《等边三角形》练习题附答案.pdf

等边三角形 练习题 1 2012 深圳 如图 已知 MON 30 点A1 A2 A3 在射线 ON上 点B1 B2 B3 在射线OM上 A1B1A2 A2B2A3 A3B3A4 均为等边三角形 若OA1 1 则 A6B6A7的边长为 A 6B 12C 32D 64 2 2012 凉山州 如图 一个等边三角形纸片 剪去一个角后得到一 个四边形 则图中 的度数是 A 180 B 220 C 240 D 300 3 2012 荆门 如图 ABC是等边三角形 P是 ABC的平分线BD 上一点 PE AB于点E 线段BP的垂直平分线交BC于点F 垂足为点 Q 若BF 2 则PE的长为 A 2B 2C D 3 4 2011 南平 边长为4的正三角形的高为 A 2B 4C D 2 5 2010 随州 如图 过边长为1的等边 ABC的边AB上一点P 作 PE AC于E Q为BC延长线上一点 当PA CQ时 连PQ交AC边于D 则DE的长为 A B C D 不能确定 6 2009 攀枝花 如图所示 在等边 ABC中 点D E分别在边 BC AB上 且BD AE AD与CE交于点F 则 DFC的度数为 A 60 B 45 C 40 D 30 7 2007 绵阳 如图 在正方形ABCD的外侧 作等边 ADE BE CE分别交AD于G H 设 CDH GHE的面积分别为S1 S2 则 A 3S1 2S2 B 2S1 3S2C 2S1 S2 D S1 2S2 8 2007 娄底 如图 ABC是边长为6cm的等边三角形 被一平行 于BC的矩形所截 AB被截成三等分 则图中阴影部分的面积为 A 4cm2B 2cm2C 3 cm2 D 3cm2 9 2006 天津 如图 A C B三点在同一条直线上 DAC和 EBC都是等边三角形 AE BD分别与CD CE交于点M N 有如下 结论 ACE DCB CM CN AC DN 其中 正确结论的 个数是 A 3个B 2个C 1个D 0个 10 2006 南宁 如图是一个等边三角形木框 甲虫P在边框AC上爬 行 A C端点除外 设甲虫P到另外两边的距离之和为d 等边三角 形ABC的高为h 则d与h的大小关系是 A d hB d hC d hD 无法确定 11 2007 南充 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40 的方向行 驶40海里到达B地 再由B地向北偏西20 的方向行驶40海里到达C地 则A C两地相距 A 30海里B 40海里C 50海里D 60海里 12 2006 曲靖 如图 CD是Rt ABC斜边AB上的高 将 BCD沿 CD折叠 B点恰好落在AB的中点E处 则 A等于 A 25 B 30 C 45 D 60 13 2011 茂名 如图 已知 ABC是等边三角形 点B C D E在 同一直线上 且CG CD DF DE 则 E 度 14 2008 日照 如图 C为线段AE上一动点 不与点A E重合 在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE AD与BE交于点O AD与BC交于点P BE与CD交于点Q 连接PQ 以下五个结论 AD BE PQ AE AP BQ DE DP AOB 60度 恒成 立的结论有 把你认为正确的序号都填上 15 2005 扬州 如图 将边长为4的等边 ABC 沿x轴向左平移2个 单位后 得到 A B C 则点A 的坐标为 16 2004 茂名 如图 正三角形A1B1C1的边长为1 A1B1C1的 三条中位线组成 A2B2C2 A2B2C2的三条中线又组成 A3B3C3 如此类推 得到 AnBnCn 则 1 A3B3C3的边长a3 2 AnBnCn的边长an 其中n为正整数 17 2006 嘉峪关 ABC为等边三角形 D E F分别在边BC CA AB上 且 AE CD BF 则 DEF为 三角形 18 1999 广州 如图 以A B两点为其中两个顶点作位置不同的等 边三角形 最多可以作出 个 19 如图所示 P是等边三角形ABC内一点 将 ABP绕点B顺时针方 向旋转60 得到 CBP 若PB 3 则PP 20 2009 浙江 如图 在边长为4的正三角形ABC中 AD BC于点 D 以AD为一边向右作正三角形ADE 1 求 ABC的面积S 2 判断AC DE的位置关系 并给出证明 21 