九年级数学圆的复习课华东师大版

用心 爱心 专心 九年级九年级数学数学圆的复习课圆的复习课华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 圆的复习课 二 重点 难点 教学重点 1 圆的基本性质 2 直线和圆的位置关系 3 圆与圆的位置关系 4 弧长 扇形面积 圆锥的侧面积和全面积的计算 教学难点 1 圆的基本性质 2 直线和圆的位置关系 教学内容 1 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合 它既是以圆心为对称中心的中心对称 图形 又是以每一条经过圆心的直线为对称轴的轴对称图形 2 不在同一直线上的三点确定一个圆 3 垂径定理 4 在同圆或等圆中 有如下的等价关系 等弦等弧相等弦的弦心距相等等圆心角 5 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 6 直径所对的圆周角是直角 90o的圆周角所对的弦是直径 7 设圆的半径为 r 圆心 O 到直线 l 的距离为 d 则有 1 d r直线 l 与圆相离 2 d r直线 l 与圆相切 3 d0 圆心距为 d 用心 爱心 专心 1 d R r两圆外离 2 d R r两圆外切 3 R r d R r两圆相交 4 d R r两圆内切 5 d R r两圆内含 14 l n r S n r lrSrl 弧扇形弧圆锥侧 180360 1 2 2 典型例题典型例题 例 1 如图 内接于 O 于 D AO 是半径 ABCAD BC 求证 BAODAC A O B C D 证明一 证明一 延长 AO 交 O 于 E 故 AE 是 O 的直径 则ABE 90o A O B C E D 因于 则AD BCDADC 90 又因 EC 所以 BAEDAC 证明二 证明二 过 O 作于 F 交 O 于 EOE AB A B C E D O F 所以 E 是弧 AB 的中点 且AFO 90o 又于 则AD BCDADC 90 又因为 E 是弧 AB 的中点 所以O C 所以BAO DAC 用心 爱心 专心 证明三 证明三 如图 延长 AD 交 O 于 E 延长 AO 交 O 于 F 连结 EF A O B C F D E 因 AF 是 O 的直径 所以E 90o 即 又于 则AE FEAD BCDBCFE 故弧 BF 弧 EC 所以BAF DAC 例 2 如图 AB 是 O 的直径 点 D 在 AB 的延长线上 BD OB 点 C 在圆上 CAB 30o 求证 直线 DC 是 O 的切线 A O B D C 证明 证明 连结 OC CB A O B D C ABOCAB为圆 的直径 且 30 ACBCBABOBOC90 1 2 BOCOCBOBC是等边三角形 60 BDOBCBBD BCDDABC 1 2 30 OCDOCBBCD603090 OC CD CO在圆 上 DCO是圆 的切线 用心 爱心 专心 例 3 如图 BC 是 O 的直径 P 为 CB 延长线上的点 PA 切 O 于 A 若 BC 2PB 求 弧 AC 的弧长及阴影部分的面积 AC 2 3 A P B O C 解 解 连结 OA AB A P B O C PA是切线 PAO90 PBBC 1 2 PBBOOC 在中 PAOPAO 90 可求得 PAOB3060 AOOCCOAC C30 AB是直径 BAC90 由余弦定义 可得BC 4 即 且OABOOCPBPA 22 3 故扇形的面积AOB n R 2 360 2 3 又SPA AO APO 1 2 2 3 S阴影2 3 2 3 l n R AC弧 180 l AC弧 4 3 用心 爱心 专心 例 4 如图 MN 是 O 的直径 点 A 是半圆上的三等分点 B 是弧 AN 的中点 P 是半 径 ON 上一动点 当 MN 2 时 求 AP BP 的最小值 A B M O P N 解 解 过点 A 作弦于 D 交 O 于 CAC MN 连 BC 交 MN 于 P 连 AP 则 PA PB 最短 A M O D P N C B AC MNDMNO 于 且是圆 直径 点 与点 关于所在直线成轴对称ACMN PAPCAONCONPAPBBC 即 若设点是上任意一点PON 则 所以最短P CP BBCPAPB 连结 OB OC A M O D P N C B 点 A 是半圆上的三等分点 点 B 是弧 AN 的中点 CONAONBON6030 故 BOC90 BCOBOC 