【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）1.1.2 集合的包含关系导学案 湘教版必修1

1 1 1 21 1 2 集合的包含关系集合的包含关系 学习目标重点难点 1 明确子集 真子集 两集合相等的 概念 2 会用符号表示两个集合之间的关系 3 能根据两集合之间的关系求解参数 的范围 4 知道全集 补集的概念 会求集合 的补集 重点 子集 真子集的概念以及两集合 关系的应用 难点 集合关系的判断与应用 疑点 子集与真子集的关系 1 集合之间的关系 关系概念 符号 表示 图形表示 子集 如果集合B的每个元素都是集合A的 元素 就说B包含于A 或者说A包 含B 若B包含于A 称B是A的一 个子集 B A 真子集 如果B是A的子集 但A不是B的子 集 就说B是A的真子集 BA 集合相等 如果B是A的子集 A也是B的子集 就说两个集合相等 A B 全集 补 集 如果在某个特定的场合 要讨论的对 象都是集合I的元素和子集 就可以 约定把集合I叫作全集 若A是全集 I的子集 I中不属于A的元素组成 的子集叫作A的补集 IA 预习交流预习交流 1 能否把 A B 理解成 A是B中部分元素组成的集合 提示 不能 这是因为当A 时 A B 但A中不含任何元素 又当A B时 也有 A B 但A中含有B中的所有元素 这两种情况都有A B 所以上述理解是错误的 预习交流预习交流 2 与 的含义相同吗 提示 表示元素与集合之间的关系 与 表示集合与集合之间的关系 二 者不能混用 2 常用结论 1 任意一个集合A都是它本身的子集 即A A 2 空集是任意一个集合的子集 即对任意集合A 都有 A 预习交流预习交流 3 2 空集是任何集合的真子集吗 提示 不是 空集是任何非空集合的真子集 预习交流预习交流 4 子集 真子集关系具有传递性吗 提示 具有传递性 若A B B C 则A C 若AB BC 则AC 预习交流预习交流 5 若全集是I 那么 I的补集分别是什么 A的补集的补集是什么 提示 的补集是I I的补集是 即 I I II A的补集的补集是它自身 即 I IA A 一 子集 真子集的确定与集合关系的判断 1 写出集合A x x x 1 x2 1 0 的所有子集 并指出哪些是真子集 2 若M x x 2n n N N N x x 4n n N N 试判断M与N的关系 思路分析 1 首先确定出集合A中的所有元素 然后按元素个数分类写出子集 注意 不要忘记 2 通过列举出M与N中的元素分析判断二者的关系 或者通过表达式分析两个集合的 元素之间的关系 从而判断两集合的关系 解 解 1 由于方程x x 1 x2 1 0 的根只有 0 1 1 三个 因此A 0 1 1 其所有子集为 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 其中真子集是 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 方法一 由于M x x 2n n N N 0 2 4 6 8 N x x 4n n N N 0 4 8 12 显然有NM 方法二 集合M中 x 2n n N N 而集合N中 x 4n 2 2n n N N 因此集合M中 的元素是 2 与所有自然数的乘积 集合N中的元素是 2 与所有非负偶数的乘积 必有NM 1 2012 大纲全国高考 文 1 已知集合A x x是平行四边形 B x x是矩形 C x x是正方形 D x x是菱形 则 A A B B C B C D C D A D 答案 答案 B 解析 解析 正方形组成的集合是矩形组成集合的子集 C B 2 若集合P x x t2 t R R Q x x t2 t Z Z 则P与Q之间的关系是 答案 答案 QP 解析 解析 P x x t2 t R R x x 0 而Q x x t2 t Z Z 0 1 4 9 16 所以Q是P的真子集 1 写出一个集合的所有子集 其步骤为 1 确定所求集合 2 合理分类 首先要注意两个特殊的子集 和自身 其次 依次按含有 1 个元素的 子集 含有 2 个元素的子集 含有 3 个元素的子集 一一写出 即可避免重复和遗漏现象 的发生 2 结论 含有n个元素的集合有 2n个子集 2n 1 个真子集 