2009 辽阳 如图 ABC为正三角形 D为边BA延长线上一 点 连接CD 以CD为一边作正三角形CDE 连接AE 判断AE与BC的 位置关系 并说明理由 22 2008 绍兴 附加题 学完 几何的回顾 一章后 老师布置了一 道思考题 如图 点M N分别在正三角形ABC的BC CA边上 且BM CN AM BN交于点Q 求证 BQM 60度 1 请你完成这道思考题 2 做完 1 后 同学们在老师的启发下进行了反思 提出了许多问 题 如 若将题中 BM CN 与 BQM 60 的位置交换 得到的是否仍是真 命题 若将题中的点M N分别移动到BC CA的延长线上 是否仍能得到 BQM 60 若将题中的条件 点M N分别在正三角形ABC的BC CA边上 改 为 点M N分别在正方形ABCD的BC CD边上 是否仍能得到 BQM 60 请你作出判断 在下列横线上填写 是 或 否 并对 的判断 选择一个给 出证明 23 2007 河北 在 ABC中 AB AC CG BA交BA的延长线于点 G 一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放 该三角尺的直角顶点 为F 一条直角边与AC边在一条直线上 另一条直角边恰好经过点B 1 在图1中请你通过观察 测量BF与CG的长度 猜想并写出BF与 CG满足的数量关系 然后证明你的猜想 2 当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时 一条直角边仍与AC 边在同一直线上 另一条直角边交BC边于点D 过点D作DE BA于点 E 此时请你通过观察 测量DE DF与CG的长度 猜想并写出DE DF 与CG之间满足的数量关系 然后证明你的猜想 3 当三角尺在 2 的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置 点F在线段AC上 且点F与点C不重合 时 2 中的猜想是否仍然 成立 不用说明理由 24 2004 苏州 已知 如图 正 ABC的边长为a D为AC边上的一 个动点 延长AB至E 使BE CD 连接DE 交BC于点P 1 求证 DP PE 2 若D为AC的中点 求BP的长 25 2002 黑龙江 已知等边 ABC和点P 设点P到 ABC三边AB AC BC的距离分别为h1 h2 h3 ABC的高为h 若点P在一边BC 上 如图1 此时h3 0 可得结论h1 h2 h3 h 请直接应用上述信息 解决下列问题 1 当点P在 ABC内 如图2 2 点P在 ABC外 如图3 这 两种情况时 上述结论是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 h1 h2 h3与h之间的关系如何 请写出你的猜想 不需证明 26 2000 河南 如图 点C D在线段AB上 PCD是等边三角形 1 当AC CD DB满足怎样的关系时 ACP PDB 2 当 ACP PDB时 求 APB的度数 27 2010 雅安 如图 点C是线段AB上除点A B外的任意一点 分 别以AC BC为边在线段AB的同旁作等边 ACD和等边 BCE 连接 AE交DC于M 连接BD交CE于N 连接MN 1 求证 AE BD 2 求证 MN AB 28 2005 临沂 如图 已知AD和BC交于点O 且 OAB和 OCD均 为等边三角形 以OD和OB为边作平行四边形ODEB 连接AC AE和 CE CE和AD相交于点F 求证 ACE为等边三角形 29 已知 如图 ABC CDE都是等边三角形 AD BE相交于点 O 点M N分别是线段AD BE的中点 1 求证 AD BE 2 求 DOE的度数 3 求证 MNC是等边三角形 30 如图 等边 ABC的边长为10 点P是边AB的中点 Q为BC延长线 上一点 CQ BC 1 2 过P作PE AC于E 连PQ交AC边于D 求DE 的长 全等三角形 练习参考答案与试题解析 1 C 2 C 3 C 4 D5 B6 A7 A9 B10 C11 B12 B13 E 15 度 14 15 16 a3 AnBnCn的边长an 或21 n 17 等边 三角形 18 2 个 19 PP 3 20 解 1 在正 ABC中 AD 4 2分 S BC AD 4 2 4 3分 2 AC DE的位置关系 AC DE 1分 在 CDF中 CDE 90 ADE 30 2分 