222 OBOC 1 BCPAPB22 即 例 5 如图 已知在中 AC 14 BC 点 O 在 AC 上移动 ABC6 2 ACB45 O 始终和 AB 相切 切点为 D O 与 AC 交于 E F 两点 点 F 可在 AC 的延长线上 1 设 O 的半径为 r 在满足题意的点 O 中 是否存在某一位置 使得 O 与 用心 爱心 专心 AB BF 都相切 若不存在 请说明理由 若存在 求出此时 r 的长 2 设四边形 BDOC 的面积为 S 求 S 与 r 的函数关系式及 r 的取值范围 B D A E O F C 解 解 1 答 存在某一位置 使 O 与 AB BF 都相切 此时 BD BFBF AC 在中Rt BFC BCC245 BFBC sin456 CFBF6 AFACCF8 在中 Rt AFBABAFBF 222 AB8610 22 Rt ADORt AFB DO BF AD AF rOD AD AF BF ABBD AF BF 106 8 63 2 过点 B 作BFACF 于 B D A F E O F C BF 6 SAC BF ABC 1 2 1 2 14642 Rt ADORt AF B DO BF AD AF ADr 4 3 SAD ODrrr ADO 1 2 1 2 4 3 2 3 2 则SSSr ABCADO 42 2 3 2 用心 爱心 专心 同理 只要四边形 BDOC 存在 总成立Sr 42 2 3 2 当 D 与 B 重合时 F 在 AC 延长线上 r 15 2 此时四边形 BDOC 已不存在 rr的取值范围是0 15 2 例 6 如图 AB AC 直线 l 与以 AB 为直径的圆相切于 B 点 E 是圆 BAC90 上异于 A B 的任意一点 直线 AE 与 l 相交于点 D 1 如果 AD 10 BD 6 求 DE 的长 2 连结 CE 过 E 作 CE 的垂线交直线 AB 于点 F 当点 E 在什么位置时 相应的 F 位于线段 AB 上 位于 BA 的延长线上 位于 AB 的延长线上 写出结果 不要求证明 无论点 E 如何变化 总有 BD BF 请你就上述三种情况任选一种说明理由 C l E D A B F O 解 解 1 BDDA是切线 是割线 BDAD 610 DBDE DA 2 DE DB DA 2 36 10 36 2 设 M 是上半圆的中点 当 E 在弧 BM 上时 F 在直径 AB 上 E 在弧 AM 上时 F 在 BA 的延长线上 当 E 在下半圆上时 F 在 AB 的延长线上 连结 BE C l E D A B F O M ABACBDCEF是直径 是切线 90 AEBCAEFBEDBEBAE90 又有 CEAFEB 用心 爱心 专心 Rt DBERt BAECAEFBE DB BA BE AE BF AC BE AE 根据 AC AB 得 BD BF 例 7 已知 如图 在中 BAC 的平分线 AD 交的外接圆 O 于点 D ABC ABC 交 BC 于点 G 1 连结 CD 若 AG 4 DG 2 求 CD 的长 2 过点 D 作 EF BC 分别交 AB AC 的延长线于点 E F 求证 EF 与 O 相切 A B C D O G F E 解 解 1 连结 BD A B C D O G F E ADBAC平分 BADDAC 弧弧BDDC BDDC CBDDAC BADDBC ADBADB BDGADB BD DG AD BD BD212 CDBD2 3 2 连结 OD 由 1 知弧 BD 弧 DC 用心 爱心 专心 A B C D O G F E OD BC BCEF OD EF EFOD过圆 上点 EFO与圆 相切 例 8 如图甲 在矩形 ABCD 中 AB 20cm BC 4cm 点 P 从 A 开始沿折线 A B C D 以 4cm s 的速度移动 点 Q 从 C 开始沿 CD 边以 1cm s 的速度移动 如果 P Q 分别从 A C 同时出发 当其中一点到达 D 时 另一点也随之停止运动 设运动时间为 t s 1 t 为何值时 四边形 APQD 为矩形 2 如图乙 如果 P 和 Q 的半径都是 2cm 那么 t 为何值时 P 和 Q 外切 D Q C D C Q P A P B A B 图甲 图乙 解 解 1 根据题意 当 AP DQ 时 由 AP DQ 得四边形 APQD 为矩形 A90 此时4204ttts 解得 tsAPQD为时 四边形为矩形4 2 当 PQ 4 时 P 与 Q 外切 如果点 P 