新人教版八年级数学二次根式导学案

第十六章第十六章 二次根式二次根式 1616 1 1 二次根式二次根式 1 1 学案学案 课型课型 新授课新授课 上课时间 上课时间 课时 课时 1 学习内容 学习内容 二次根式的概念及其运用 学习目标 学习目标 1 理解二次根式的概念 并利用a a 0 的意义解答具体题目 2 提出问题 根据问题给出概念 应用概念解决实际问题 学习过程学习过程 一 自主学习一 自主学习 一 复习引入 学生活动 请同学们独立完成下列三个问题 问题 1 面积为 3 的正方形的边长为 面积为 S 的正方形的边长为 问题 2 一个长方形的围栏 长是宽的 2 倍 面积为 130 则它的宽为 问题 3 一个物体从高处自由落下 落到地面所用的时间 t 单位 S 与开始下落时离地 面的高度 h 单位 m 满足关系式 h 5t2 如果用含有 h 的式子表示 t 那么 t 为 二 学生学习课本知识 三 探索新知 1 知识 如3 10 4 6 都是一些正数的算术平方根 像这样一些正数的像这样一些正数的 算术平方根的式子 我们就把它称二次根式算术平方根的式子 我们就把它称二次根式 因此 一般地 我们把形如 的式子叫 做二次根式 称为 例如 形如 是二次根式 形如 不是二次根式 2 应用举例 例例 1 下列式子 哪些是二次根式 哪些不是二次根式 2 3 3 1 x x x 0 0 4 2 2 1 xy xy x 0 y 0 解 二次根式有 不是二次根式的有 例例 2 当 x 是多少时 31x 在实数范围内有意义 解 由 得 当 时 31x 在实数范围内有意义 3 注意 1 形如a a 0 的式子叫做二次根式的概念 2 利用 a a 0 解决具体问题 3 要使二次根式在实数范围内有意义 必须满足被开方数是非负数 二 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展二 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展 例例 3 当 x 是多少时 23x 1 1x 在实数范围内有意义 例例 4 1 已知 y 2x 2x 5 求 x y 的值 答案 2 2 若1a 1b 0 求 a2004 b2004的值 答案 2 5 三 巩固练习三 巩固练习 教材练习 四 课堂检测四 课堂检测 1 简答题 简答题 1 下列式子中 哪些是二次根式那些不是二次根式 7 3 7 x x 4 16 8 1 x 2 填空题 填空题 1 形如 的式子叫做二次根式 2 面积为 5 的正方形的边长为 3 综合提高题 综合提高题 1 某工厂要制作一批体积为 1m3的产品包装盒 其高为 0 2m 按设计需要 底面应 做成正方形 试问底面边长应是多少 2 若3x 3x 有意义 则 2 x 3 使式子 2 5 x 有意义的未知数 x 有 个 A 0 B 1 C 2 D 无数 4 已知 a b 为实数 且5a 2102a b 4 求 a b 的值 1616 1 1 二次根式二次根式 2 2 学案学案 课型课型 新授课新授课 上课时间 上课时间 课时 课时 2 学习内容 学习内容 1 a a 0 是一个非负数 2 a 2 a a 0 学习目标 学习目标 1 理解a a 0 是一个非负数和 a 2 a a 0 并利用它进行计算和化简 2 通过复习二次根式的概念 用逻辑推理的方法推出a a 0 是一个非负数 用具 体数据结合算术平方根的意义导出 a 2 a a 0 最后运用结论严谨解题 教学过程教学过程 一 自主学习一 自主学习 一 复习引入 1 什么叫二次根式 2 当 a 0 时 a叫什么 当 a 0 时 a有意义吗 二 学生学习课本知识 三 探究新知 1 a a 0 是一个 数 正数 负数 零 因为 2 重点 a a 0 是一个非负数 是一个非负数 3 根据算术平方根的意义填空 4 2 2 2 9 2 3 2 同理可得 2 2 2 9 2 9 3 2 3 1 3 2 1 3 0 2 0 所以 a 2 a a 0 4 例例 1 计算 1 3 2 2 2 35 2 3 5 6 2 4 7 2 2 5 注意 1 a a 0 是一个非负数 a 2 a a 0 及其运用 2 用分类思想的方法导出a a 0 是一个非负数 用探究的方法导出 a 2 a a 0 二 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展二 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展 例例 2 计算 1 1x 2 x 0 2 2 a 2 3 2 21aa 2 例例 3 3 在实数范围内分解下列因式 1 x2 3 2 x4 4 3 2x2 3 三 巩固练习三 巩固练习 一 计算下列各式的值 18 2 2 3 2 9 4 2 0 2 4 7 8 2 22 3 5 5 3 二 课本 P7 1 四 课堂检测四 课堂检测 一 选择题 1 下列各式中15 3a 