CFD 180 C CDE 180 60 30 90 AC DE 3分 注 其它方法酌情给分 21 解 AE BC 理由如下 ABC与 CDE为正三角形 BC AC CD CE ACB DCE 60 ACB ACD DCE ACD 即 BCD ACE BCD ACE B EAC B ACB EAC ACB AE BC 22 请你作出判断 在下列横线上填写 是 或 否 是 是 否 并对 的判断 选择一个给出证明 1 证明 在 ABM和 BCN中 ABM BCN BAM CBN BQM BAQ ABQ MBQ ABQ 60 2 是 是 否 的证明 如图 在 ACM和 BAN中 ACM BAN AMC BNA NQA NBC BMQ NBC BNA 180 60 120 BQM 60 的证明 如图 在Rt ABM和Rt BCN中 Rt ABM Rt BCN AMB BNC 又 NBM BNC 90 QBM QMB 90 BQM 90 即 BQM 60 23 解 1 BF CG 证明 在 ABF和 ACG中 F G 90 FAB GAC AB AC ABF ACG AAS BF CG 2 DE DF CG 证明 过点D作DH CG于点H 如图2 DE BA于点E G 90 DH CG 四边形EDHG为矩形 DE HG DH BG GBC HDC AB AC FCD GBC HDC 又 F DHC 90 CD DC FDC HCD AAS DF CH GH CH DE DF CG 即DE DF CG 3 仍然成立 证明 过点D作DH CG于点H 如图3 DE BA于点E G 90 DH CG 四边形EDHG为矩形 DE HG DH BG GBC HDC AB AC FCD GBC HDC 又 F DHC 90 CD DC FDC HCD AAS DF CH GH CH DE DF CG 即DE DF CG 24 1 证明 过点D作DF AB 交BC于F ABC为正三角形 CDF A 60 CDF为正三角形 DF CD 又BE CD BE DF 又DF AB PEB PDF 在 DFP和 EBP中 DFP EBP AAS DP PE 2 解 由 1 得 DFP EBP 可得FP BP D为AC中点 DF AB BF BC a BP BF a 25 解 1 当点P在 ABC内时 结论h1 h2 h3 h仍然成立 理由如下 过点P作BC的平行线 交AB于G 交AC于H 交AM于 N 则可得结论h1 h2 AN 四边形MNPF是矩形 PF MN 即h3 MN h1 h2 h3 AN MN AM h 即h1 h2 h3 h 2 当点P在 ABC外时 结论h1 h2 h3 h不成立 此时 它们 的关系是h1 h2 h3 h 理由如下 过点P作BC的平行线 与AB AC AM分别相交于 G H N 则可得结论h1 h2 AN 四边形MNPF是矩形 PF MN 即h3 MN h1 h2 h3 AN MN AM h 即h1 h2 h3 h 26 解 1 当CD2 AC DB时 ACP PDB PCD是等边三角形 PCD PDC 60 ACP PDB 120 若CD2 AC DB 由PC PD CD可得 PC PD AC DB 即 则根据相似三角形的判定定理得 ACP PDB 2 当 ACP PDB时 APC PBD PDB 120 DPB DBP 60 APC BPD 60 APB CPD APC BPD 120 即可得 APB的度数为120 27 证明 1 ACD和 BCE是等边三角形 AC DC CE CB DCA 60 ECB 60 DCA ECB 60 DCA DCE ECB DCE ACE DCB 在 ACE与 DCB中 ACE DCB AE BD 2 由 1 得 ACE DCB CAM CDN ACD ECB 60 而A C B三点共线 DCN 60 在 ACM与 DCN中 ACM DCN MC NC MCN 60 MCN为等边三角形 NMC DCN 60 NMC DCA MN AB 28 证明 OAB和 OCD为等边三角形 CD OD OB AB ADC ABO 60 四边形ODEB是平行四边形 OD BE OB DE CBE EDO CD BE AB DE ABE CDE ABE EDC AE CE AEB ECD BE AD AEB EAD EAD ECD 在 AFE和 CFD中 又 AFE CFD AEC ADC 60