七位数当中 偶数排在一起奇数也排在一起的有几个 中的七位数当中 偶数排在一起奇数也排在一起的有几个 1212 至少问题间接法 至少问题间接法 例例1212 课外活动小组共课外活动小组共1313人 其中男生人 其中男生8 8人 女生人 女生5 5人 并且男 女各指定一人 并且男 女各指定一 名队长 现从中选名队长 现从中选5 5人主持某种活动 至少有一名队长当选的选法有多少种 人主持某种活动 至少有一名队长当选的选法有多少种 解 在选取的人员当中 总的选法有解 在选取的人员当中 总的选法有 种 不包含队长在内的有 种 不包含队长在内的有 所以总的选法有 所以总的选法有 种 种 训练 训练 从甲 乙等从甲 乙等1010名同学当中挑选名同学当中挑选4 4名参加某项公益活动 要求甲 乙中至名参加某项公益活动 要求甲 乙中至 少有少有1 1人参加 则不同的挑选方法共有多少种 人参加 则不同的挑选方法共有多少种 点评 含点评 含 至多至多 或或 至少至少 的排列组合问题 通常用分类法