2019届广东省普宁市第二中学等七校联合体高三冲刺模拟数学理试题版.pdf

1 普宁二中七校联合体 2019 年高考冲刺卷 注意事项 1 本试题满分 150 分 考试时间为 120 分钟 2 答卷前 务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上 3 使用答题纸时 必须使用 0 5 毫米的黑色签字笔书写 要字迹工整 笔迹清晰 超出答题区书写的 答案无效 在草稿纸 试题卷上答题无效 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合分 在每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合 题目要求 题目要求 1 若集合 28 0 1 2 3 4 x AxNB 则AB A 0 1 2 3 B 1 2 3 C 0 1 2 D 0 1 2 3 4 2 在复平面内 复数z满足 11 2zii 则z对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 若 0 43 0 4 3 0 4 log3abc 则 A bac B cab C acb D cba 4 若 为第一象限角 且 sin2sincos 2 则2cos 2 4 的值为 A 7 5 B 7 5 C 1 3 D 7 3 5 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的 三斜求积术 与著名的海伦公式等价 其求 法是 以小斜幂并大斜幂减中斜幂 余半之 自乘于上 以小斜幂乘大斜幂减小 余四约之 为实 一为 从隅 开平方得积 若把以上这段文字写成公式 即 2 222 22 1 42 cab Sc a 现有周长为 2 25 的ABC 的面积为 A 3 4 B 3 2 C 5 4 D 5 2 6 已知结论 在 ABC中 各边和它所对角的正弦比相等 即sinsinsin abc ABC 若把该结论推广 到空间 则有结论 在三棱锥A BCD 中 侧棱AB与平面ACD 平面BCD所成的角为 则有 2 A sinsin BCAD B sinsin ADBC C sinsin BCDACD SS D sinsin ACDBCD SS 7 如图 在 ABC中 AD 2DB BC 2BE AE 与CD交于点F 过点F作直线 QP 分别交AB AC于点Q P 若AQ AB AP AC 则 的最小值 为 A 8 5 B 9 5 C 2 D 11 5 8 已知直线 1110axayaaR 过定点A 线段BC是圆D 22 231xy 的 直径 则AB AC A 5 B 6 C 7 D 8 9 棱锥的三视图如图所示 且三个三角形均为直角三角形 则 yx 11 的最小值为 A 2 10 5 B 1 C 4 D 3 2 10 定义行列式运算 12 34 aa aa 3241 aaaa 将函数 sin23 cos21 x f x x 的图象向左平移 6 个单位 以下是 所得函数图象的一个对称中心是 A 0 4 B 0 2 C 0 3 D 0 12 11 若对于函数 f x ln x 1 x2 图象上任意一点处的切线 l1 在函数 g x asinxcosx x 的图象上 总存在一条切线 l2 使得 l1 l2 则实数 a 的取值范围为 A 2 1 2 1 B 1 1 2 2 C 1 2 2 2 1 2 D 1 1 12 如图 已知椭圆C1 x 2 4 y 2 1 过抛物线 C2 x 2 4y 焦点F的直线交抛物线于M N两点 连接NO MO并延长分别交C1于A B两点 连接AB OMN与 OAB的面积分别记为S OMN S OAB 则在下列命题中 3 正确命题的个数是 若记直线NO MO的斜率分别为k1 k2 则k1k2的大小是定值为 1 4 OAB的面积S OAB是定值 1 线段OA OB长度的平方和 OA 2 OB 2 是定值 5 设 S OMN S OAB 则 2 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 二 填空题 本大题共有二 填空题 本大题共有 4 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 从标有 1 2 3 4 5 的五张卡片中 依次抽出 2 张 则在第一次抽到偶数的条件下 第二次抽到奇 数的概率为 14 已知抛物线C x 2 4y 的焦点为F 直线AB与抛物线C相交于A