2 1b 22 ab 2 20m 144 二次根 式的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 二 填空题 1 3 2 2 已知1x 有意义 那么是一个 数 三 综合提高题 1 计算 1 9 2 2 3 2 3 3 2 3 2 4 2 33 2 2 33 2 2 把下列非负数写成一个数的平方的形式 1 5 2 3 4 3 1 6 4 x x 0 3 已知1xy 3x 0 求 xy的值 4 在实数范围内分解下列因式 1 x2 2 2 x4 9 3x2 5 1616 1 1 二次根式二次根式 3 3 学案学案 课型课型 新授课新授课 上课时间 上课时间 课时 课时 3 学习内容 学习内容 2 a a a 0 学习目标 学习目标 1 理解 2 a a a 0 并利用它进行计算和化简 2 通过具体数据的解答 探究 2 a a a 0 并利用这个结论解决具体问题 教学过程教学过程 一 自主学习一 自主学习 一 复习引入一 复习引入 1 形如a a 0 的式子叫做二次根式 2 a a 0 是一个非负数 3 a 2 a a 0 那么 我们猜想当 a 0 时 2 a a 是否也成立呢 下面我们就来探究这个问题 二 自主学习 学生学习课本知识 三 探究新知 1 填空 根据算术平方根的意义 2 2 2 0 01 2 1 10 2 2 3 2 0 2 3 7 2 重点 重点 2 a a a 0 例例 1 化简 1 9 2 2 4 3 25 4 2 3 解 1 9 2 3 2 2 4 2 4 3 25 2 5 4 2 3 2 3 3 注意 1 2 a a a 0 2 只有 a 0 时 2 a a 才成立 二 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展二 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展 例例 2 填空 当 a 0 时 2 a 当 aa 则 a 可以是什么数 因为当 a 0 时 2 a a 要使 2 a a 即 使 a a 所以 a 不存在 当 aa 即使 a a a 0 综上 a2 化简 2 2 x 2 1 2 x 三 巩固练习三 巩固练习 教材练习 四 课堂检测四 课堂检测 一 选择题 1 22 11 2 2 33 的值是 A 0 B 2 3 C 4 2 3 二 填空题 1 0 0004 2 若20m是一个正整数 则正整数 m 的最小值是 三 综合提高题 1 先化简再求值 当 a 9 时 求 a 2 1 2aa 的值 甲乙两人的解答如下 甲的解答为 原式 a 2 1 a a 1 a 1 乙的解答为 原式 a 2 1 a a a 1 2a 1 17 两种解答中 的解答是错误的 错误的原因是 2 若 1995 a 2000a a 求 a 19952的值 提示 先由 a 2000 0 判断 1995 a 的值是正数还是负数 去掉绝对值 3 若 3 x 2 时 试化简 x 2 2 3 x 2 1025xx 16 2 二次根式的乘除 1 课型课型 新授课新授课 上课时间 上课时间 课时 课时 4 学习内容学习内容 a b ab a 0 b 0 反之ab a b a 0 b 0 及其运 用 学习目标学习目标 理解a b ab a 0 b 0 ab a b a 0 b 0 并利用 它们进行计算和化简 学习过程学习过程 一 自主学习自主学习 一 复习引入 1 填空 1 4 9 4 9 4 9 4 9 2 16 25 16 25 16 25 16 25 3 100 36 100 36 100 36 100 36 二 探索新知 1 学生交流活动总结规律 2 一般地 对二次根式的乘法规定为 a b ab a 0 b 0 反过来 ab a b a 0 b 0 例例 1 计算 计算 1 5 7 2 1 3 9 3 36 210 4 5a 1 5 ay 例例 2 化简 1 9 16 2 16 81 3 81 100 4 22 9x y 5 54 二 巩固练习二 巩固练习 1 计算 16 8 36 210 5a 1 5 ay 2 化简 20 18 24 54 22 12a b 3 教材练习 三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展 一 例 3 判断下列各式是否正确 不正确的请予以改正 1 4 9 49 2 12 4 25 25 4 12 25 25 4 12 25 25 412 83 二 归纳小结 1 a b ab a 0 b 0 ab a b a 0 b 0 及其运 用 2 要理解ab a 0 b0 反过来 a b a b a 0b 0 及利用它们进行计算和化简 学习目标学习目标 理解 a b a b a 0 b 0 和 a b a b a 0 b 0 及利用它们进行运算 教学过程教学过程 一 一 自主学习自主学习 一 复习引入 1 