北京四中高中数学 单调性与最大（小）值提高知识讲解 新人教A版必修1

1 单调性与最大 小 值单调性与最大 小 值 学习目标学习目标 1 理解函数的单调性定义 2 会判断函数的单调区间 证明函数在给定区间上的单调性 要点梳理要点梳理 要点一 函数的单调性要点一 函数的单调性 1 1 增函数 减函数的概念 增函数 减函数的概念 一般地 设函数 f x 的定义域为 A 区间DA 如果对于内的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间D 上是增函数 D 如果对于内的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1f x2 那么就说 f x 在区间D 上是减函数 D 要点诠释 要点诠释 1 属于定义域 A 内某个区间上 2 任意两个自变量且 12 x x 12 xx 3 都有 1212 f xf xf xf x 或 4 图象特征 在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的 减函数的图象从左向右是下降的 2 2 单调性与单调区间 单调性与单调区间 1 单调区间的定义 如果函数 f x 在区间上是增函数或减函数 那么就说函数 f x 在区间上具有单调性 称为DDD 函数 f x 的单调区间 函数的单调性是函数在某个区间上的性质 要点诠释 要点诠释 单调区间与定义域的关系 单调区间可以是整个定义域 也可以是定义域的真子集 单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的 不能随意合并两个单调区间 有的函数不具有单调性 2 已知解析式 如何判断一个函数在所给区间上的单调性 3 3 函数的最大 小 值 函数的最大 小 值 一般地 设函数的定义域为 如果存在实数满足 yf x IM 对于任意的 都有 或 xI f xM f xM 存在 使得 那么 我们称是函数的最大值 或最小值 0 xI 0 f xM M yf x 要点诠释 要点诠释 最值首先是一个函数值 即存在一个自变量 使等于最值 0 x 0 f x 对于定义域内的任意元素 都有 或 任意 两字不可省 x 0 f xf x 0 f xf x 2 使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个 f x 函数在其定义域 某个区间 内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标 最小值的几 f x 何意义是图象上最低点的纵坐标 4 4 证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤 1 取值 设是定义域内一个区间上的任意两个量 且 12 xx f x 12 xx 2 变形 作差变形 变形方法 因式分解 配方 有理化等 或作商变形 3 定号 判断差的正负或商与 1 的大小关系 4 得出结论 5 5 函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法 1 定义法 2 图象法 3 对于复合函数 yfg x 若 tg x 在区间上是单调函数 则 yf t 在区间 ab 或者上是单调函数 若与单调性相同 同时为增或同时 g ag b g bg a tg x yf t 为减 则 yfg x 为增函数 若与单调性相反 则为减函数 tg x yf t yfg x 要点二 基本初等函数的单调性要点二 基本初等函数的单调性 1 1 正比例函数 正比例函数 0 ykx k 当 k 0 时 函数在定义域 R 是增函数 当 k0 时 函数在定义域 R 是增函数 当 k0 在区间 函数是减函数 在区间 函数是增函数 2 b a 2 b a 若 a 0 在区间 函数是增函数 在区间 函数是减函数 2 b a 2 b a 要点三 一些常见结论要点三 一些常见结论 1 若 f x是增函数 则为减函数 若 f x是减函数 则为增函数 f x f x 3 2 若 f x和均为增 或减 函数 则在和的公共定义域上为增 或 g x f x g x f xg x 减 函数 3 若且 f x为增函数 则函数为增函数 为减函数 若且 0f x f x 1 f x 0f x 为减函数 则函数为减函数 为增函数 f x f x 1 f x 典型例题典型例题 类型一 函数的单调性的证明类型一 函数的单调性的证明 高清课堂 函数的单调性高清课堂 函数的单调性 356705356705 例例 1 1 例 1 已知 函数 1 f xx x 1 讨论的单调性 f x 2 试作出的图像 f x 