B两点 若 2OA OB 3OF 0 则弦 AB中点到抛物线C的准线的距离为 15 已知x y满足约束条件 x y 2 0 x 1 x y k 0 则z x 3y的最大值是最小值的 2 倍 则k 16 已知数列 an 满足 a1 3 an 2an 1 3 1 n n 2 设 a kt 是等差数列 数列 kt t N 是各项均 为正整数的递增数列 若k1 1 则k3 k2 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 2117 21 题为必考题 每个试题考题为必考题 每个试题考 生都必须作答生都必须作答 每题每题 1212 分 第分 第 2222 2323 题为选考题题为选考题 考生根据要求作答考生根据要求作答 每题每题 1010 分 分 一一 必考题 共必考题 共 6060 分 分 17 等差数列 n a的前n项和为 n S 数列 n b是等比数列 满足1 3 11 ba 10 22 Sb 323 2aba 求数列 n a和 n b的通项公式 令 2 n n n n Sc b n 为奇数 为偶数 设数列 n c的前n项和 n T 求 n T2 18 直角三角形ABC中 0 90 4 2 CACBCE 是AC的中点 F是线段AB上一个动点 且 4 01AFAB 如图所示 沿BE将CEB 翻折至DEB 使得平面DEB 平面ABE 1 当 1 3 时 证明 BD 平面DEF 2 是否存在 使得DF与平面ADE所成的角的正弦值是 2 3 若存在 求出 的值 若不存在 请 说明理由 19 某公司推出一新款手机 因其功能强大 外观新潮 一上市便受到消费者争相抢购 销量呈上升趋势 散点图是该款手机上市后前 6 周的销售数据 I 根据散点图 用最小二乘法求y关于x的线性回归方程 并预测该款手机第 8 周的销量 II 为了分析市场趋势 该公司市场部从前 6 周的销售数据中随机抽取 2 周的数据 记抽取的销量在 18 万台以上的周数为 求 Z 的分布列和数学期望 参考公式 回归直线方程axby 其中xbya xnx yxnyx b n i i n i ii 1 2 2 1 20 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C1 2 2 1 4 x y 椭圆C2 2 2 22 1 0 y x ab ab C2与C1的长轴长之比为2 1 离心率相同 1 求椭圆C2的标准方程 2 设点P为椭圆C2上一点 5 射线PO与椭圆C1依次交于点AB 求证 PA PB 为定值 过点P作两条斜率分别为 12 kk 的直线 12 ll 且直线 12 ll 与椭圆C1均有且只有一个公共点 求证 1 2 kk 为定值 21 设函数 2 1 2 x k f xxex 其中kR 1 求函数 fx的单调区间 2 当0k 时 讨论函数 fx的零点个数 二 选考题 请考生在第 二 选考题 请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 M 是曲线 上的动点 将线段 OM 绕 O 点顺时针旋转得到线段 ON 设点 N 的轨迹为曲线 以坐标原点 O 为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 1 求曲线的极坐标方程 2 在 1 的条件下 若射线与曲线分别交于 A B 两点 除极点外 且有定点 求的面积 23 本小题满分 10 分 已知函数 1 当时 求不等式的解集 2 对于任意的实数 存在实数 使得不等式成立 求实数 的取值范围 6 参考答案 一 选择题 ABDBA CACAB DA 二 填空题 13 3 4 14 9 4 15 1 16 1 三 解答题 17 解析 设数列 n a的公差为d 数列 n b的公式为q 由 22523 10 2bSaba 得 dqd dq 23243 106 解得 2 2 q d 1 2 12 1 23 n nn bnna 6 分 由12 3 1 naa n 得 2 nnSn 则n为奇数 2 112 nnS c n n n为偶数 1 2 n n c 24212312nnn ccccccT 222 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 123 n nn 14 3 2 12 2 41 41 2 12 1 1 n n n n n 12 分 18 证明 1 在ABC 中 0 90C 即ACBC 则BDDE 取BF的中点N 