写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2 填空 1 9 16 9 16 规律 9 16 9 16 2 16 36 16 36 16 36 16 36 3 4 16 4 16 4 16 4 16 4 36 81 36 81 36 81 36 81 二 探索新知 一般地 对二次根式的除法规定 a b a b a 0 b 0 反过来 a b a b a 0 b 0 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 二 巩固练习二 巩固练习 1 计算 1 12 3 2 31 28 3 11 416 4 64 8 2 化简 1 3 64 2 2 2 64 9 b a 3 2 9 64 x y 4 2 5 169 x y 3 巩固练习 教材练习 三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展 1 例 3 已知 99 66 xx xx 且 x 为偶数 求 1 x 2 2 54 1 xx x 的值 2 归纳小结 1 本节课要掌握 a b a b a 0 b 0 和 a b a b a 0 b 0 及其运用 并利用它们进行计算和化简 四 课堂检测四 课堂检测 一 选择题 1 计算 112 121 335 的结果是 A 2 7 5 B 2 7 C 2 D 2 7 2 阅读下列运算过程 133 3333 22 52 5 5555 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作 分母有理化 请化简 2 6 的结果是 A 2 B 6 C 1 3 6 D 6 二 填空题 二 填空题 1 分母有理化 1 1 3 2 2 1 12 3 10 2 5 2 已知 x 3 y 4 z 5 那么yzxy 的最后结果是 三 综合提高题三 综合提高题 1 3 2 nn mm 3 3 1n mm 3 2 n m m 0 n 0 16 216 2 二次根式的乘除二次根式的乘除 3 3 课型课型 新授课新授课 上课时间 上课时间 课时 课时 1 学习内容学习内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算 学习目标学习目标 理解最简二次根式的概念 并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 学习过程学习过程 一 一 自主学习自主学习 一 复习引入 1 计算 1 3 5 2 3 2 27 3 8 2a 2 现在我们来看本章引言中的问题 如果两个电视塔的高分别是 h1km h2km 那么它们 的传播半径的比是 二 探索新知 观察上面计算题 1 的最后结果 可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点 二次根式有如下两个特点 1 1 被开方数不含分母 被开方数不含分母 2 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 我们把满足上述两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 那么上题中的比是否是最简二次根式呢 如果不是 把它们化成最简二次根式 1 2 2 2 Rh Rh 1 2 11 222 2 2 hhRhh Rhhh 例 1 1 化简 1 5 3 12 2 2442 x yx y 3 23 8x y 例例 2 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 2 5cm BC 6cm 求 AB 的长 二 巩固练习二 巩固练习 教材练习 三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展 1 1 观察下列各式 通过分母有理数 把不是最简二次根式的化成最简二次根式 1 21 1 21 21 2 1 21 21 2 1 1 32 1 32 32 32 32 32 3 2 同理可得 1 43 4 3 从计算结果中找出规律 并利用这一规律计算 1 21 1 32 1 43 1 20022001 2002 1 的值 2 归纳小结 1 重点 最简二次根式的运用 2 难点关键 会判断这个二次根式是否是最简二次根式 四 课堂检测四 课堂检测 一 选择题 1 将 x y y 0 化为最简二次根式是 A x y y 0 B xy y 0 C xy y y 0 D 以上都不对 2 把 a 1 1 1a 中根号外的 a 1 移入根号内得 A 1a B 1 a C 1a D 1 a 3 化简 3 2 27 的结果是 A 2 3 B 2 3 C 6 3 D 2 二 填空题二 填空题 1 化简 422 xx y x 0 2 a 2 1a a 化简二次根式号后的结果是 三 综合提高题三 综合提高题 若 x y 为实数 且 y 22 