思路点拨 本题考查对单调性定义的理解 在现阶段 定义是证明单调性的唯一途径 解析 1 1 设 x1 x2是实数集上的任意实数 且 x1 x2 则R 1212 12 11 f x f x x x xx 12 12 11 xx xx 21 12 12 xx xx x x 12 12 12 12 12 1 xx 1 x x x x1 xx x x 当时 x1 x2 0 1 x1x2 12 1xx 故 即 f x1 f x2 0 12 12 x x1 0 x x 12 12 12 x x xx 0 x x x1 x2时有 f x1 f x2 上是增函数 1 f x x x 在区间 1 当 1 x1 x2 0 x1 x2 0 0 x1x2 1 4 0 x1x20 12 12 12 x x xx 0 x x x1f x2 上是减函数 1 f x x x 在区间 1 0 同理 函数是减函数 函数是增函数 1 f x x x 在区间0 1 1 f x x x 在区间1 2 函数的图象如下 1 f xx x 总结升华 1 证明函数单调性要求使用定义 2 如何比较两个量的大小 作差 3 如何判断一个式子的符号 对差适当变形 举一反三 举一反三 变式 1 讨论函数的单调性 并证明你的结论 0 a f xxa x 解析 设 则 12 0 xxa 12 0 xx 121212 0 0 0 x xx xax xa 即 1212 1212 1212 0 xxx xaaa f xf xxx xxx x 12 f xf x 在上单调递减 f x 0 a 同理可得在上单调递增 在上单调递增 在上单调递减 f x a a 0a 故函数在和上单调递增 在和上单调递减 f x a a 0a 0 a 类型二 求函数的单调区间类型二 求函数的单调区间 例 2 判断下列函数的单调区间 5 1 y x2 3 x 2 2 2 1 2 yxx 思路点拨 对进行讨论 把绝对值和根号去掉 画出函数图象 x 答案 1 f x 在上递减 在上递减 在上递增 3 2 33 0 0 22 上递增 在 3 2 2 f x 在上递增 12 上递减 在 解析 1 由图象对称性 画出草图 f x 在上递减 在上递减 在上递增 3 2 33 0 0 22 上递增 在 3 2 2 23 1 1 2 1 12 2 3 2 xx yxxx xx 图象为 f x 在上递增 12 上递减 在 举一反三 举一反三 变式 1 求下列函数的单调区间 1 y x 1 2 3 4 y x2 2x 3 1 21 y x 2 1 y x 答案 1 函数的减区间为 函数的增区间为 1 1 2 上为减函数 2 1 2 1 1x2 1 y在 6 3 单调增区间为 0 单调减区间为 0 2 x 1 y 4 单调减区间是 1 1 3 单调增区间是 1 1 3 解析 1 画出函数图象 1x 1x 1x 1x y 函数的减区间为 函数的增区间为 1 1 2 定义域为 其中 u 2x 1 为增函数 在 0 u 1 y 1x2u 2 1 2 1 设 u 1 y 与 0 为减函数 则上为减函数 2 1 2 1 1x2 1 y在 3 定义域为 0 0 单调增区间为 0 单调减区间为 0 2 x 1 y 高清课堂 函数的单调性高清课堂 函数的单调性 356705356705 例例 3 3 4 先画出 y x2 2x 3 然后把轴下方的部分关于轴对称上去 就得到了所求函数的图象 如下xx 图 所以 y x2 2x 3 的单调减区间是 1 1 3 单调增区间是 1 1 3 总结升华 1 数形结合利用图象判断函数单调区间 2 关于二次函数单调区间问题 单调性变化的点与对称轴相关 3 复合函数的单调性分析 先求函数的定义域 再将复合函数分解为内 外层函数 利用已知函 数的单调性解决 关注 内外层函数同向变化 复合函数为增函数 内外层函数反向变化 复合函数为减 函数 例 3 已知函数的定义域为 且对任意的 均有 且对 yf x Rx xR f xxf xf x 任意的 都有 0 x 0 3 3f xf 1 试说明 函数是上的单调递减函数 yf x R 2 试求函数在 且 上的值域 yf x m n m nZ 0mn 思路点拨 1 可根据函数单调性的定义进行论证 考虑证明过程中如何利用题设条件 2 由 1 的结论可知 分别是函数在上的最大值与最小值 故求出与 f m f n yf x m n f m 7 就可得所求的值域 f n 答案 1 证明略 2 n m 解析 1 任取 且 于是由题设条件 1 x 2 xR 12 xx 2121 f xf xxx 可知 f xxf xf x 2121 f xf xf xx 1221 0 xxxx 对任意的都有 0 x 0f x 21 0f xx 21211 f xf