连接CN交BE于M 当 1 3 时 F是AN的中点 7 而E是AC的中点 所以EF是ANC 的中位线 所以 EFCN 在BEF 中 N是BF的中点 所以M是BE的中点 在Rt BCE 中 2ECBC 所以CMBE 则EFBE 又平面DEB 平面ABE 平面DBE平面ABEBE 所以EF 平面DBE 又BD 平面DBE 所以EFBD 而EFDEE 所以BD 平面DEF 2 以C为原点 CA所在的直线为x轴 CB所在的直线为y轴 建立如图所示空间直角坐标系 则 0 0 0 4 0 0 0 2 0CAB 由 1 知M是BE的中点 DMBE 又平面DEB 平面ABE 所以DM 平面ABE 则 1 1 2D 假设存在满足题意的 则由AFAB 可得 44 2 0F 则 34 21 2DF 设平面ADE的一个法向量为 nx y z 则 0 0 n AE n AD 即 20 320 x xyz 令2y 可得0 1xz 即 0 2 1n 所以DF与平面ADE所成的角的正弦值 2 22 2 212 2 sin 3 334212 DF n DF n 解得 1 2 或 3 舍去 综上 存在 1 2 使得DF与平面ADE所成的角的正弦值为 2 3 8 20 解析 解 1 设椭圆C2的焦距为 2c 由题意 2 2a 3 2 c a 222 abc 解得2b 因此椭圆C2的标准方程为 2 2 1 82 y x 3 分 2 法一 法一 1 当直线OP斜率不存在时 21PA 21PB 则 21 32 2 21 PA PB 4 分 2 当直线OP斜率存在时 设直线OP的方程为ykx 代入椭圆C1的方程 消去y 得 22 41 4kx 所以 2 2 4 41 A x k 同理 2 2 8 41 P x k 6 分 所以 22 2 PA xx 由题意 PA xx与同号 所以2 PA xx 从而 21 32 2 21 PAPA PBPA xxxx PA PBxxxx 所以32 2 PA PB 为定值 6 分 法二 法二 设PAPB 01 设 111100 A x yBxyP xy 则 01 01 1 1 1 1 xx yy 所以 22 211 1 1 182 xy 又 2 21 1 1 4 x y 所以 2 1 2 1 32 2 所以32 2 PA PB 设 00 P xy 所以直线 1 l的方程为 010 yyk xx 即 1100 yk xk yx P A B 20 题 x y O 9 记 100 tk yx 则 1 l的方程为 1 yk xt 代入椭圆C1的方程 消去y 得 222 11 41 8440kxktxt 因为直线 1 l与椭圆C1有且只有一个公共点 所以 222 11 8 4 41 44 0ktkt V 即 22 1 410kt 将 100 tk yx 代入上式 整理得 222 0100 10 4 210 xkx y ky 8 分 同理可得 222 020020 4 210 xkx y ky 所以 12 kk 为关于k的方程 222 0000 4 210 xkx y ky 的两根 从而 2 0 12 2 0 1 4 y kk x 10 分 又点在 00 P xy 椭圆C2 2 2 1 82 y x 上 所以 22 00 1 2 4 yx 所以 2 0 12 2 0 1 21 14 4 4 x kk x 为定值 12 分 21 解 1 函数 fx的定义域为 1 xxxx fxexekxxekxx ek 当0k 时 令 0fx 解得0 x 所以 fx的单调递减区间是 0 单调递增区间是 0 当01k 时 令 0fx 解得lnkx 或0 x 所以 fx在 lnk 和 0 上单调递增 在 ln 0k上单调递减 当1k 时 0fx fx在 上单调递增 当1k 时 令 0fx 解得0 x 或lnxk 所以 fx在 0 和 ln k 上单调递增 在 0 lnk上单调递减 2 01f 当01k 时 由 1 知 当 0 x 时 2 2 max lnln1lnln110 22 kk f xfxfkkkkk 此时 fx无零点 当 0 x 时 22 2220feke 又 fx在 0 上单调递增 所以 fx在 0 上有唯一的零点 故函数 fx在定义域 上有唯一的零点 当1k 时 由 1 知 当 lnkx 时 max 010f xfxf 此时 fx无零点 10 当 ln xk 时 ln010fkf 22 11 11 1 22 kk k kk f kkek e 令 2 1 12 2 t g tettk 则 1 tt g tet gte 因为 2 0 tgtg t