441 2 xx x 求xyxy A的值 16 316 3 二次根式的加减二次根式的加减 1 1 课型课型 新授课新授课 上课时间 上课时间 课时 课时 1 学习内容 学习内容 二次根式的加减 学习目标 学习目标 1 理解和掌握二次根式加减的方法 2 先提出问题 分析问题 在分析问题中 渗透对二次根式进行加减的方法的理 解 再总结经验 用它来指导根式的计算和化简 重难点关键重难点关键 1 重点 二次根式化简为最简根式 2 难点关键 会判定是否是最简二次根式 学习过程学习过程 一 一 自主学习自主学习 一 复习引入 计算 1 2x 3x 2 2x2 3x2 5x2 3 x 2x 3y 4 3a2 2a2 a3 以上题目 是我们所学的同类项合并 同类项合并就是字母不变 系数相加减 二 探索新知 学生活动 计算下列各式 1 22 32 2 28 38 58 3 7 27 39 7 4 33 23 2 由此可见 二次根式的被开方数相同也是可以合并的 如 22与8表面上看是不相同 的 但它们可以合并吗 也可以 也可以 32 8 32 22 52 33 27 33 33 63 所以 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相同的再将被开方数相同的 二次根式进行合并 二次根式进行合并 例例 1 1 计算 1 8 18 2 16x 64x 例例 2 2 计算 1 348 9 1 3 312 2 48 20 12 5 归纳 归纳 第一步 将不是最简二次根式的项化为最简二次根式 第二步 将相同的最简二次根式进行合并 二 巩固练习二 巩固练习 教材练习 三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展 1 1 例例 3 3 已知 4x2 y2 4x 6y 10 0 求 2 9 3 xx y2 3 x y x2 1 x 5x y x 的值 2 归纳小结 本节课应掌握 1 不是最简二次根式的 应化成最简二次根式 2 相同的最简 二次根式进行合并 四 课堂检测四 课堂检测 一 选择题 1 以下二次根式 12 2 2 2 3 27中 与3是同类二次根式的 是 A 和 B 和 C 和 D 和 2 下列各式 33 3 63 1 7 7 1 2 6 8 22 24 3 2 2 其中错误的有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 二 填空题二 填空题 1 在8 1 75 3 a 2 9 3 a 125 3 2 3a a 30 2 2 1 8 中 与3a是同 类二次根式的有 2 计算二次根式 5a 3b 7a 9b的最后结果是 三 综合提高题三 综合提高题 1 已知5 2 236 求 80 4 1 5 1 3 5 4 45 5 的值 结果精确到 0 01 2 先化简 再求值 6x y x 3 3 xy y 4x x y 36xy 其中 x 3 2 y 27 16 316 3 二次根式的加减二次根式的加减 2 2 课型课型 新授课新授课 上课时间 上课时间 课时 课时 1 学习内容 学习内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 学习目标 学习目标 1 运用二次根式 化简解应用题 2 通过复习 将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式 进行合并后解应用题 学习过程学习过程 一 一 自主学习自主学习 一 复习引入 上节课 我们已经学习了二次根式如何加减的问题 我们把它归为两个步骤 第一步 先将二次根式化成最简二次根式 第二步 再将被开方数相同的二次根式进行合并 二 探索新知 例例 1 1 如图所示的 Rt ABC 中 B 90 点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米 秒的速 度向点 A 移动 同时 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米 秒的速度向点 C 移动 问 几 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 分析 分析 设 x 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 那么 PB x BQ 2x 根据三角形面积公式就 可以求出 x 的值 解 设 x 后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 则有 PB x BQ 2x 依题意 得 求解得 x 35 所以35秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 答 35秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 