xf xxf x 故函数是上的单调递减函数 yf x R 2 由于函数是上的单调递减函数 yf x R 在 m n 上也为单调递减函数 yf x 在 m n 上的最大值为 最小值为 yf x f m f n 由于 同理 1 1 1 1 2 1 2 1 f nfnff nff nnf 1 f mmf 3 3 3 3 1 3fff 1 1 ff mm f nn 因此函数在上的值域为 yf x m n n m 总结升华 像本例这样不知道解析式的函数 我们称为抽样函数 研究抽象函数的单调性是依据定 义和题设来进行论证的 一般地 在高中数学中 主要有两种类型的抽象函数 一是 型 即 f xy 给出所具有的性质 如本例 二是 型 对于型的函数 只需构造 f xy f xy f xy 再利用题设条件将它用与表示出来 然后利用题设条件确定 2121 f xf xxx 1 f x 21 f xx 的范围 从而确定与的大小关系 对型的函数 则只需构造 21 f xx 2 f x 1 f x f xy 即可 2 21 1 x f xf x x 举一反三 举一反三 8 变式 1 已知的定义域为 且当时 若对于任意两个正数和都有 f x 0 1x 0f x xy 试判断的单调性 f xyf xf y f x 答案 单调递增 解析 设 则 12 0 xx 11 22 1 0 xx f xx 11 1222 22 xx f xf xf xff x xx 在上单调递增 f x 0 变式 2 已知函数 f x 在定义域 0 上为增函数 f 2 1 且定义域上任意 x y 都满足 f xy f x f y 解不等式 f x f x 2 3 答案 24x 解析 令 x 2 y 2 f 2 2 f 2 f 2 2 f 4 2 再令 x 4 y 2 f 4 2 f 4 f 2 2 1 3 f 8 3 f x f x 2 3 可转化为 f x x 2 f 8 2 8 24 0 24 2 20 x x x xx x x 类型三 单调性的应用类型三 单调性的应用 比较函数值的大小 求函数值域 求函数的最大值或最小值比较函数值的大小 求函数值域 求函数的最大值或最小值 例 4 已知函数是定义域为的单调增函数 f xR 1 比较与的大小 2 2 f a 2 fa 2 若 求实数的取值范围 2 6 f af a a 思路点拨 抽象函数求字母取值范围的题目 最终一定要变形成的形式 再依据函数 f xf y 的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解 f xf 答案 1 2 或 2 2 2 f afa 3a 2a 解析 1 因为 所以 由已知 是单调增函数 22 22 1 10aaa 2 22aa f x 所以 2 2 2 f afa 2 因为是单调增函数 且 所以 解得或 f x 2 6 f af a 2 6aa 3a 2a 例 5 求下列函数的值域 9 1 1 x 5 10 2 x 3 2 2 1 2 1 2 x y x 2 2 28yxx 3 43 1 2yxx 4 1 2yxx 答案 1 1 2 2 3 4 9 19 7 12 1 7 3 0 3 2 3 1 解析 1 可应用函数的单调性 2 中函数为二次函数开方 可先求出二次函数值域 3 由单调 性求值域 此题也可换元解决 4 单调性无法确定 经换元后将之转化为熟悉二次函数情形 问题得到 解决 需注意此时 t 的范围 1 2 个单位 再上移 2 个单位得到 如图 2 2 5 5 5 22 x yy xxx 2可看作是由左移 1 f x 在 5 10 上单增 9 19 5 10 7 12 yff 即 2 1 1 3 7 3 yff 即 2 2222 1 9 1 0 1 00 1 99 0 3 yxxxxy 3 经观察知 1 3 10 3 xx 112 333 yyf 在上单增 2 3 y 4 令 2 22 1 111 1 20 1 1 1 2222 t xtytttty 举一反三 举一反三 变式 1 已知函数 13x f x 13x 1 判断函数 f x 的单调区间 2 当 x 1 3 时 求函数 f x 的值域 10 思路点拨 这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间 但对解析式稍作处理 即可得到我们 相对熟悉的形式 第二问即是利用单调性求函数值域 13x2 f x 1 13x3x1 答案 1 上单调递增 在上单调递增 1 f x 3 在 1 3 2 5 2 4 解析 1 13x 3x1 22 f x 1 13x13x3x1 上单调递增 在上单调递增 1 f x 3 在 1 3 2 故函数 f x 在 1 3 上单调递增 1 1