该结论可以用来检验子集 真子集是否遗漏或重复 3 判断两个集合之间关系的方法有 1 将元素一一列举出来观察 3 2 从集合中的元素入手 分析两集合元素的特征性质是否能相互推出 二 集合的相等关系及应用 设a b R R 1 a b a 0 b 则b a等于 b a A 1 B 1 C 2 D 2 思路分析 两个集合相等 即它们的元素完全一样 据此建立a与b的方程组求解 但 应注意元素的互异性 答案 答案 C 解析 解析 1 a b a 0 b b a 根据集合相等的定义及元素的互异性可得 a 0 a b 0 1 b a 又 a 1 a 1 b 1 a 1 b a 2 若A 1 2 B x x2 ax b 0 且A B 则a b 答案 答案 3 2 解析 解析 A B 1 B且 2 B Error Error 由两集合相等确定参数问题的解题关键是明确 两集合相等即两集合中 所含元素完全相同 与元素顺序无关 分类讨论所有可能的对应情况即可 另外需注意检 验所求参数是否满足题中的限制条件 以及是否满足集合中元素的互异性 三 根据集合关系求参数 已知集合A x 0 x 4 B x x a 若AB 求a的取值范围 思路分析 集合A是确定的 集合B未定 由于两个集合的特征性质都是用元素满足的 不等式表示的 故可以借助数轴直观表示两者之间的关系 解 解 将集合A在数轴上表示出来 再将集合B也在数轴上表示出来 如图 要使AB 则表示数a的点必须在表示数 4 的点处或在表示数 4 的点的右边 故a的 取值范围是 a a 4 1 已知集合A 1 3 2m 1 集合B 3 m2 若B A 则实数m 答案 答案 1 解析 解析 由于B A 则有m2 2m 1 于是m 1 2 若 x 2x a 0 x 1 x 3 则实数a的取值范围是 答案 答案 a 2 a 6 解析 解析 由 2x a 0 得x 要使 x 1 x 3 在数轴上作出 x 1 x 3 a 2 a 2 及点x 如图 a 2 由图可知 需满足 1 3 解得 2 a 6 a 2 故实数a的取值范围是 a 2 a 6 4 1 分析集合关系时 首先要分析 简化每个集合 2 此类问题通常借助数轴 利用数轴分析法 将各个集合在数轴上表示出来 以形定 数 还要注意验证端点值 做到准确无误 一般含 用实心点表示 不含 用空心 点表示 3 此类问题还应注意 空集 这一 陷阱 尤其是集合中含有字母参数时 初学者会 想当然认为非空集合而丢解 因此分类讨论思想是必须的 四 补集的概念与运算 设全集U R R A x x 1 B x x a 0 且B UA 求实数a的取值范围 思路分析 先求出 UA 再化简B 然后借助数轴建立关于a的不等式 解 解 B x x a 如图 UA x x 1 要使 B UA a 1 即 a 1 设全集U 2 4 1 a A 2 a2 a 2 若 UA 1 则a的值为 答案 答案 2 解析 解析 依题设 有Error 解得a 2 此时U 2 4 1 A 2 4 UA 1 满足题设条件 故a 2 1 补集是针对特定集合全集而言的 解题时一定要先弄清全集是什么 某一集合的补集即全集中去掉该集合中元素后剩余元素构成的集合 2 解答与子集 补集等相关的综合问题时 最好画出数轴 图象等 利用数形结合的 思想解决 尤其是含参数的问题更要注意这点 1 设集合M x x是绝对值等于 3 的实数 则M的真子集个数是 A 0 B 1 C 3 D 7 答案 答案 C 解析 解析 依题意M 3 3 仅有两个元素 所以真子集有 3 个 3 3 2 2012 课标全国高考 文 1 已知集合A x x2 x 2 0 B x 1 x 1 则 A AB B BA C A B D A B 答案 答案 B 解析 解析 由题意可得 A x 1 x 2 而B x 1 x 1 故BA 3 2012 湖北高考 文 1 已知集合A x x2 3x 2 0 x R R B x 0 x 5 x N N 则满足条件A C B的集合C的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 答案 D 解析 解析 由题意可得 A 1 2 B 1 2 3 4 又 A C B C 1 2 或 1 2 3 或 1 2 4 或 1 2 3 4 故选 D 4 设集合A x 1 x 2 B x x a