二 巩固练习二 巩固练习 教材练习 三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展 1 例例 3 3 若最简根式 3 43 a b ab 与根式 232 26abbb 是同类二次根式 求 a b 的值 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式 分析分析 同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后 被开方数相同的根式 解 首先把根式 232 26abbb 化为最简二次根式 BA C Q P 232 26abbb 由题意得方程组 解方程组得 2 2 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 二 填空题 结果用最简二次根式 1 有一长方形鱼塘 已知鱼塘长是宽的 2 倍 面积是 1600m2 鱼塘的宽是 m 2 已知等腰直角三角形的直角边的边长为2 那么该等腰直角三角形的周长是 三 综合提高题 1 若最简二次根式 2 2 32 3 m 与 2 12 410 n m 是同类二次根式 求 m n 的值 2 同学们 我们观察下式 2 1 2 2 2 2 1 2 12 2 22 1 3 22 反之 3 22 2 22 1 2 1 2 3 22 2 1 2 32 2 2 1 求 1 32 2 2 42 3 3 你会算412 吗 16 316 3 二次根式的加减二次根式的加减 3 3 课型课型 新授课新授课 上课时间 上课时间 课时 课时 1 学习内容 学习内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘 相除 多项式与单项式相乘 相除 多项式与 多项式相乘 相除 乘法公式的应用 学习目标 学习目标 1 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 2 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除 乘方等运算 学习过程学习过程 一 一 自主学习自主学习 一 复习引入 1 计算 1 2x y zx 2 2x2y 3xy2 xy 2 计算 1 2x 3y 2x 3y 2 2x 1 2 2x 1 2 二 探索新知 如果把上面的 x y z 改写成二次根式呢 以上的运算规律是否仍成立呢 仍成立 例例 1 1 计算 1 6 8 3 2 46 32 22 例例 2 2 计算 1 5 6 3 5 2 10 7 10 7 二 巩固练习二 巩固练习 课本练习 三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展 1 1 例 例 3 3 已知 X 2 化简 1 1 xx xx 1 1 xx xx 并求值 解 原式 2 1 1 1 xx xxxx 2 1 1 1 xx xxxx 2 1 1 xx xx 2 1 1 xx xx x 1 x 2 1 x x x x 1 2 1 x x 4x 2 当 X 2 时 原式 4X2 2 10 2 2 归纳小结 归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘 除 乘方等运算 四 课堂检测四 课堂检测 一 选择题 1 24 315 2 2 2 3 2的值是 A 20 3 3 330 B 3 30 2 3 3 C 2 30 2 3 3 D 20 3 3 30 2 计算 x 1x x 1x 的值是 A 2 B 3 C 4 D 1 二 填空题 1 1 2 3 2 2的计算结果 用最简根式表示 是 2 1 23 1 23 23 1 2的计算结果 用最简二次根式表示 是 3 若 x 2 1 则 x2 2x 1 4 已知 a 3 22 b 3 22 则 a2b ab2 三 综合提高题三 综合提高题 1 化简 57 10141521 2 当 x 1 21 时 求 2 2 1 1 xxx xxx 2 2 1 1 xxx xxx 的值 用最简二次根式表示 课外知识课外知识 1 练习练习 下列各组二次根式中 是同类二次根式的是 A 2x与2y B 34 8 9 a b与 58 9 2 a b C mn与n D mn 与 mn 2 互为有理化因式 互为有理化因式是指两个二次根式的乘积是有理数 不含有二 次根式 如 23 与 3就是互为有理化因式 x 1 与x 1 也是互为有理化因式 练习练习 1 2 3的有理化因式是 2 x y的有理化因式是 3 25的有理化因式是 二次根式复习课 二次根式复习课 1 1 课型课型 新授课新授课 上课时间 上课时间 课时 课时 1 学习目标 学习目标 1 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质 并能熟练地化简含二次根式的式子 2 熟练地进行二次根式的加