几种证明全等三角形添加辅助线的方法

个性化教案个性化教案 全等三角形复习课 适用学科数学适用年级初中二年级 适用区域通用课时时长 分钟 120 知识点全等三角形的性质和判定方法 教学目标 熟练掌握全等三角形的性质和判定方法 并学会用应用 教学重点 学会做辅助线证明三角形全等 常用的几种作辅助线的方法 教学难点 通过学习全等三角形 提高学生观察能力和分析能力 教学过程 构造全等三角形几种方法构造全等三角形几种方法 在几何解题中 常常需要添加辅助线构造全等三角形 以沟通题设与结论 之间的联系 现分类加以说明 一 延长中线构造全等三角形 例 1 如图 1 AD 是 ABC 的中线 求证 AB AC 2AD 证明 延长 AD 至 E 使 AD DE 连接 CE 如图 2 AD 是 ABC 的中线 BD CD 又 1 2 AD DE ABD ECD SAS AB CE 在 ACE 中 CE AC AE AB AC 2AD 个性化教案个性化教案 二 沿角平分线翻折构造全等三角形 例 2 如图 3 在 ABC 中 1 2 ABC 2 C 求证 AB BD AC 证明 将 ABD 沿 AD 翻折 点 B 落在 AC 上的 E 点处 即 在 AC 上截取 AE AB 连接 ED 如图 4 1 2 AD AD AB AE ABD AED SAS BD ED ABC AED 2 C 而 AED C EDC C EDC 所以 EC ED BD AC AE EC AB BD AC 三 作平行线构造全等三角形 例 3 如图 5 ABC 中 AB AC E 是 AB 上异于 A B 的任意一点 延长 AC 到 D 使 CD BE 连接 DE 交 BC 于 F 求证 EF FD 证明 过 E 作 EM AC 交 BC 于 M 如图 6 则 EMB ACB MEF CDF AB AC B ACB B EMB 故 EM BE BE CD EM CD 个性化教案个性化教案 又 EFM DFC MEF CDF EFM DFC AAS EF FD 四 作垂线构造全等三角形 例 4 如图 7 在 ABC 中 BAC 90 AB AC M 是 AC 边的中点 AD BM 交 BC 于 D 交 BM 于 E 求证 AMB DMC 证明 作 CF AC 交 AD 的延长线于 F 如图 8 BAC 90 AD BM FAC ABM 90 BAE AB AC BAM ACF 90 ABM CAF ASA F AMB AM CF AM CM CF CM MCD FCD 45 CD CD MCD FCD SAS 所以 F DMC AMB F DMC 五 沿高线翻折构造全等三角形 例 5 如图 9 在 ABC 中 AD BC 于 D BAD CAD 求证 AB AC 个性化教案个性化教案 证明 把 ADC 沿高 AD 翻折 点 C 落在线段 DB 上的 E 点处 即 在 DB 上截取 DE DC 连接 AE 如图 10 ADC ADE SAS AC AE C AED AED B C B 从而 AB AC 六 绕点旋转构造全等三角形 例 6 如图 11 正方形 ABCD 中 1 2 Q 在 DC 上 P 在 BC 上 求证 PA PB DQ 证明 将 ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90 使 AD 与 AB 重合 得到 ABM 即 延长 CB 到 M 使 BM DQ 连接 AM 如图 12 ABM ADQ SAS 4 2 1 M AQD AB CD AQD BAQ 1 3 4 3 MAP M MAP PA PM PB BM PB DQ 因 BM DQ 课堂练习 1 如图 已知 AD AE AB AC 求证 BF FC 个性化教案个性化教案 2 如图 在 ABC 中 AB AC 延长 AB 到 D 使 BD AB 取 AB 的中点 E 连 接 CD 和 CE F 为 CD 中点 求证 CD 2CE 3 如图 ABC 中 C 2 B 1 2 求证 AB AC CD 4 已知 AB CD A D 求证 B C 个性化教案个性化教案 A BC D 5 已知 如图 CD AB 于点 D BE AC 于点 E BE CD 交于点 O 且 AO 平 分 BAC 求证 OB OC 6 如图 已知 C 为线段 AB 上的一点 ACM 和 CBN 都是等边三角形 AN 和 CM 相交于 F 点 BM 和 CN 交于 E 点 求证 CEF 是等边三角形 A B C M N E F 1 2 个性化教案个性化教案 7 如图所示 已知 AE AB AF AC AE AB AF AC 求证 1 EC BF 2 EC BF 8 如图 10 四边形 ABCD DEFG 都是正方形 连接 AE CG AE 与 CG 相交于点 M CG 与 AD 相交于点 N 求证 CGAE 9 如图 在等腰 Rt ABC 中 C 90 D 是斜边上 AB 上任一点 AE CD 于 E BF CD 交 CD 的延长线于 F CH AB 于 H 点 交 AE 于 G 求证 BD CG AE B M C F 个性化教案个性化教案 10 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC BC DC CF 平分 BCD DF AB BF 的延长线交 DC 于点 E 求证 1 BFC DFC 2 AD DE F E D CB A 11 已知 BC DE B E C D F 是 CD 中点 求证 1 2 A B CD E F 2 1 12 已知 AC 平分 BAD CE AB B D 180 求证 AE AD BE 13 如图 ABC 中 E F 分别在 AB AC 上 DE DF D 是中点 试比较 个性化教案个性化教案 E D F C B A E D C B A BE CF 与 EF 的大小 补充 常见辅助线的作法有以下几种 常见辅助线的作法有以下几种 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思维模式是全 等变换中的 对折 2 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利 用的思维模式是全等变换中的 旋转 3 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 利用的思维模式是 三角形全等变换中的 对折 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中 的 平移 或 翻转折叠 5 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将 某条线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这 种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段 连接起来 利用三角形面积的知识解答 1 如图 AC BD EA EB 分别平分 CAB DBA CD