在 AB 上运动 只有当四边形 PADQ 为矩形时 PQ 4 由 1 得 t 4 s 如果点 P 在 BC 上运动 此时 则 t 5CQ 5PQCQ 54 圆 与圆 外离PQ 如果点 P 在 CD 上运动 且点 P 在点 Q 的右侧 可得 CQ 5 当CPt 424 时 P 与 Q 外切 此时 解得 CQCP 4tt 4244ts 20 3 如果点 P 在 CD 上运动 且点 P 在点 Q 的左侧 当时 P 与 Q 外CPCQ 4 切 此时 解得 4244tt ts 28 3 点 从 开始沿折线移动到 需要PAABCDDs 11 点 从 开始沿边移动到 需要 需QCCDDs20 28 3 11 用心 爱心 专心 时 P 与 Q 外切 当 为 tsss4 20 3 28 3 例 9 如图 已知点 I 是的平分线的交点 射线 AI 交的外接圆 ABC AB ABC 于 D 交 BC 边于 E 1 试判断线段 ID 和 BD 的大小关系 2 设外接圆半径 R 3 ID 2 AD x DE y 当点A 在优弧 BC 上运动时 ABC 求函数 y 与自变量 x 之间的函数关系式 并指出自变量的取值范围 A I B E C D 5 1 2 3 4 解 解 1 123452 BIDIBD1345 BIDIBD 在和中2 ABDBDE 15 DD ABDBDE BD DE AD BD BDAD DE 2 由 得BDIDADxDEyy x 2 4 BDADR 2 26x 即自变量 的取值范围是xx26 例 10 如图 过半径为 6cm 的 O 外一点 P 引圆的切线 PA PB 连结 PO 交 O 于 F 过 F 作 O 的切线交 PA PB 分别于 D E 如果 PO 10cm APB40 1 求的周长 PED 2 求DOE 的度数 A D P F O E B 解 解 1 连结 OA 则OA PA 用心 爱心 专心 D P F O E B A PAPOOA 2222 1068 PAPBEFEADFDBO 为切线 均切圆 PAPBDADFFEEB PEDPEEFFDPD的周长 PAPB PA cm 2 16 即的周长为 PEDcm16 2 由切线长性质知 AOD DOF EOF EOB DOEAOBAPB 1 2 1 2 180 1 2 1804070 例 11 已知 如图 直角坐标系内的矩形 ABCD 顶点 A 的坐标为 0 3 BC 2AB P 为 AD 边上一动点 与点 A D 不重合 以点 P 为圆心作 P 与对角线 AC 相切于点 F 过 P F 作直线 L 交 BC 边于点 E 当点 P 运动到点位置时 直线 L 恰好P1 经过点 B 此时直线的解析式是 yx 21 1 求 BC 的长 AP1 2 设 AP m 梯形 PECD 的面积为 S 求 S 与 m 之间的函数关系式 写出自变量 m 的取值范围 3 以点 E 为圆心作 E 与 x 轴相切 探究并猜想 P 与 E 有哪几种位置关系 并求出 AP 相应的取值范围 当直线 L 把矩形 ABCD 分成两部分的面积之比值为 3 5 时 则 P 和 E 的位置关 系如何 并说明理由 用心 爱心 专心 y A P D B F P1 F1 x C E O 解 解 1 AOA 033 直线 的解析式是lyx 21 B 01 OBABOAOB12 BCABBC 24 点 是上一动点 且 PADA03 P13点纵坐标是 点 在直线上Pyx 1 21 PAP 11 131 24 APmAD PDm4 P Pm 1 1 圆 与对角线相切于点PACF AF PAFP 11 90 P BPE 1 ADBC BEP Pm 1 1 ECm5 SPDECCDmm 1 2 1 2 92292 14 m 3 在中Rt ABP 1 ABAP 21 1 BP15 点 在上运动时 圆心距的总长等于PADEP5 当 P 和 E 相切时 此时PFEPEF 51 Rt APFRt ACD AP AC PF CD AP55 当时 两圆外离155 m 当时 两圆外切m 55 用心 爱心 专心 当时 两圆相交554 m 且直线 l 把矩形 ABCD 分成两部分面积比 3 5 矩形的面积是ABCD8 SS PECDPECD四边形四边形 或53 当时 即 四边形 SmmAP PECD 592522 155AP 此时两圆外离 当时 即 四边形 SmmAP PECD 392333 554AP 此时两圆相交 综上所述 当直线 l 把矩形 ABCD 分成两部分的面积之比为 3 5 时 则 P 与 E